高中數學解題中向量法的運用

摘要：向量是高中數學的重要知識點，同時也是解答相關數學習題的重要工具.本文結合具體實例，探討向量法在三角函數、不等式、平面幾何、立體幾何、直線與圓等解題中的運用.

關鍵詞：高中數學;解題;向量法;運用

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）07-0036-03

收稿日期：2021-12-05

作者簡介：陳蘇平（1986.9-），男，江蘇省溧水人，中學一級教師，從事中學數學教學研究.[FQ）]

運用向量法解答高中數學習題的難點在于如何根據已知條件構建合理的向量，因此教學中應注重給予學生運用向量法解題的引導，而后要求學生靈活運用向量的幾何及其坐標運算知識順利地求解相關習題，使學生親身體會用向量法解題的簡便之處.

1 向量法用于解答三角函數習題

例1已知sinα+sinβ=22，則cosα+cosβ的取值范圍為（）.

A.[-72，72]B.[-142，142]

C.[-152，152]D.[-172，172]

解析由題意可設m=（cosα，sinα），n=（cosβ，sinβ），則m+n=（cosα+cosβ，sinα+sinβ）.

又因為sinα+sinβ=22，

所以m+n=（cosα+cosβ，22）.

又因為0≤|m+n|≤|m|+|n|，

即0≤（cosα+cosβ）2+12≤2.

因此，cosα+cosβ∈[-142，142]，故選B.

點評應用向量法解答三角函數習題時，既要注重利用三角函數的相關公式以及一些隱含條件，又要根據已知條件運用向量構建不等關系.

2 向量法用于解答不等式習題

例2已知a+b+c=1，則3a+1+3b+1+3c+1的最大值為（）.

A.32B.52C.92D.182

解析根據題意設m=（3a+1，3b+1，3c+1），n=（1，1，1），則|m|2=（3a+1）+（3b+1）+（3c+1）=6.

又因為|m|2≥（m·n）|n|2，

故（3a+1+3b+1+3c+1）2≤18.

因此，0<3a+1+3b+1+3c+1≤32，故選A.點評運用向量法求解不等式習題具有一定的技巧性，可根據解題經驗以及已知條件構建相關向量，而后運用向量與其模之間的關系進行求解.

3 向量法用于解答平面幾何習題

例3已知ABCD為直角梯形，AB和CD是梯形的兩個底，其中∠ABC為直角，且滿足BC=CD=12AB，則∠CAD的余弦值為.

解析建立如圖1所示的平面直角坐標系：

將AB的長度看作為2，則A（2，0），C（0，1），D（1，1）.

則AC=（-2，1），AD=（-1，1）.

則|AC|=5，|AD|=（-1）2+12=2，

AC·AD=3.

因為AC·AD=|AC|·|AD|cos∠CAD=10·cos∠CAD=3，

所以cos∠CAD=31010.

點評運用向量法求解幾何問題時，通常構建平面直角坐標系，借助向量的坐標運算簡化解題步驟，提高解題效率.

4 向量法用于解……