捆綁法在高中數學排列組合中的應用

摘要：排列組合作為高中數學課程體系中的重要構成部分，由于題型較為特殊，學生解題時往往感到無從下手，存在諸多疑惑，還容易出現重復與遺漏現象，很難求出正確答案，極易影響到學生的學習興趣與自信，面對這一現狀，教師可指導他們應用捆綁法解決排列組合問題，使其學會處理這類試題.本文據此展開分析與探究，并分享一些捆綁法的具體應用實例.

關鍵詞：捆綁法;高中數學;排列組合

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）07-0039-03

收稿日期：2021-12-05

作者簡介：張飛飛（1986.2-），男，安徽省濉溪人，本科，中學一級教師，從事高中數學教學研究.[FQ）]

捆綁法指的是在處理排列組合題目時，解決某些元素相鄰問題常用的一種解題方法，需把相鄰元素捆綁起來看成一個整體，再與其它元素一起排列，不過要注意捆綁元素的內部排列.在高中數學教學中，教師應引導學生采用捆綁法分析與解答排列組合問題，將要求在一起的元素捆綁成一個大元素，使其從大元素著手，最終輔助他們簡潔、高效地解決問題.

例1如果有A，B，C，D，E五個人排隊，要求A與B兩個人一定要站在相鄰的位置，那么一共有多少種排隊方法？

解析在本道題目中，學生通過閱讀題干內容提取關鍵信息后，發現是要求A與B兩個人一定要排在相鄰的位置，這表明A與B不能隨意同其他人進行排列，此時他們可以使用捆綁法，把A，B兩人捆綁在一起看成一個整體，也就是把A與B先當作一個人，對B，C，D，E四個人進行排列，能夠得到A44=24種排列方法.然后對A與B進行內部排列，有兩種排列方法，即為A在B的前面，或者B在A的前面，所以最后的結果是24×2=48，也就是說一共有48種排隊方法.

例2一共有8本不一樣的教科書，其中英語書有2本，語文書有3本，另外三本是其它教科書，把這8本書排成一排放在書架上面，如果讓3本語文書剛好排在一起，2本英語書也剛好排在一起，那么一共有多少種排列方法？

解析學生閱讀完題干信息以后，由于題目中明確指出要把3本語文書、2本英語書均排在一起，同樣要用到捆綁法，先把3本語文書看成一個整體，捆綁起來當作是1本書，再把2本英語書也捆綁在一起，看成一個整體，當作一本書來看待.這樣一來同剩余的其它科目3本書放在一起，一共當作5本書進行排列，其中語文書、英語書各一本，其它書3本，那么這5本書一共有A55種排列方法，也就是120種排列方法，之后，3本語文書內部可以隨機調整順序，得到A33=6種排列方法，而2本英語書內部也可以調整排列順序，即為A22=2種排列方法，那么最后的排列方法一共為120×6×2=1440種.

例3現在要將4個不同的小球放在3個不一樣的盒子里面，要求每個盒子最少要放一個小球，那么一共有多少種放法？

解析學生先認真閱讀題目內容，找出其中的已知條件與題設要求，他們結合題意可以知道，要把4個不一樣的小球放入到3個不一樣的盒子里面，且每個盒子都不能是空的，至少要放入1個小球，這就表明某個盒子當中一定要放入2個小球，剩下的兩個盒子里面分別放入1個小球，而且小球與盒子均是各不相同的，明顯是一個排列組合問題.這時學生可以應用捆綁法處理這一問題，先把2個小球捆綁在一起看成是一個整體，再將其同剩下的2個小球進行全排列，且分別放入到對應的盒子當中，根據題意分2步進行分析：①把4個小球分成3組，其中一組2個，剩余2組各1個;再把這3組小球全排列，對應3個盒子，分別求出每一步的情況數目，由分步計數原理計算可得答案.具體解答方法如下：

根據題意，分2步進行：先把4個小球分成3組，其中一組2個，剩余2組各1個，分組方法有C42=6種;

再把這3組小球全部排列，對應3個盒子，有A33=6種;

最后根據分步計數原理可得所有的不同方法共有6×6=36種放法.

例4某市舉辦經濟建設成果展覽會，計劃在7月上旬組織5個單位參觀，但是由于1個單位的人數比較多，需要連續參觀展覽2天，其他4個單位則只需參觀展覽1天即可，如果每天最多只能安排1個單位來參觀展覽，那么參觀的時間安排一共能有（）種.

