數(shù)形結(jié)合方法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

數(shù)和形是數(shù)學(xué)中的兩個(gè)基本概念，一切數(shù)學(xué)問題的討論都是由數(shù)與形的提煉、發(fā)展和演變而展開的，因此，數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中有著重要作用。數(shù)形結(jié)合是把數(shù)或數(shù)量關(guān)系與圖形對(duì)應(yīng)起來，利用數(shù)量關(guān)系來研究圖形的性質(zhì)或者借助圖形來研究數(shù)量關(guān)系的一種重要的數(shù)學(xué)思想方法。“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”，數(shù)與形相互印證轉(zhuǎn)換，人們通過形來觀察數(shù)的問題，從而揭示出數(shù)的幾何意義，同時(shí)也需要利用數(shù)分析圖形的代數(shù)意義，從而將數(shù)量和圖形結(jié)合在一起，最終找到解決數(shù)學(xué)問題的辦法。在高中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合可以將抽象問題具體化、復(fù)雜問題簡單化，同時(shí)，數(shù)形結(jié)合能夠鍛煉學(xué)生雙向思維的能力，幫助學(xué)生建立知識(shí)聯(lián)系，并深刻揭示數(shù)學(xué)問題本質(zhì)的方法。

一、多維度探討數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合的實(shí)質(zhì)就是把抽象的數(shù)字和具體的圖形結(jié)合起來，教師要引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)數(shù)與形既對(duì)立又統(tǒng)一的特點(diǎn)，通過觀察圖形的方式，剖析數(shù)與式的構(gòu)造，從而引發(fā)聯(lián)想，使數(shù)學(xué)問題變得更簡單易懂。

（一）從新課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)思維能力的要求看數(shù)形結(jié)合

《高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)》指出，探究型課程概念的提出為高中數(shù)學(xué)教學(xué)打開了新思路。數(shù)形結(jié)合方法與探究性課程的結(jié)合，能夠促使學(xué)生主動(dòng)探索多種解題思路，擺脫固化的解題套路，這有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維：一是數(shù)形相融，教師要指導(dǎo)學(xué)生將形象思維和抽象思維結(jié)合起來，做到“先具象后抽象”，這樣既可以加深學(xué)生對(duì)數(shù)與形概念的理解，又可以培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維；二是教師要引導(dǎo)學(xué)生從多個(gè)角度、多層次進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，建立遞進(jìn)式的思維習(xí)慣；三是教師可以運(yùn)用將數(shù)字與圖形結(jié)合的教學(xué)方式，幫助學(xué)生建立由靜止到動(dòng)態(tài)的思考模式，即從運(yùn)動(dòng)、變化和聯(lián)系的角度思考問題，從而掌握數(shù)與形的本質(zhì)。從這三點(diǎn)可以看出，將探究型課程與數(shù)形結(jié)合方法結(jié)合，并將其融入高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，可以更大程度地發(fā)揮出數(shù)形結(jié)合方法在教學(xué)中的優(yōu)勢。

（二）從高考題設(shè)計(jì)背景來看數(shù)形結(jié)合

隨著數(shù)學(xué)教學(xué)改革的深入，高考數(shù)學(xué)命題呈現(xiàn)出多元化的特點(diǎn)，增設(shè)了開放型、情境型、探究型等試題類型。《普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試大綱》指出，數(shù)學(xué)學(xué)科的命題要在考查數(shù)學(xué)基本知識(shí)的基礎(chǔ)上，注重對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思想和解題方法的考查，更要注重對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的考查。數(shù)形結(jié)合類型的題目在高考中經(jīng)常出現(xiàn)，數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用不僅能看出學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的符號(hào)語言的理解和應(yīng)用能力，也能體現(xiàn)出學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的綜合運(yùn)用能力。因此，教師要多將數(shù)形結(jié)合的思想用于實(shí)際教學(xué)中，注重對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，并對(duì)學(xué)生知識(shí)理解的精確性、深刻性、全面性進(jìn)行考查，幫助學(xué)生掌握不同數(shù)學(xué)知識(shí)之間內(nèi)在的聯(lián)系。

