高中數學數列試題的解題技巧

劉鵬

摘要：本文分析了公式法、數列分組法、裂項相消法、錯位相減法、累加累乘等方法以及變式練習題在數列解題中的應用，以期為促進高中數學數列教學，提高學生數列解題能力提供借鑒.

關鍵詞：數列分組法;錯位相減法;裂項相消法

中圖分類號：G632文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2022）07-0007-03

數列是高中數學的重點、難點，習題情境復雜多變，部分習題技巧性較強.為提高解答數列試題的能力，既要總結常見的數列習題類型，又要注重深入研究經典例題，掌握題型特點，總結相關解題技巧.

1 數列試題解題技巧之公式法的應用

例1在數列{an}中，a1=2，an+1=an+2n+1，數列{bn}滿足bn=2log2（an+1-n），則數列{bn}的前n項和Sn為（）.

A.n2B.n2-nC.n2+nD.n2+n+1

解題技巧高中數學數列部分涉及很多公式，解題時直接套用公式可大大提高解題效率.解答該題需要從給出的已知條件出發通過構造新的數列求解出數列{an}，通過計算得出數列{bn}的通項公式，而后直接套用等差數列前n項和計算公式.

因為an+1=an+2n+1，

所以an+1-2n+1=an+2n+1-2n+1=an-2n+1.

所以（an+1-2n+1）-（an-2n）=1.

因為a1=2，所以a1-2=2-2=0.

則數列{an-2n}是以0為首項，1為公差的等差數列.

所以an-2n=n-1，即an=n-1+2n.

因為bn=2log2（an+1-n），

所以bn=2log2（n-1+2n+1-n）=2n.

所以Sn=b1+b2+…+bn=2（1+2+…+n）=2×n（1+n）2=n2+n，故選C.

2 數列試題解題技巧之數列分組法的應用

例2已知數列{an}滿足a1=1，nan+1=（n+1）an+n（n+1），n∈N*，且bn=ancos2nπ3，設Sn為數列{bn}的前n項和，則S2020的值為（）.

A.1B.12C.-12D.-1

解題技巧解答數列與三角函數相結合的試題不僅要運用數列相關知識，而且需要運用相關的誘導公式.該題中需根據已知條件求出數列{an}的通項公式，得出數列{bn}的通項公式，結合三角函數，找到數列{bn}中不同項數的通項公式.

因為nan+1=（n+1）an+n（n+1），

所以an+1n+1=ann+1，即an+1n+1-ann=1.

因為a1=1，所以數列{ann}是以1為首項，1為公差的等差數列，即ann=n，an=n.

所以bn=ncos2nπ3.

b3k-2=（3k-2）cos（2kπ-4π3）=-12（3k-2）;

b3k-1=（3k-1）cos（2kπ-2π3）=-12（3k-1）;

b3k=3kcos2kπ=3k;

所以b3k-2+b3k-1+b3k=32.

因為2020=3×674-2，

所以b2020=-12（3×674-2）=-1010.

又因為2020=3×673+1，

故S2020=（b1+b2+b3）+（b4+b5+b6）+…+（b2017+b2018+b2019）+b2020=32×673-1010=-12.3 數列試題解題技巧之裂項相消法的應用

例3已知數列{an}滿足a1=43，an+1-1=an（an-1）（n∈N*），且Sn=1a1+1a2+1a3+…+1an，則Sn的整數部分可能構成的集合是（）.

A.{0，1，2}B.{0，1，2，3}C.{2}D.{0，2}

解題技巧部分數列習題，需要運用遞推關系研究相關項數之間的聯系，對分析以及推理能力要求較高.該題中需根據已知條件尋找相關的遞推關系，采用裂項相消法求出Sn.根據已知條件判斷數列{an}的單調性，而后通過分類討論進行解答.

因為an+1-1=an（an-1），兩邊取倒數，得

1an+1-1=1an-1-1an.

即1an=1an-1-1an+1-1.

故Sn=1a1+1a2+1a3+…+1an=1a1-1-1a2-1+1a2-1-1a3-1+…+1an-1-1an+1-1=3-1an+1-1.

又因為an+1-1=an（an-1），

所以an+1-an=（an-1）2.

因為an≠1，所以（an-1）2>0，數列{an}為遞增數列.

因為a1=43，故a2=139，a3=13381，a4=134776561.

