高中數學解題中向量法的運用

摘要：向量是高中數學的重要知識點，同時也是解答相關數學習題的重要工具.本文結合具體實例，探討向量法在三角函數、不等式、平面幾何、立體幾何、直線與圓等解題中的運用.

關鍵詞：高中數學;解題;向量法;運用

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）07-0036-03

收稿日期：2021-12-05

作者簡介：陳蘇平（1986.9-），男，江蘇省溧水人，中學一級教師，從事中學數學教學研究.[FQ）]

運用向量法解答高中數學習題的難點在于如何根據已知條件構建合理的向量，因此教學中應注重給予學生運用向量法解題的引導，而后要求學生靈活運用向量的幾何及其坐標運算知識順利地求解相關習題，使學生親身體會用向量法解題的簡便之處.

1 向量法用于解答三角函數習題

例1已知sinα+sinβ=22，則cosα+cosβ的取值范圍為（）.

A.[-72，72]B.[-142，142]

C.[-152，152]D.[-172，172]

解析由題意可設m=（cosα，sinα），n=（cosβ，sinβ），則m+n=（cosα+cosβ，sinα+sinβ）.

又因為sinα+sinβ=22，

所以m+n=（cosα+cosβ，22）.

又因為0≤|m+n|≤|m|+|n|，

即0≤（cosα+cosβ）2+12≤2.

因此，cosα+cosβ∈[-142，142]，故選B.

點評應用向量法解答三角函數習題時，既要注重利用三角函數的相關公式以及一些隱含條件，又要根據已知條件運用向量構建不等關系.

2 向量法用于解答不等式習題

例2已知a+b+c=1，則3a+1+3b+1+3c+1的最大值為（）.

A.32B.52C.92D.182

解析根據題意設m=（3a+1，3b+1，3c+1），n=（1，1，1），則|m|2=（3a+1）+（3b+1）+（3c+1）=6.

又因為|m|2≥（m·n）|n|2，

故（3a+1+3b+1+3c+1）2≤18.

因此，0<3a+1+3b+1+3c+1≤32，故選A.點評運用向量法求解不等式習題具有一定的技巧性，可根據解題經驗以及已知條件構建相關向量，而后運用向量與其模之間的關系進行求解.

3 向量法用于解答平面幾何習題

例3已知ABCD為直角梯形，AB和CD是梯形的兩個底，其中∠ABC為直角，且滿足BC=CD=12AB，則∠CAD的余弦值為.

解析建立如圖1所示的平面直角坐標系：

將AB的長度看作為2，則A（2，0），C（0，1），D（1，1）.

則AC=（-2，1），AD=（-1，1）.

則|AC|=5，|AD|=（-1）2+12=2，

AC·AD=3.

因為AC·AD=|AC|·|AD|cos∠CAD=10·cos∠CAD=3，

所以cos∠CAD=31010.

點評運用向量法求解幾何問題時，通常構建平面直角坐標系，借助向量的坐標運算簡化解題步驟，提高解題效率.

4 向量法用于解答立體幾何習題

例4如圖2，已知三棱柱ABC-A1B1C1中∠BAC為直角，AB=AC=1，BB1=2，∠ABB1=60°.若B1C=2，求二面角B1-CC1-A的余弦值.

解析因為B1C=2，AB1=3，AC=1，由勾股定理逆定理可知△AB1C為直角三角形.

所以B1A⊥AC.

建立如圖3所示的空間直角坐標系：由已知條件，不難得出AC=（0，1，0），AC1=（-1，1，3），B1C=（0，1，-3），CC1=（1，0，-3）.

設n1=（x1，y1，z1）為平面ACC1的法向量，

則由AC·n1=0，AC1·n1=0，

可得y1=0，x1=3z1.

設z1=1，則n1=（3，0，1）.

設n2=（x2，y2，z2）為平面B1CC1的法向量，

則由B1C·n2=0，CC1·n2=0，

可得y2=3z2，x2=3z2.

設z2=1，則n2=（3，3，1）.

設二面角B1-CC1-A的平面角為θ，則

cosθ=n1·n2|n1|·|n2|=277.

即二面角B1-CC1-A的余弦值為277.