二、數(shù)形結(jié)合方法優(yōu)勢分析

（一）提高數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)，加強(qiáng)知識(shí)掌握

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師要充分、有效地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生樹立全面、科學(xué)的數(shù)學(xué)觀念。概念是數(shù)學(xué)的重要組成部分，是經(jīng)過大量的邏輯推導(dǎo)得出的結(jié)論，這些抽象性的數(shù)學(xué)概念給學(xué)生的學(xué)習(xí)造成了一定阻礙，數(shù)與形的結(jié)合可以幫助學(xué)生更好地掌握數(shù)學(xué)概念，加深對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。教師指導(dǎo)學(xué)生掌握數(shù)形結(jié)合的方法，可以讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的抽象概念進(jìn)行更深刻地理解，幫助學(xué)生系統(tǒng)地建立起高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系和框架，從而更好地掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，減少對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的畏難情緒。

（二）銜接知識(shí)內(nèi)容，促使學(xué)生思考

數(shù)形結(jié)合方法有利于學(xué)生將不同階段所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)銜接起來。高中數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容比較復(fù)雜和抽象，對(duì)學(xué)生的思維、計(jì)算、空間想象、數(shù)學(xué)語言等方面的能力有更高的要求。從高中數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容來看，數(shù)形結(jié)合由抽象到具體的轉(zhuǎn)變過程與學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)規(guī)律相吻合，所以，教師要在教學(xué)過程中將二者有機(jī)地結(jié)合，促使學(xué)生主動(dòng)進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，使學(xué)生具有更靈活的數(shù)學(xué)思維。

（三）激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，提高驗(yàn)算能力

在教學(xué)過程中，教師可以用數(shù)字和圖形向?qū)W生描述代數(shù)的概念，讓他們更好地理解問題的實(shí)質(zhì)，激發(fā)他們對(duì)數(shù)學(xué)的興趣。另外，盡管教師反復(fù)強(qiáng)調(diào)答題后要仔細(xì)驗(yàn)算檢查，但部分學(xué)生還是沒能養(yǎng)成良好的驗(yàn)算習(xí)慣。數(shù)形結(jié)合方法不僅能幫助學(xué)生更快地解題，還能促使學(xué)生養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣，幫助學(xué)生樹立驗(yàn)算意識(shí)，提高學(xué)生的做題準(zhǔn)確率。

（四）促進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)發(fā)展

“形”能將數(shù)字具體化，學(xué)生只有掌握了較為科學(xué)的數(shù)學(xué)思維，才能更好地將數(shù)與形有機(jī)地聯(lián)系在一起，并正確地推斷出數(shù)與形的關(guān)系。可以說，數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的蓬勃發(fā)展起到了很大的促進(jìn)作用。

三、數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用

數(shù)形結(jié)合要充分發(fā)揮“形”的直觀性和“數(shù)”的精確性，二者互為補(bǔ)充。其具體運(yùn)用有兩種情況：一是利用數(shù)字的精確性，說明圖形的性質(zhì)；二是通過圖形的直觀性，厘清數(shù)量關(guān)系。

（一）以形助數(shù)

以形助數(shù)，即把抽象問題具體化，它是利用圖形直觀地解釋數(shù)字間的關(guān)系，例如以函數(shù)的圖形來表示函數(shù)的特性。學(xué)生可以通過細(xì)心觀察和學(xué)習(xí)圖形的方式，理解其內(nèi)部的數(shù)量關(guān)系。

1.在函數(shù)中的應(yīng)用。很多數(shù)學(xué)問題都能運(yùn)用數(shù)軸解決，而數(shù)軸就是“形”的一種。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師可以通過建立數(shù)軸的方式，使學(xué)生進(jìn)一步理解函數(shù)深層的含義，發(fā)現(xiàn)其數(shù)值意義，如交點(diǎn)、極值等。教師要指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，通過坐標(biāo)軸來表示函數(shù)意義，使學(xué)生更好地了解函數(shù)。比如，在學(xué)習(xí)三角函數(shù)的過程中，教師會(huì)指導(dǎo)學(xué)生建立一個(gè)坐標(biāo)軸，幫助學(xué)生了解相關(guān)問題的含義，從而縮短學(xué)生解題的時(shí)間，提高解題的效率。

