豐富教學素材，貼近學生學習

張僑平 慈艷

一、引言

數學教學離不開帶領學生解決數學問題。培養學生數學問題解決能力是數學教育的重要目標之一。《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《課標》）在第一學段目標中提出，學生要能“從日常生活中發現和提出簡單的數學問題，并嘗試解決;了解分析問題和解決問題的一些基本方法，知道同一個問題可以有不同的解決方法”;在第二學段目標中提出，學生要能“探索分析和解決簡單問題的有效方法，了解解決問題方法的多樣性……能回顧解決問題的過程，初步判斷結果的合理性”。因此，為了讓學生感受和經歷問題解決方法的有效性和多樣性，教師在教學中按照課程要求布置學習任務，提供適切的、有啟發性的數學問題情境，顯得尤為重要[1]。然而教師在實際的課堂教學中會面臨學生解題能力存在巨大差異的現實。對于較為典型的數學問題，有些學生由于超前學習或者課后補習等原因，掌握了不少“便捷”的解法，而另一些學生卻還是初次面對。教師通過對同樣的數學問題的講解和布置，既要整體提升學生的問題解決能力，又要照顧不同學生的學習差異，這是一個不小的挑戰。

以小學第二學段教材中的“雞兔同籠”問題為例，教師嘗試通過對教學內容設計的改進，以達到讓“人人學有價值的數學”“不同的人有不同的收獲”的目的。期望結合對改進后的教學過程、實施效果的分析與反思，給教師提供些許教學啟示，從而提升我們的數學教學效果。

二、教學內容背景

“雞兔同籠”是北師大版教材五年級上冊的學習內容，在“數學好玩”單元的“嘗試與猜測”中。教材先以中國古代數學史書《孫子算經》作為背景：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？”引發思考和討論，并提出列表的方法引導學生進行合理的猜想，找尋問題中的規律，從而解決問題。“嘗試和猜測”是問題解決的一種常見策略，這部分教學需要教師以“雞兔同籠”問題為例，在教授學生這道古算題的解題思路和方法的同時，培養學生解決類似問題（如教材中提到的儲蓄罐問題）的能力。

從教材內容設計上看，教學思路清楚明白。教師若依從教材的安排進行教學似乎很容易操作，比如可以從特殊例子開始，以學生間問答對話的形式逐步推進教學過程，在發展學生推理能力的同時，引導學生發現問題的解決方法。不過，在實際教學中，這一過程仍存在很多困難和問題。首先，在問題背景方面，“雞兔同籠”作為有代表性的中國古代數學題，自然有其價值，但作為應用問題，對學生而言并不那么現實與合理（我們很少會把兔和雞關在同一個籠子里）。即使作為數學歷史和文化知識進行介紹，對小學生來說，也距離甚遠，學生理解能力有限。其次，從教學目標來看，“雞兔同籠”課題涉及的內容比較多，既包含數學文化的介紹，也蘊含著猜想、總結兩個量的變化關系，以及探尋數值變化規律等內容。再次，從教材中呈現的解題方法來看，問題涉及兔和雞兩個變化的量，對于五年級的學生來說，嘗試、列舉數值的過程并不算困難，但學生往往對一一列舉感覺到比較麻煩。最后，從課堂教學實施來看，教師經常需要面對學生在這類問題上表現出的較大的學習差異：一部分學生不知道這一問題的任何背景和方法，另一部分學生則已經通過超前學習等了解了“雞兔同籠”的背景，學過“便捷”的問題解決方法（如方程法、假設法、抬腿法1）。教師在課堂上常常是還未開口講解，學生“知道”之聲便此起彼伏，教學中多數學生懶于靜下心來在列表中通過猜測與嘗試呈現雞兔數量與腿數量的變化過程（亦即按照教材的內容編排），難以從變化中找到兩個量之間的關系。如何在考慮學生已有知識經驗的基礎上，重視教材內容的課堂教學效果，是教師進行本節課教學設計與課堂實施的主要挑戰。

三、兩種教學設計的比較

面對前文提及的教學挑戰，教師該如何應對？是按照教材的編排順序按部就班地講授，還是對教學內容進行重新設計和調整？如果進行重新設計，怎樣能夠幫助學生理解“雞兔同籠”這一類數學問題的本質，并有效達成單元教學目標（比如掌握嘗試法）呢？帶著這樣的思考，教師對兩個小學五年級平行班級進行了不同的教學設計嘗試，并在教學前后分別進行了調查分析。