點評解題的關鍵在于構建正確的空間直角坐標系，找到線、面相關的向量以及法向量，而后通過數學運算求解.

5 向量法用于解答直線與圓習題

例5已知A，B為圓x2+y2=5上的兩個動點，且滿足|AB|=15，點M在直線2x+y=10上運動，則|MA+MB|的最小值是.

解析因為圓的方程為x2+y2=5，所以圓的半徑r=5.B9ECAC5A-1889-4DFA-AF0A-BDF4BBE34E43

又因為A，B為圓x2+y2=5上的兩個動點，且滿足|AB|=15，所以圓心O到線段AB的距離

d=r2-（152）2=52.

取AB的中點為點N，則點N在以原點為圓心，半徑r1=52的圓上.

即其軌跡方程為x2+y2=54.

因為MA+MB=MN+NA+MN+NB，N為AB的中點，

所以NA=-NB.

所以MA+MB=2MN.

則圓心到直線2x+y=10的距離

d1=25.

則點N到點M的最短距離|MN|=d1-r1=25-52=352.

故|MA+MB|的最小值是2|MN|=35.

點評向量法與幾何知識有著密切的聯系，因此，解題時應注重熟練運用向量知識并借助數形結合的思想，更加直觀地尋找相關點、線段之間的關系，達到化難為易，迅速解題的目的.

6 向量法用于解答數列習題例6已知Sn為數列{an}的前n項和，a1=a2=1，平面內三個不共線的向量OA，OB，OC，滿足OC=（an-1+an+1）OA+（1-an）OB，n≥2，n∈N*，若點A，B，C在同一直線上，則S2021的值為.

解析設AC=λAB，所以AO+OC=λAO+λOB.所以OC=（1-λ）OA+λOB.

所以an-1+an+1=1-λ，1-an=λ.

所以an-1+an+1+1-an=1.

所以an-1+an+1=an，an+an+2=an+1，an-1+an+1+an+2=an+1.

則an-1+an+2=0，an+an+3=0，an+3+an+6=0.

所以an=an+6.

數列{an}是以6為周期的數列，因為a1=a2=1，所以a3=a2-a1=0，a4=a3-a2=-1，a5=a4-a3=-1，a6=a5-a4=0.

所以a1+a2+a3+a4+a5+a6=0.

因為2021=6×336+5，

所以S2021=S5=0.

點評向量常作為工具解答高中數學相關習題，尤其當遇到向量與數列相結合的習題時，應注重積極聯系所學的向量結論迅速地找到解題切入點.

7 向量法用于解答圓錐曲線習題

例7已知雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的離心率為2，左、右焦點分別為F1，F2，點M（-a，0），N（0，b），點P為線段M，N上的動點，當PF1·PF2取得最小值和最大值時，△PF1F2的面積分別為S1，S2，則S2S1的值為.

解析由雙曲線離心率定義可知，

ca=1+（ba）2=2.

所以ba=3.

所以直線MN的方程為y=3（x+a）.

設點P（t，3（t+a）），t∈[-a，0]，易得到F1（-c，0），F2（c，0）.

所以PF1=（-c-t，-3（t+a）），PF2=（c-t，-3（t+a））.

所以PF1·PF2=4（t+34a）2-134a2.

因為t∈[-a，0]，所以當t=-34a時，PF1·PF2取得最小值，此時點P的縱坐標為ymin=3a4;

當t=0時，PF1·PF2取得最大值，此時點P的縱坐標為ymax=3a.

因為S△PF1F2=12·|F1F2|·yP，

所以S2S1=ymaxymin=4.

點評運用向量法解答圓錐曲線習題并注重靈活運用向量的相關運算，同時還應注重對要求解的結果進行適當地轉化，運用換元法降低計算復雜度，確保問題得以順利突破.

參考文獻：

[1]?徐波.探討向量法在高中數學解題中的應用[J].試題與研究，2020（06）：24.

[2] 官良燕.例析向量法在高中數學解題中的應用[J].中學生數理化（學習研究），2019（06）：13.

[3] 吳麗端.向量法在高中數學解題中的應用策略[J].數理化解題研究，2021（22）：49-50.

[責任編輯：李璟]B9ECAC5A-1889-4DFA-AF0A-BDF4BBE34E43