精選典型例題 構建知識體系 深化思想方法

劉燁燁

摘要：高三數學復習課是提升學生能力、培養核心素養的重要階段.本文中通過“立體幾何中點、直線、平面位置關系綜合”的具體案例，提出高三復習課要精選例題;通過典型例題與典型方法串聯知識，形成知識網絡，深化數學思想方法.

關鍵詞：高三數學;立體幾何; 典型例題; 知識體系; 核心素養

1 引言

高三數學復習課不僅要幫助學生全面回顧知識，而且能夠將零散的知識整合起來，構建知識網絡，使知識系統化、條理化;加強學生多元、多層面地運用知識并能適當地遷移，從而提升數學核心素養.高三復習課對教師的選題、講題及總結等能力都提出了較高的要求.

本節課以“立體幾何點、直線、平面面位置關系綜合”為例，談談如何在精選例題的基礎上，幫助學生建構知識體系，提升解決問題的能力.

2 精選例題，突出核心

一輪復習是學生查漏補缺的時機，更是教師了解學生學習情況的重要環節.數學復習課定位要準確，教師要掌握學生的薄弱環節，精選例題，加強知識板塊的綜合應用，提高一輪復習效果.以下列立體幾何綜合題為例進行分析.

例1 如圖1，四棱臺ABCD-EFGH的底面為正方形，DH⊥平面ABCD，EH=DH=12AD=1.

（1）求證：AE∥平面BDG;

（2）若平面BDG∩平面ADH=m，求直線m與平面BCG所成角的正弦值.

學生比較熟悉以柱、錐為載體的立體幾何問題，對以棱臺為知識背景的題型會比較生疏.本題以棱臺為載體，研究棱臺中的線面關系，圖形新穎.第（1）小題考查線面關系，需要學生掌握棱臺的結構特征以及平面平行的性質定理及直線與平面平行的判定定理，蘊含著豐富的信息.第（2）小題考查線面角，以兩面交線為解決問題的突破口，方法靈活，思維要求較高，為不同層次的學生提供了想象空間和思考平臺.

解析：（1）如圖2，連接AC與BD交于點O.因為ABCD-EFGH是四棱臺，所以平面ABCD∥平面EFGH，且AE，CG交于一點，即A，E，G，C四點共面.因為平面ABCD∩平面AEGC=AC，平面EFGH∩平面AEGC=EG，所以AC∥EG.又因為EG=AO=2，所以四邊形AEGO是平行四邊形.所以AE∥OG.又AE平面BDG，OG平面BDG，所以AE∥平面BDG.

（2）法1：由DH⊥平面ABCD， AD⊥DC，建立DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，DH所在直線為z軸的空間直角坐標系Dxyz（如圖3），則D（0，0，0），B（2，2，0），G（0，1，1），C（0，2，0）.設平面BDG、平面ADH、平面BCG的法向量分別為n1，n2，n3.由n1·DB=0，n1·DG=0，可取n1=（1，-1，1）.同理n2=（0，1，0），n3=（0，1，1）.又因為平面BDG∩平面ADH=直線m，設n=（x，y，z） ，所以n1·n=0，n2·n=0，取n=（1，0，-1）.設直線m與平面BCG所成的角為α，則

sin α=|cos〈n3，n〉|=|n3·n|n3||n||=12.

法2：把直線m轉化為直線GO或直線AE.因為AE∥平面BDG，AE平面ADH，平面ADH∩平面BDG=m，所以AE∥ m.又OG∥AE，所以OG∥m.題意即可轉化為求直線OG與平面BCG所成角的正弦值.

設點O到平面GBC的距離是h，

由VG-OBC=VO-GBC，可得

13SOBC=13·h·S△BCG.又因S△OBC=1，S△BCG=2，所以

h=22.設直線OG與平面BCG所成角的正弦值為sin θ，則sin θ=hGO=222=12.

所以，直線m與平面BCG的成角的正弦值為12.

法3：如圖4，延長EH到點M，使EH=HM，連結HF，所以HM與FG平行且相等，則MG∥HF，又HF∥DO，所以直線MG∥直線DO，從而直線DM即為直線m.以DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，DH所在直線為z軸建立空間直角坐標系Dxyz，則M（-1，0，1），DM=（-1，0，1），CB=（2，0，0），CG=（0，-1，1），平面BCG的法向量n=（0，1，1）.設直線m與平面BCG所成角的正弦值為sin θ，則sin θ=|cos〈n，DM〉|=12.