2.構(gòu)建立體幾何模型研究代數(shù)的問題。幾何知識(shí)是高中數(shù)學(xué)的重要學(xué)習(xí)內(nèi)容之一，學(xué)生要充分掌握幾何模型和代數(shù)轉(zhuǎn)換的相關(guān)知識(shí)。在教學(xué)過程中，如果教師只是簡單地講解教材內(nèi)容，就會(huì)導(dǎo)致學(xué)生對(duì)幾何問題難以理解，在后續(xù)學(xué)習(xí)過程中引發(fā)一系列的問題。因此，教師要在教學(xué)中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，使幾何模型與代數(shù)轉(zhuǎn)換的關(guān)系更為清晰，從而使學(xué)生精確地掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，同時(shí)可以有效地提高教學(xué)效率，使學(xué)生的數(shù)學(xué)水平得到明顯提高。

3.解決含有參數(shù)的不等式、最值問題。函數(shù)的單調(diào)性經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)圖象的升、降；奇偶性經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)圖象的對(duì)稱性；最值（值域）經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)圖象的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)。學(xué)生在解含有參數(shù)的不等式時(shí)，由于要設(shè)置參數(shù)，往往需要大篇幅地推演，導(dǎo)致演算過程煩瑣冗長。所以在解不等式問題時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)聯(lián)系函數(shù)的圖象，根據(jù)不等式中量的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)膬蓚€(gè)或多個(gè)函數(shù)，利用兩個(gè)或多個(gè)函數(shù)圖象的上、下位置關(guān)系轉(zhuǎn)化數(shù)量關(guān)系來解決不等式的解題問題，這樣就可以幫助學(xué)生將煩瑣的運(yùn)算過程簡化，從而準(zhǔn)確、高效地解答問題。

（二）以數(shù)解形

以數(shù)解形是指通過數(shù)的變式運(yùn)算，將直觀圖形數(shù)量化，以求形變得更為準(zhǔn)確，如用代數(shù)、解析和三角的方法來說明形的幾何特性，這樣規(guī)律性較強(qiáng)，讓學(xué)生解題時(shí)思路更清晰，能夠快速找到解題方法。

1.代數(shù)法。學(xué)生在解答關(guān)于度量關(guān)系的幾何問題時(shí)，可以通過設(shè)未知數(shù)來表示有關(guān)線段、角度和面積，根據(jù)題中給出的已知條件和幾何定理建立與之對(duì)應(yīng)的關(guān)系式，最后用代數(shù)中的恒等變換方法解方程得出結(jié)果。

2.三角法。運(yùn)用三角法的題型一般是求三角函數(shù)形成的表達(dá)式的值、求三角形的角或邊長，此時(shí)學(xué)生可以將線段與角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)關(guān)系，再通過三角恒等變化、正余弦定理、解三角方程公式法和證明三角不等式等方式來完成幾何問題的運(yùn)算。

3.解析法。運(yùn)用解析法解幾何問題的優(yōu)勢主要體現(xiàn)在解題過程的規(guī)范化，學(xué)生解題思路更清晰。其解題步驟主要是通過建立直角坐標(biāo)系，設(shè)置未知數(shù)，列出已知圖形上相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)和曲線的方程后，即可將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，求解后賦予代數(shù)結(jié)果幾何意義，從而得出幾何問題的解答。由于解析法有規(guī)可循，教師要指導(dǎo)學(xué)生避免或少用在圖形中添加輔助線的方式，這樣可以降低錯(cuò)誤輔助線對(duì)圖形的影響，避免干擾學(xué)生解題思路。教師在運(yùn)用解析法時(shí)要注意，對(duì)直角坐標(biāo)系的選取和建立要恰當(dāng)，否則會(huì)加大運(yùn)算的難度。

