新課標下尺規作圖新路徑：聯想，整合，生成

何平 丁永愿

摘要：尺規作圖能夠有效地培養學生幾何直觀能力和演繹推理能力.《義務教育課程標準（2022年版）》中明確指出要重視作圖的原理，淡化對作圖步驟的語言表述，進一步強調了尺規作圖的研究意義和教學價值.但是目前尺規作圖教學依然存在著注重作圖的程序和作圖結果的證明，缺少對作圖開始階段的主動分析和圖形構建[1].本文中從聯想發散（作什么）、分析整合（能否作）、演繹生成（怎么作）三個步驟探究尺規作圖，總結出尺規作圖的新路徑.

關鍵詞：尺規作圖;平行線;發散思維

1 問題提出

初中新課程標準增加了“過直線外一點作已知直線的平行線”的尺規作圖內容.如圖1，過點P作直線m的平行線n.

2 解法賞析

2.1 聯想發散

由題意發散聯想出具有平行性質的圖形并畫出相應的草圖.根據學生經驗不難得到出現平行的基本圖形有：三線八角圖、中位線、A（X）形相似結構、平行四邊形等.如圖2所示.

2.2分析整合

學生具備五大基本作圖經驗，基本作圖可以實現“作等線段，作等角，作垂直，作中點，作角平分線” 等功能，其余的尺規作圖是在五大基本作圖的基礎上整合而成的[2].在分析整合時要注重可行性、合理性，所謂可行性是圖形的定義或判定中的關鍵詞能與五大基本作圖的功能對應，如平行四邊形的判定“兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”，關鍵詞是兩組對邊相等，與五大作圖中的“作等線段”功能可以對應上，作平行四邊形具有可行性;作圖也要兼顧合理性，若圖形的內涵太豐富，則作圖要求也就越多，如正方形，雖然可作，但過于繁瑣，可有選擇性地放棄.

2.3 演繹生成

法1：如圖3，過點P作直線l交直線m于點A，確定∠1;作∠2=∠1（或∠3=∠1），得直線n.

法2：如圖4，過點P作直線m的垂線l交直線m于點A;過點P作直線l的垂線n .

法3：如圖5，在直線m上確定點A，B，作射線AP，過點A作∠PAB的角平分線AC;

以點P為圓心，AP為半徑作弧交角平分線AC于點Q，連接PQ得到直線n.

法4：如圖6，在直線m上確定點A，B，在線段AP的延長線上截取點O，使AP=PO;連接OB，作線段OB的中點Q，連接PQ得到直線n.

法5：如圖7，在直線m上任意確定點A，在線段AP的延長線上任意確定點O，以點O為圓心，OA為半徑作弧交直線m于點B;連接直線OB，以點O為圓心，OP為半徑作弧交直線OB于點Q， 連接PQ得到直線n.

法6：如圖8，在直線m上任意確定點A，B，作線段AP;以點P為圓心，AB為半徑作弧與以點B為圓心，AP為半徑作的弧交于點Q，連接PQ得到直線n.

法7：如圖9，在直線m上確定點A，B，連接BP，作線段BP的中點O;作射線AO，在射線AO上截取OQ=AO，連接PQ得到直線n.

法8：如圖10，在直線m上確定點A，連接AP，以點A為圓心，AP為半徑作弧交直線m于點B;以點P為圓心，AP為半徑作弧與以點B為圓心，AP為半徑作的弧交于點Q;連接PQ得到直線n.

法9：如圖11，在直線m上確定點B，連接BP;作線段BP的中垂線l交直線m于點A，交線段BP于點O;在線段AO的延長線上截取OQ=AO，連接PQ得到直線n

法10：如圖12，在直線m上任意確定點B，連接BP;作線段BP的中點O;以點O為圓心，OB為半徑作⊙O交直線m于點A;作射線AO與⊙O交于點Q，連接PQ得到直線n.

法11：如圖13，在直線m上任意確定點A，B;以點A為圓心，BP為半徑作弧與以點B為圓心，AP為半徑作的弧交于點Q;連接PQ得到直線n.

法12：如圖14，取一點O，以點O為圓心，OP為半徑作⊙O交直線m于點A，B;以點B為圓心，AP為半徑作弧交⊙O于點Q;連接PQ得到直線n.

3 結論

3.1明確尺規作圖的教學意義

對于尺規作圖，師生要改變認知，不能僅僅是機械模仿、簡單組合，在探究該問題時幾乎覆蓋了初中階段的所有圖形，如三線八角、三角形、四邊形、圓、相似三角形等，并在整個探究階段對這些圖形的定義、性質、判定也進行了綜合系統的復習，對學生的幾何直觀、演繹推理、結構化思維、規范書寫、語言表達、動手操作及發散思維等能力有極大的提高.同時，在教學過程中還能讓學生感悟到思想方法的統一美、作圖過程的理性美、作圖表述的語言美、作圖結果的方法美.

3.2注重基本圖形的積累

聯想圖形是尺規作圖中較難的一個環節，這是一個從無到有的生成階段，有了聯想的草圖才能確定如何作下一步.而能夠想到什么基本圖形源于學習經驗的積累以及對圖形的熟悉與掌握程度.因此，學會積累常用的基本圖形對解決尺規作圖問題至關重要.

參考文獻：

[1]陶家友.關聯調用核心知識 理性構建基本圖形——一道尺規作圖題的解法探究賞析及教學價值導向[J].數學通報，2022（3）：41-46.

[2]金楊建，范秋彤.第14講 尺規作圖[J].中學數學教學參考，2022（8）：24-28.