例談多元最值問題的九種策略

摘要：求解多元最值問題技巧性強、難度大、方法多，靈活多變，多元最值問題蘊含著豐富的數學思想和方法，本文結合學生存在的問題給出了解決多元最值問題的九種策略.

關鍵詞：多元;最值;不等式

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）07-0010-03

收稿日期：2021-12-05

作者簡介：白亞軍（1978-），男，甘肅省永昌人，中學一級教師，從事高中數學教學研究.[FQ）]

多元最值問題，指的是含有兩個或兩個以上變元的式子的最值求法問題，因為含有多個變元，所以學生害怕學習這一類問題，而這一類問題可以考查學生的綜合能力，所以學生在平時的學習中，不要一味追求某一種解法，要學會從不同解法中汲取不同的思想方法，提高自身的數學核心素養.

1 利用不等式的性質

例1設xi≥0（i=1，2，3，4，5），∑5i=1xi=1，M=

maxx1+x2，x2+x3，x3+x4，x4+x5，求M的最小值.

解析由M≥x1+x2，M≥x3+x4，M≥x4+x5，得3M≥x1+x2+x3+2x4+x5=1+x4≥1，解得M≥13.

當x4=0，x3=x5=13，x1+x2=13時， M取得最小值13.

點評不等式的基本性質在高中數學中的應用是非常廣泛的，一定要牢記不等式的基本性質.

2 利用絕對值不等式

例2求函數f（x）=x2-a在區間-1，1上的最大值M（a）的最小值.解析注意到f（-1）=f（1），且

2M（a）≥f（0）+f（1）=a+1-a≥a+1-a=1，

所以M（a）≥12，當且僅當a=1-a，即a=12時，M（a）取得最小值12.

點評本題主要根據絕對值不等式a+b≥a±b求最值，根據不同情況選取.

3 利用均值不等式

例3設maxf（x），g（x）=g（x），f（x）≤g（x），f（x），f（x）>g（x），若函數n（x）=x2+px+q（p，q∈R）的圖象經過不同的兩點（α，0），（β，0），且存在整數n使得n<α<β

A.maxn（n），n（n+1）>1

B.maxn（n），n（n+1）<1

C.maxn（n），n（n+1）>12

D.maxn（n），n（n+1）<12

解析因為n（x）=x2+px+q的圖象經過兩點（α，0），（β，0），故n（x）=x2+px+q=（x-α）（x-β）.

所以n（n）=（n-α）（n-β）=（α-n）（β-n），n（n+1）=（n+1-α）（n+1-β）.

令α-n=t1，β-n=t2，由于n<α<β

點評通過已知條件轉化構造和為定值，再利用基本不等式使問題自然獲解.

4 利用柯西不等式

例4若a，b，c>0且a+b+c=33，求

minmaxa2a+2b+3c，b2b+2c+3a，c2c+2a+3b.

解析設

t=maxa2a+2b+3c，b2b+2c+3a，c2c+2a+3b，則

t≥a2a+2b+3c，t≥b2b+2c+3a，t≥c2c+2a+3b.

由柯西不等式，得3t≥a2a+2b+3c+b2b+2c+3a+c2c+2a+3b≥（a+b+c）26（a+b+c）=a+b+c6=32，解得t≥36，當且僅當a=b=c=3取等號.

即

minmaxa2a+2b+3c，b2b+2c+3a，c2c+2a+3b=36.

點評柯西不等式往往不能直接使用，需要對數學式子的形式進行變化，拼湊出與一般形式的柯西不等式相似的結構，才能應用.

5 分類討論

例5若a，b>0，求minmaxa，b，1a+4b的值.

解法1設t=maxa，b，1a+4b，

則

t≥a，t≥b，t≥1a+4b.

①當a≥b時，t≥1a+4b≥1a+4a=5a，2t≥a+5a≥25，當且僅當a=b=5時取等號;

②當b≥a時，t≥1a+4b≥1b+4b=5b，2t≥b+5b≥25，當且僅當a=b=5時取等號.