所以1a3-1=8152>1，1a4-1=65616916<1.

當n=1時，S1=1a1=34，整數部分為0;

當n=2時，S2=1a1+1a2=34+913=1+1352，整數部分為1;

當n=3時，S3=1a1+1a2+1a3=34+913+81133=2+3556561，整數部分為2;

當n≥4時，3-1an+1-1∈（2，3），其整數部分為2.

綜上可知，Sn的整數部分可能構成的集合是{0，1，2}，故選A.

4 數列試題解題技巧之累加、累乘法的應用

例4對于數列{an}，若存在常數M，使得對任意的n∈N*，都有|an|

A.an+an+1=1+nB.an+1-an=1-1n21B61FEF-5BE1-417A-BA74-8BCF5C05736E

C.anan+1=1+2nD.an+1an=1+1n2

解題技巧解答數列新定義類問題的關鍵在于能夠構建新定義與所學知識的聯系，對要求解的問題進行靈活轉化，化陌生為熟悉，尤其需要靈活運用多種解題方法進行嚴謹地推理.

對于A，C兩項，設數列{an}有界，根據定義可知，an

而1+n→+∞，1+2n →+∞，因此，兩項均錯誤.

對于B項，當n≥2時，an+1-an=1-1n≥12，所以a3-a2≥12，a4-a3≥12，…，an-an-1≥12.

累加得到：an-a2≥12（n-2）.

因為a2-a1=0，所以a1=a2=1.

所以an≥n2，不是有界的.

對于D項，a2=1+1=2，an+1an=1+1n2=n2+1n2

所以an<4成立.故選D.

5 數列解題技巧之錯位相減法的應用

例5已知{an}是公差不為0的等差數列，已知a1=1，且a1，a2，a4成等比數列，數列{bn}的前n項和為Sn，b1=2，bn=Sn-1+2（n≥2，n∈N*），設an=bncn.

（1）求數列{cn}的通項公式;

（2）記Tn為數列{cn}的前n項和，若對于任意的n∈N*，不等式bn·Tn>（-2）np-n恒成立，求實數p的取值范圍;

解題技巧遇到數列求和時應注重先觀察求和數列的通項公式，尤其當通項公式為等差數列與等比數列的復合形式時常采用錯位相減法.

該題中首先根據已知條件求出數列{an}，{bn}的通項公式，而后借助“an=bncn”求出數列{cn}的通項公式.求{cn}的前n項和Tn時需要運用錯位相減法.

問題（1）因為{an}是公差不為0的等差數列，a1=1，且a1，a2，a4成等比數列.

所以a22=a1a4.

設公差為d，則（1+d）2=1×（1+3d）.

整理，得d（d-1）=0.則d=1，an=n.

因為當n≥2時，bn=Sn-1+2，則bn+1=Sn+2.兩式相減，得bn+1-bn=Sn-Sn-1=bn.

所以bn+1=2bn.

當n=2時，b2=S1+2=b1+2=4，故b2=2b1.

所以數列{bn}是以2為首項，以2為公比的等比數列.所以bn=2×2n-1=2n.

因為an=bncn，所以cn=n2n.

問題（2）因為cn=n2n，所以Tn=1×12+2×122+3×123+…+（n-1）×12n-1+n×12n.①

所以12Tn=1×122+2×123+3×124+…+（n-1）×12n+n×12n+1.②

①-②，得

12Tn=12+122+123+…+12n-n×12n+1=12[1-（12）n]1-12-n×12n+1=1-n+22n+1.

所以Tn=2-n+22n.

因為不等式bn·Tn>（-2）np-n恒成立，

即2n·（2-n+22n）>（-2）np-n恒成立.

所以（-1）np<2-22n.

當n為偶數時，p<2-22n恒成立，則n=2，此時p<2-12=32;

當n為奇數時，-p<2-22n，p>22n-2，則n=1，p>-1.

綜上可知，p的取值范圍為（-1，32）.

參考文獻：

[1] 胡見畬.淺談數列試題解題方法與技巧[J].高中數學教與學，2019（06）：46-47.

[2] 劉克江.淺析高中數學數列試題的解題方法與技巧[J].課程教育研究，2020（19）：142.

[責任編輯：李璟]21B61FEF-5BE1-417A-BA74-8BCF5C05736E