3 挖掘價值，構建體系

高三復習課要避免以題講題的形式，教師要以例題作為載體，揭示數學本質，貫通學生的知識主線，提高學生分析問題、解決問題的能力. 立體幾何著重考查點、直線、平面位置的判斷與證明.例1第（1）小題運用了兩個平面平行的性質定理證明線線平行.第（2）小題交線m在圖形中找不到，法1使用向量法把立體幾何的證明與計算都轉化為向量的計算問題，計算交線m方向向量的坐標，使復雜問題簡單化;法2運用直線與平面平行的性質定理找到與交線m平行的直線;法3運用平面的性質找到交線m.雖然綜合法對理性思維要求較高，但它能很好地鍛煉學生的邏輯思維能力與空間想象能力.本題第（2）問層層深入，由易到難，從不同角度解決平面交線問題.教師帶領學生構建解決問題的知識結構，從方法上啟發和引導學生思考問題，有效提升學生直觀想象、邏輯推理及數學運算等素養.幫助學生回顧反思立體幾何的知識結構（如圖5），歸納總結常見的思想方法.

4 注重轉化，形成品質

立體幾何在線面位置關系的證明中，始終體現在線線、線面、面面的平行或垂直之間的轉換，體現了對學生直觀想象與邏輯推理素養的考查.轉化與化歸思想貫穿立體幾何的始終，樹立空間向平面轉化，平面中點與點、線與線的轉化思想，簡化問題，幫助學生形成解決問題的良好品質.

例2 如圖6，一個正四面體和一個正四棱錐的所有棱長都相等，將正四面體的一個面和正四棱錐的一個側面緊貼重合在一起，得到一個新的幾何體，對于該新幾何體，則正確的結論有（? ?）.

A.AF∥CD

B.AF⊥DE

C.新幾何體有7個面

D.新幾何體的六個頂點不能在同一個球面上

解：如圖7，作BC的中點G，DE的中點H，連接FG，AG，GH，AH.由所有的棱長都相等，可知BC⊥FG，BC⊥AG，BC⊥GH.則BC⊥平面AFG，BC⊥平面AGH，且平面AFG，AGH有公共點G，而經過一點與已知直線垂直的平面有且僅有一個，所以四點A，F，G，H共面.又由AF=HG，FG=AH，則四邊形AFGH是平行四邊形.所以AF∥GH.又GH∥CD，所以AF∥CD，即A，F，C，D共面.所以新幾何體是一個斜三棱柱，沒有外接球.故選答案：ABD.

點評：突破新幾何體中線面關系的核心是證明A，F，C，D四點共面.將A，F，C，D四點的關系轉化為A，F，G，H四點的關系，這對學生的轉化能力提出了比較高的要求.

例3 （2019年北京卷理）如圖8，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD ⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3.E為PD的中點，點F在PC上，且PFPC=13.

（1）求證：CD⊥平面PAD;

（2）求二面角F-AE-P的余弦值;

（3）設點G在PB上，且PGPB=23，判斷直線AG是否在平面AEF內，說明理由.

解析：（1）因為PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，

所以PA⊥CD.

又因為AD⊥CD，且PA∩AD=A，所以CD⊥平面PAD.

（2）如圖9，過A作AD的垂線交BC于點M.

因為PA⊥平面ABCD，且AM，AD平面ABCD，所以PA⊥AM，PA⊥AD.

建立如圖所示的空間直角坐標系Axyz，則A（0，0，0），B（2，-1，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）.因為E為PD的中點，所以E（0，1，1）.

則AE=（0，1，1），PC=（2，2，-2），AP=（0，0，2）.

PF=13PC=23，23，-23.

AF=AP+PF=23，23，43.

設平面AEF的法向量為n=（x，y，z），則

n·AE=0，n·AF=0，

即y+z=0，23x+23y+43z=0.

令z=1，則y=-1， x=-1.于是n=（-1，-1，1）.

又因為平面PAD的法向量為p=（1，0，0），所以cos〈n，p〉=n·p|n‖p|=-33.

由題意知，二面角F-AE-P為銳角，所以其余弦值為33.