4.復(fù)數(shù)法。復(fù)數(shù)法是指將復(fù)數(shù)作為溝通數(shù)與形之間的紐帶，進(jìn)行數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化，利用復(fù)數(shù)知識(shí)幫助解題。復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算具有特定的幾何意義，其基本思路是：先從問題的特點(diǎn)出發(fā)，例如在幾何中線段建立復(fù)平面，選取相應(yīng)的復(fù)數(shù)表示形式，然后再根據(jù)問題設(shè)置已知條件，將幾何問題轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)問題，通過復(fù)數(shù)的推理計(jì)算最終完成題目的解答。

5.向量法。利用向量方法解決幾何問題是目前高中數(shù)學(xué)中一種新穎、活躍且經(jīng)常被教師探討的解題方式，因?yàn)橄蛄磕軌蛘鎸?shí)、深刻地描繪出現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)世界的空間形式，是溝通代數(shù)和圖形內(nèi)在聯(lián)系的工具。用向量法解立體幾何題時(shí)，教師要注意建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系。在解題訓(xùn)練時(shí)，教師要注重鍛煉學(xué)生的空間想象能力，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)熟練運(yùn)用向量公式。

四、運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法開展教學(xué)的注意事項(xiàng)

（一）不能過于重“形”

在數(shù)字與圖形的展示中，部分教師過于注重繪制精美的圖形，使畫面色彩鮮艷，以強(qiáng)化對(duì)學(xué)生視覺的刺激，但實(shí)際上，過度的視覺刺激會(huì)分散學(xué)生的注意力，影響學(xué)生的思考和理解，這與原本的教學(xué)目的背道而馳。教師在課上進(jìn)行圖形展示的目的是更好地輔助學(xué)生學(xué)習(xí)，幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)的概念，所以用作說明的圖形需要簡潔明了。

（二）要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想

由于每版教材的更新周期較長，部分教師習(xí)慣運(yùn)用以往的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)教學(xué)，還停留在固化老套的數(shù)學(xué)教學(xué)思維中，懈怠于創(chuàng)新題型和解題方法，這類教師在實(shí)際教學(xué)中僅在講解固定題型時(shí)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法，沒有發(fā)揮數(shù)形結(jié)合在其他題型中的解題優(yōu)勢，也就難以培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)形結(jié)合解題的思維習(xí)慣。教師在教學(xué)中應(yīng)通過多種途徑培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想，具體來講，可以通過推理論證、借助具體而經(jīng)典的事例、對(duì)數(shù)學(xué)現(xiàn)象進(jìn)行梳理和歸納等方法，來激活學(xué)生思維，幫助學(xué)生找到解題路徑，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想。

（三）要?jiǎng)?chuàng)新教學(xué)方法

在教學(xué)過程中，部分教師對(duì)教學(xué)內(nèi)容和解題方法形成了固化的思維和教學(xué)習(xí)慣，沒有探究新的解題思路和解題方法，忽略了對(duì)圖像的運(yùn)用。在這種教學(xué)方式下，學(xué)生會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)課堂失去興趣，甚至產(chǎn)生抗拒情緒。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)充分利用數(shù)形結(jié)合的教學(xué)形式，增強(qiáng)數(shù)學(xué)課堂的趣味性，創(chuàng)新課堂教學(xué)方法。這可以拉近師生之間的距離，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性，有助于教師打造高效課堂。

總之，由于高中數(shù)學(xué)知識(shí)涉及范圍較廣，抽象概念較多，內(nèi)容多而復(fù)雜，這給學(xué)生學(xué)習(xí)帶來了較大難度。教師需要指導(dǎo)學(xué)生在解題過程中恰當(dāng)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法，建立由具象到抽象的數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，幫助學(xué)生搭建起聯(lián)系代數(shù)與幾何的橋梁，轉(zhuǎn)換運(yùn)算思維，理解抽象概念，從而將數(shù)學(xué)知識(shí)化難為易，利于學(xué)生理解和掌握。

（作者單位：甘肅省金昌市永昌縣第一高級(jí)中學(xué)）