A.630B.700C.15120D.16800

解析學生讀完題目內容以后要注意發掘其中的隱含信息，即為題目中表明是在7月上旬組織參觀展覽，那么就要明確7月上旬一共有10天，6天安排參觀，4天不安排.因此，學生可以把連續參觀2天的單位捆綁在一起，看成一個整體，由于原題目中指出要在9天中選出5天參觀展覽，且安排5個單位.具體解答方法如下：

把那個人數較多的單位也看成只參觀一天，這樣要去掉的參觀時間是（2-1）=1天，這時用來參觀的時間是10-1=9天，現在可以計算第一個單位，是9天中的某一天進行參觀，第一個單位有9種可能，第二個單位只有9-1=8種參觀的可能，以此類推，第三個單位是7種，第四個單位是6種，第五個單位是5種，由于這五個單位有先后順序，所以計算方法是A59=9×8×7×6×5=15120種，即正確答案是C選項.

例5現在有5個身高不一樣的同學站成一排照相，其中身高最高的那位同學需站在5個人的中間，其余同學按照身高向兩側遞減，則一共有（）種排列方法.

A.4B.6C.12D.24

解析本道題目很明顯是在考查排列組合問題，學生通過認真審題，根據題干中給出的已知信息來分析題意，因為身高最高的同學只有一種站法，就是站在5個人的正中間位置，可以將其捆綁在固定位置.在一邊站好兩位同學以后，另外一邊必定也是一高一矮的兩位同學，也就是說兩邊的高矮順序也只能存在1種排列方式，由于高矮已經定好，剩余的4位同學里面先挑出2位排左邊，則另外2位就排在右邊.所以說選定一邊兩人的種類數也就是總的排列方式，故不同的排法種數有C24=6種，由此得出正確答案是選項B.936B45BE-0483-448F-ADEB-57F9034D0057

例6某班級舉辦制作彩帶的活動，其中有一位同學說選擇8種不一樣的顏色當作自己制作彩帶的材料，在這樣的顏色排列過程中，需要先把紅色、藍色與黃色三種顏色的彩帶放到一起，剩余的其它顏色則可以隨機擺放，那么一共有多少種顏色的排列方式？

解析學生通過閱讀題干信息，發現制作彩帶時，要把紅色、藍色與黃色三種顏色的彩帶相鄰排列，這就可以用到捆綁法，先將這三種顏色的彩帶捆綁到一起，看成一個整體的大元素，再同剩余的其它5種顏色進行正常的排列，這樣能夠得到A66種排列方式，計算以后是720種.然后根據題意能夠知道只是要求紅色、藍色與黃色三種顏色的彩帶排列在一起即可，并沒有明確要求三者的具體順序，所以這三種顏色的彩帶在內部有A33種排列方式，即為6種，那么總的排列方式是720×6=4320種.

例7現在要求7個人排成一隊，其中甲與乙一定相鄰，丙與丁也一定相鄰，那么一共有多少種排隊方法？

解析學生讀完題目內容以后，能夠輕松判斷這是一道典型的捆綁類試題，因為題目中明確要求甲與乙、丙與丁要站在一起，所以他們可以使用捆綁法，把甲與乙捆綁在一起看成一個整體，丙與丁作同樣處理，這樣就把本道題目簡化成5個人的排隊問題.具體解題方法如下：

先利用捆綁法，將甲與乙、丙與丁均當作一個整體，同剩余的三個人進行排隊，即為一共是5個元素在隨機排隊，可列出式子A55，計算以后得到120種情況，而捆綁元素的內部也能夠進行自由排列，甲與乙有兩種不同的排列方式，也就是A22=2種情況，丙和丁的情況一樣，也有2種排列方式，所以最后總的排隊方法是120×2×2=480種.

總的來說，在高中數學排列組合解題教學中，捆綁法有著相當廣泛的運用，教師需利用好平常的解題訓練契機，為學生提供更多應用捆綁法解決排列組合問題的機會，使其通過加強專題訓練熟練掌握捆綁法的技巧與規律，學會把能看作一個整體的元素捆綁成一個大元素，再進行排列組合，由此逐步提升他們的數學解題水平，為將來的高考做好充足準備.

參考文獻：

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[責任編輯：李璟]936B45BE-0483-448F-ADEB-57F9034D0057