教學時，在甲班采取遵循教材設計的流程，直接提出“雞兔同籠”問題，教授嘗試法，在此之后以另一道類似的古代算術經典問題“百僧與饃的問題：一百饃一百僧，大僧每人三個饃，小僧三人分一饃，大小僧人各幾人”，作為課后的鞏固練習，探討大和尚與小和尚兩個量的關系。據此，甲班的課堂教學流程可概括為圖1所示。

在乙班則采用先提出并探討“百僧與饃”的問題，再將“雞兔同籠”作為課后評估與鞏固的方式進行教學。這一設計主要是為了避開學生中可能存在的“重復學習”，引發學生的探究興趣，先確保學生能夠充分參與到嘗試法解題策略的體驗與學習中，再以教材中熟悉的例子作為問題解決策略應用的情境。乙班的課堂教學流程及課堂板書分別如圖2和圖3所示。

兩個班的教學設計都包含了兩個經典的中國數學歷史問題，為學生提供了解我國古代數學文化的機會，二者的主要不同在于兩個“問題”提出的先后順序。甲、乙兩班學生的總體水平相若，教學前教師對兩個班級的學生進行了初步的詢問調查，結果發現每班均有三分之二左右的學生提前學習過“雞兔同籠”內容。

課堂上的教學數據表明：甲班（32人）在運用嘗試法解決“雞兔同籠”問題后，在練習環節只有65.6%的人能夠正確解決“百僧與饃”的問題，正確解決問題的學生中有71.4%使用了嘗試法;乙班（34人）在課堂上一開始就解決“百僧與饃”的問題，這時的正確率只有17.1%，正確的人中有33.3%使用了嘗試法，但在隨后“雞兔同籠”的鞏固練習中，使用嘗試法解題的人數明顯增多。

在運用嘗試法的教學完成后，兩個班最后均利用以下兩個問題作為應用鞏固。其中鞏固問題1期望學生能將大船和小船分別跟“兔”和“雞”對應起來;鞏固問題2與教材的題目類似，作為生活中數學的延伸。

鞏固問題1（租船問題）：38人共租了8條船，每條大船可坐6人，每條小船可坐4人，每條船都坐滿了。問大船和小船各多少條？

鞏固問題2（生活數學）：小明的儲蓄罐里有1角和5角硬幣共7枚，總值1.9元，問1角和5角的硬幣各有多少枚？

課堂觀察表明：盡管兩個班的學生最后對“雞兔同籠”問題的理解都比較深入，但在學習教材中的“嘗試法”的時候，甲班絕大多數學生缺少興趣，課堂氣氛欠佳，需要靠教師不斷維持紀律才能將列表嘗試法教授完成。相比較之下，乙班學生能在自主解決問題中認可列表嘗試法并完成學習任務。

教學后，對甲、乙兩班學生的課后作業情況進行了簡要的統計分析，為便于說明，此處僅呈現作業中“租船問題”的數據統計結果（如表1）。

四、啟示與反思

很多教師將經典的數學問題“雞兔同籠”當作訓練學生解題思維的重要素材。然而，發展學生的問題解決能力并非只是解題訓練，教師更要幫助學生跳出“雞兔同籠”的框架，看到和了解這類問題的本質。盡管上述我們介紹的只是在“雞兔同籠”教學設計上的微小調整，但教學過程中學生表現出來的反應、解題表現以及后續的反饋，對于進行其他數學課題的教學，特別對于處理學生學習差異和進行數學問題解決的教學有一定的啟發。

首先，教師要直面學生的學習差異。如前所述，課前超過一半的學生已經從不同的渠道學習或者接觸過“雞兔同籠”問題的解法，他們或已經無心再用教材所要求的嘗試法去解題。教師需要在課堂教學中正視這一突出的現實情況，而不能一味地假定所有學生面對的都是“新知”。課程與教學設計的教育理論早已告訴我們，教師要清楚了解學生的課前經驗是什么，有哪些基礎，又有哪些局限，在此基礎上去布置與設計教學[2]。更為重要的是，教師要考慮如何引導學生對他們假定自己已經知道的問題進行更為深入的探究與“嘗試”。在乙班的處理上，教師有意避開學生的“已知”（知道“雞兔同籠”以及各種解法），設計一個未知的但在內容本質上相同的問題情境，讓學生暫時陷入“困境”。這樣的設計處理，能解決學習差異的問題，使無論是所謂高起點還是低起點的學生，都能夠參與到課堂學習活動中，共同進行討論、分享和交流，并在這一過程中真實地暴露思維與困難，從活動中真正體會到嘗試法的意義，掌握相應的解題策略。而且這樣的教學處理也不會影響他們未來學習其他的解題方法，如假設法、方程法等。