綜上，當t≥5，當且僅當a=b=5時取等號，即minmaxa，b，1a+4b=5.

點評對于多元函數最值問題，有時需將題目條件中包含的全體對象分成若干類，再分類討論.

6 待定系數法

例5解法2設t=maxa，b，1a+4b，t≥a，t≥b，則λt≥λa，μt≥μa，且t≥1a+4b.故21B61FEF-5BE1-417A-BA74-8BCF5C05736E

（λt+μt）t≥（λa+μb）（1a+4b）=λ+4μ+4λab+μba≥λ+4μ+

24λμ，

所以t2≥λ+4μ+24λμλ+μ，當且僅當a=b=t且4λab=μba時取等號.即a=b=5，μ=4λ時， t≥5.即minmaxa，b，1a+4b=5.

點評當運用不等式性質較難達到目標時，有時可引入參數作為待定系數，再根據題意解決問題.

7 構造函數

例6設a，b，c∈R，f（x）=x3+ax2+bx+c（-1≤x≤1），求minmaxf（x）.

解析因為f（x）為三次函數且x∈-1，1，聯想到三倍角公式cos3θ=4cos3θ-3cosθ，所以構造特殊函數f（x）=x3-34x，x∈-1，1.

設x=cosθ，θ∈-π，π，則

f（x）=14（4cos3θ-3cosθ）=14cos3θ.

從而maxf（x）=14，當且僅當3θ=0，±π，±2π，±3π，即x=±1或x=±12時取等號.

故猜測minmaxf（x）=14.

設t=maxf（x），注意到|f（1）-f（-1）-2f（12）+2f（-12）|=32，故

6t≥f（1）+f（-1）+2f（12）+2f（-12）

≥f（1）-f（-1）-2f（12）+2f（-12）=32.

所以t≥14，考慮到f（x）=x3-34x，x∈-1，1時，故minmaxf（x）=14.

點評根據題設或所具有的特征構造出滿足條件或結論的函數，借助于函數性質解決問題.

8 利用韋達定理

例7若a，b，c>0且a+b+c=12，ab+bc+ca=45，求minmaxa，b，c.

解析注意到a，b，c的對稱性，故可設a=

maxa，b，c.又b+c=12-a，bc=45-a（12-a），

所以方程x2+（a-12）x+45-a（12-a）=0有兩個不大于a的實根.故f（a）≥0，12-a2≤05≤a≤6，Δ≥0.當a=b=5，c=2時，minmaxa，b，c=5.

點評一定條件下求某些代數式的最大值、最小值，如果將其與一元二次方程中的根與系數關系及根的判別式聯系起來，將會給我們提供一種十分巧妙的解題思路.

9 數形結合

例8設f（x）=min2x，16-x，x2-8x+16（x≥0），其中mina，b，c表示a，b，c三個數中的最小值，則f（x）的最大值為（）.

A.6B.7C.8D.9圖1

解析畫出y=2x，y=16-x，y=x2-8x+16的圖象，觀察圖1可知，

當x≤2時，f（x）=2x;當27時，f（x）=16-x，

f（x）的最大值在x=7取得為9，故選D.

點評數形結合就是根據數學問題的條件和結論之間的內在聯系，分析其代數意義，又揭示其幾何直觀，使數量關系的精確刻畫與圖形巧妙地結合.

通過以上多元最值問題的剖析，最基本的處理策略就是減元，研究一元函數的思想方法是研究多元函數的基礎，在任何情況下，學生都要扎實抓好基礎知識、基本技能、基本思想方法的落實，在教學中做到“點點”落實，否則“欲速則不達”.

參考文獻：

[1] 王小國，李敏.淺談多元最值問題中元的處理技術[J].中學生理科應試，2021（Z1）：20-22.

[責任編輯：李璟]21B61FEF-5BE1-417A-BA74-8BCF5C05736E