（3）法1：如圖10，取PG的中點M，PA的中點H，連接MH.因為易證GA∥MH，MH∥FE，所以GA∥FE，且點A在平面AEF內，所以AG在平面AEF內.

法2：如圖9，建立空間直角坐標系Axyz，由題意可得AE=（0，1，1），PC=（2，2，-2），AP=（0，0，2），PF=13PC=23，23，-23.

又AF=AP+PF=23，23，43，PG=23PB=43，-23，-43，所以AG=AP+PG=43，-23，23.

設AG=xAF+yAE，則x=2，y=-2，即AG=2AF-2AE，且AF，AE有公共點A，所以AG在平面AEF內.

法3：如圖9， 設平面AEF的法向量為n=（x，y，z），由n·AE=0，n·AF=0，可取n=（-1，-1，1）.

因為AG=AP+PG=43，-23，23， 所以AG·n=0.又點A在平面AEF內，所以直線AG在平面AEF內.

點評：本題以四棱錐為背景考查線面關系，圖形并不復雜，線面關系比較容易證得.第（3）小題要利用空間向量解決探索性問題，判斷直線在平面內的方法很多.法1使用常見的平行線確定平面并利用公共點的特征證明直線在平面內;法2用平面向量基本定理證明線在面內，為學生提供了再次回顧基本概念的機會;法3利用直線的方向向量與平面法向量的關系證明線面平行，又因為直線與平面有公共點A，所以證明了直線在平面內.

例4 （2021年新高考Ⅰ卷＼520）如圖11，在三棱錐A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB=AD，O為BD的中點.證明：（1）OA⊥CD;（2） 若OCD是邊長為1的等邊三角形，點E在棱AD上，DE=2EA，且二面角E-BC-D的大小為45°，求三棱錐A-BCD的體積.

解析：（1）在△ABD中，因為AB=AD，O為BD的中點，所以AO⊥BD.又因為平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AO在平面ABD內，所以AO⊥平面BCD，又CD平面BCD，所以AO⊥CD.

（2）如圖12，過點E作EG⊥BD于點G，GM⊥BC于點M，連接EM.因為AO⊥平面BCD，EG∥AO，所以EG⊥平面BCD.

又△OCD是邊長為1的等邊三角形，則OD=OB=OC=1，所以∠BCD=90°，即DC⊥BC.所以GM∥CD.又BC⊥EM，BC⊥GM，所以∠EMG是二面角E-BC-D的平面角，即∠EMG=45°.

又因為DE=2EA，所以MG=23CD=23，則EG=23，AO=1.

所以VA-BCD=13SΔBCD·AO=13×12×1×3×1=36.

點評：新高考數學Ⅰ卷第20題，題型比較常規，綜合法比空間向量法更有優勢，計算方便，重點考查學生的運算求解能力和邏輯推理能力，緊扣考試大綱，重視基本定義和定理的考查.教師在教學時要突出通性、通法，強化數學運算，挖掘知識間的內在聯系，淡化套路式解題模式，發展學生數學思維.

5 復習建議

5.1 立足教材，回歸本質

高中數學是有機而統一的整體課程，教師要充分理解數學課程的基本理念、目標定位和內容架構.在復習課中，教師要幫助學生梳理教材中的公理、定理與性質，抓住數學本質，能熟練掌握立體幾何中線線、線面、面面相關知識的轉化.教師要引導學生注重概念的學習，對教材題型要適當地變形、拓展，提高學生解決問題的靈活度.

5.2 精選精講，形成體系

專題復習對教師的備課要求較高，教師要充分了解學生的學習情況，少重復學生已熟練掌握的知識點，多重視薄弱環節及知識交匯處，突出重點，突破難點.通過對例題的精選、精講、精練，幫助學生歸納知識體系，形成知識網絡，幫助學生在解決具體問題的過程中積累與總結經驗，感悟數學思想，提升解決問題的能力.

5.3 優選方法，提升素養

專題復習中針對題型要突出解題方法，由“一題一解”拓展到“一題多解”或“多題一解”.特別是一題多解的情況下要追求最優法.解決問題后要有方法歸納、知識總結和思想滲透，通過對典例的分析和解決問題的過程，充分挖掘題型蘊含的思維價值.立體幾何教學中除了公式、定理的應用外，還要注重對學生的空間感、轉化思想、幾何直觀及運算能力的培養，從而提升學生的數學核心素養.

參考文獻：

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