其次，教學要重視學生的思維發展。“雞兔同籠”問題不僅僅是雞、兔“同籠”，學生還要關注到“雞兔同籠”系列問題背后一般性的數學問題解題思路，不應只停留在“嘗試—猜測”的思維層面。數學家波利亞（G. Pólya）在《怎樣解題》一書中提到問題解決的“解題四部曲”：理解問題、設計解題策略、執行解題計劃、回顧解答。

理解問題是學生解題和教師進行問題解決教學的第一步。在這個階段，學生需要弄清楚問題是什么，具體包括：什么是已知量和未知量？它們之間的關系是什么？問題中給出的資料是不是足夠？有沒有什么資料是不相關的？這個問題難在哪里？等等。在上述“雞兔同籠”問題中，如果學生面對的是任何一種動物（姑且叫動物A）在籠子里，相信他們比較容易知道A的數目。比如，若已知頭的數目，一望便知A的數目;若已知腿的數目，做一點簡單的除法也可知道A的數目。“雞兔同籠”問題不同于以往單一未知量的問題，可以直接列出算式或方程解題（這里我們不去討論算術方法和代數方法的優劣），這類問題的難點在于問題情境中涉及的兩個未知的量（如頭和腳），如何引導學生思考和處理變化的未知量是教學的關鍵。

在充分理解問題的基礎上，可以著手對問題的解決策略進行設計。在“雞兔同籠”問題的教學中，可以將學生解決單一量問題的經驗作為教學的出發點，通過合適的提問，讓學生先有解決一個未知量的體驗（所謂假設法和抬腿法，本質上就是將兩個未知量轉化為一個未知量來處理，這正是以后初中階段學習解二元一次方程組消元法的方法），然后再嘗試去解決兩個未知量的問題。這也是波利亞在問題解決第二階段所提到的需要設計一些解題策略，即從簡單情況開始嘗試，如果不能解決所提出的問題，我們可以先解決一個與此有關的問題，想出一個更容易著手或者更特殊的問題。事實上，乙班教學中所運用的“百僧與饃”的問題情境正是這個策略。

在問題解決的第三階段——執行解題計劃中，涉及一些具體策略和方法的使用。常用的策略包括：嘗試、猜測、列舉、列表、繪圖、試誤、簡化問題、尋找規律、逆向思考、邏輯推理、假設、窮盡、模擬和應用工具等等。從教材“數學好玩”整個單元的設計安排中可以看出，本節課中“嘗試—猜測”是學生需要掌握的問題解決方法。在學習本節課的嘗試法之前，教材還呈現了“設計秋游方案”“圖形中的規律”等內容。這些內容是不是真的好玩我們未必能確定，但它們均涉及數學問題解決策略。弄明白了課題之間的關聯性，教師在教授“雞兔同籠”問題時就不會只是聚焦在雞和兔的問題上，而是能利用其他類似的問題作為引入（如“百僧與饃”的問題）或是作為鞏固和拓展（如租船問題），讓學生看到問題之間的內在聯系（比如問題的相似之處在哪里，解題思路的相似點在哪里等等），學生也不會覺得自己只是多做了一組數學題。這種關聯性還能在更多的數學歷史文化中找到共鳴，比如明朝程大位《算法統宗》中提到的“三足團魚六眼龜”問題。在教學設計中提出這樣的關聯性比較，比單純強調“雞兔同籠”問題來自古代要有趣味和有意義得多。如果不理解這些教學策略的話，教師的講授很可能變成只是完成教材的教學任務，學生掌握的知識和方法很可能也是碎片化的。

完成“雞兔同籠”問題的講解，檢查完學生對解題方法的掌握情況后，教學是否就結束了呢？如果我們再看問題解決的第四階段，就會發現檢查答案的正確性、合理性只是回顧的一部分，教師還可以鼓勵學生思考其他解題方法并將問題延伸，以增強學生的探究能力和對問題解決的認識。這也是《課標》中對學生問題解決能力的要求。例如，詢問學生：所學的方法還能用于其他哪些問題？如果問題條件改變了，情況會怎樣？在“雞兔同籠”問題中，如果有第三種動物關進籠子，只知道它們的頭的數目和腿的數目，還能確定每一種動物的數目嗎？如果教師能夠創造條件并引導學生提出這樣的問題，那么，學生的數學問題解決能力就提升了。

參考文獻：

[1]張僑平.數學問題解決與數學活動題[J].小學教學（數學版），2020（4）：12-14.

[2]泰勒.課程與教學的基本原理[M].施良方，譯.北京：人民教育出版社，1990.

（1.香港教育大學數學與資訊科技學系? ?999077

2.北京市海淀區華清嘉園中關村第二小學? ?100089）