全等三角形中雙垂直問題的探究

洪萍

摘要：在雙垂直條件背景下，能通過抽象、概括去認識、理解、把握全等三角形的數學本質，熟悉基本圖形的特征.滲透學生的核心素養，增強學生的數學素養與數學學習的能力，培養學生應用數學的意識.

關鍵詞：雙垂直;核心素養;解題策略

引言：

在全等三角形的問題中，經常會添加雙垂直的條件，如何使學生能更好地理解全等三角形的概念，能通過抽象、概括去認識、理解、把握全等三角形的數學本質，在本文中對解決此類型的問題，進行了解題策略的探究。

一、從圖形與圖形的關系中抽象出全等三角形的概念，從雙垂直的具體背景中抽象出一般規律和結構

1.如圖，DC⊥CA，EA⊥CA，CD=AB，CB=AE，求證：

（1）△BCD≌△EAB;

（2）DB⊥BE.

解題策略：在證明第（1）題時，結合圖形，從DC⊥CA，EA⊥CA，的雙垂直條件中，找出∠C=∠A=90°后，應用“S.A.S.”證明兩個三角形全等，第（2）題應用“全等三角形對應角相等”得到∠D=∠ABE，再通過“直角三角形的兩銳角互余”得到∠D+∠CBD=90°，使得∠ABE+∠CBD=90°，就容易推理出DB⊥BE。

本題在雙垂直條件的背景下，尋找證明全等三角形的條件，應用全等三角形和直角三角形的性質證明線段垂直.幫助學生理解全等三角形的概念、性質，熟悉基本圖形的特征。

數學抽象是數學的基本思想，是形成理性思維的重要基礎，反映了數學的本質特征，在數學抽象核心素養的形成過程中，積累從具體到抽象的活動經驗.學生能更好地理解數學概念、性質，能通過抽象、概括去認識、理解、把握事物的數學本質，能逐漸養成一般性思考問題的習慣。

二、能掌握全等三角形推理的基本形式，能理解雙垂直和全等三角形圖形之間的聯系，建構知識框架

2.如圖，CB⊥AD，AE⊥DC，垂足分別為B、E，AE、BC相交于點F，且AB=BC，求證：△ABF≌△CBD.解題策略：由雙垂直條件CB⊥AD，AE⊥DC，找出∠ABF=∠CBD=∠AED=90°，可以利用“直角三角形的兩銳角互余”得到∠AFB=∠CDB，或者找到“8字型”的△ABF和△CEF，利用“三角形的內角和等于180°”得到∠A=∠C，再運用“A.S.A.”證明△ABF≌△CBD。

本題在雙垂直條件背景中，利用“直角三角形的兩銳角互余”或者“8字型”模型，找出證明全等三角形的條件，使學生掌握一題多解的證明方法，經歷演繹推理的過程。

關于全等三角形的三個基本事實，是進行演繹推理的重要推理，學生能夠發現問題和提出命題，表述論證的過程，形成有論據、有條理、合乎邏輯的思維品質，增強數學交流能力。

三、對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題、用數學知識與方法構建全等三角形模型解決問題

3.如圖，王強同學用10快高度都是2㎝的相同長方體彩色小木塊，壘了兩堵與地面垂直的木墻，木墻之間剛好可以放進一個等腰直角三角尺ABC（AC=BC，∠ACB=90°），點C在地面DE上，點A和B分別與木墻的頂端恰好重合，求兩堵木墻之間的距離DE，并說明理由。

解題策略：在實際情境中發現，與地面雙垂直的木墻之間的等腰直角三角尺ABC，找出∠ADC=∠BEC=∠ACB=90°，利用“直角三角形的兩銳角互余”得到∠CAD=∠BCE，運用“A.A.S.”證明△ACD≌△CBE.應用“全等三角形的對應邊相等”推理出CD=BE，AD=CE.就容易求出DE長。

本題對現實問題進行數學抽象，在雙垂直的背景下，構建全等三角形模型解決問題。

數學模型構建了數學與外部世界的橋梁，是數學應用的重要形式.數學建模是應用數學解決實際問題的基本手段，也是推動數學發展的動力。

四、利用圖形描述、分析數學問題，構建數學問題的直觀模型，探索解決問題的思路

4.如圖，已知AD⊥BC于點D，AD=BD，AC=BE.

（1）求證：∠1=∠C;

（2）猜想BE和AC有何特殊位置關系，并說明理由.

解題策略：第（1）題AD⊥BC可以得到∠BDE=∠ADC=90°運用“H.L.”證明Rt△BDE≌Rt△ADC，應用“全等三角形的對應角相等”推理出∠1=∠C.第（2）題直觀想象BE⊥AC，做BE的延長線到AC，交AC于點F，應用“全等三角形的對應角相等”得到∠DBE=∠DAC.找到“8字型”的△BDE和△AEF，利用“三角形的內角和等于180°”得到∠BDE=∠AFE=90°，說明了BE和AC有特殊位置關系：垂直。

本題在雙垂直條件的背景下，直觀想象BE和AC有特殊位置關系，運用全等三角形的數學模型，進行邏輯推理，構建抽象結構。

五、進一步發展數學運算能力，能有效借助運算方法解決實際問題，通過運算促進數學思維發展

5.如圖，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分別是D、E，AD=3，BE=1，則DE= ? ? ? ? ?。

解題策略：從AD⊥CE，BE⊥CE，可知∠ADC=∠CEB=90°，利用“直角三角形的兩銳角互余”得到∠CAD=∠BCE，運用“A.A.S.”證明△ACD≌△CBE.應用“全等三角形的對應邊相等”推理出AD=CE，CD=BE，就可以計算出DE長。

本題在雙垂直的條件下，結合直角三角形的性質、全等三角形的判定和性質，通過兩線段差的運算，促進數學思維發展。

在數學運算核心素養的形成過程中，學生能夠進一步發展數學運算能力;能有效借助運算方法解決實際問題;能夠通過運算促進數學思維發展，養成程序化思考問題的習慣;形成一絲不茍、嚴謹求實的科學精神。

激發學生的學習興趣， 增強學生的數學素養與數學學習能力，體會數學的應用價值。

參考文獻：

[1]《初中數學課程標準》2021版.

[2]《淺談培養初中生數學核心素養的策略》 [J] 呂運來 天天愛科學教育前沿 2020.688114E1-4DE3-4D3A-A479-BDA8BF3674C7