高中學段數學思想方法的建立與培養

王宏偉

[摘? 要] 數學思想方法是數學思想與數學方法的統稱，兩者之間既有聯系又有區別. 對于學生來說，感知、領悟數學思想方法也是非常重要的. 在引導學生認識數學思想方法的價值時，通常要結合具體的教學內容，以讓學生在數學思想方法的體驗過程中領悟數學思想方法的魅力. 具體的教學策略是：在數學知識生成的過程中滲透數學思想方法，在學習反思的過程中明晰數學思想方法.

[關鍵詞] 高中數學;數學思想方法;分類討論;數形結合

在高中數學教學中，有一個基本的思路就是對數學思想方法的重視. 實際上，數學思想方法是數學思想與數學方法的統稱，兩者之間既有聯系又有區別. 一般認為，數學思想是人們對數學本質的認識，是數學作為一門科學的根本，數學思想蘊含在數學知識生成的過程中. 數學思想往往具有明顯的主觀特征，是數學研究者對數學及學科研究的本質認識;數學方法是數學思想的外在體現形式，是數學思想的具體化，數學方法往往具有顯著的操作性特征. 如果說數學思想內在于數學研究者、學習者個體，那么數學方法就是外在于數學研究者、學習者個體的操作. 正是因為數學思想與數學方法有如此緊密的關系，使得人們在討論數學思想與數學方法時，都以數學思想方法統稱相關方面的內容. 對于高中學生的數學學習而言，在數學知識學習的過程中領悟數學思想方法，是超越知識理解的需要，也是理解數學知識進而走向核心素養的需要.

在課程改革中，數學思想方法更多被三維目標所描述，也就是“知識與技能”“過程與方法”“情感態度與價值觀”. 當前的高中數學教學，應立足學生核心素養的培育，而核心素養的重要內容之一就是關鍵能力. 一種能力要想真正成為關鍵能力，其必然涉及具體的學科思想方法. 因此在高中數學教學中，數學思想方法的建立與培養，本質上也就是關鍵能力的培養，從而也就可以理解為核心素養的培育.

本文章以高中人教A版函數概念、函數性質的教學為例，談談數學思想方法中的兩個重要內容，即分類討論與數形結合.

[?] 高中學段數學思想方法的認識和建立

數學教師認識到數學思想方法的價值，對于教學方向的確定是非常重要的;同時數學教師還要認識到，對于學生來說，感知、領悟數學思想方法也是非常重要的. 從某種程度上來講，對數學思想方法的領悟與運用，正是數學教學的重要目標. 數學學科核心素養的數學抽象、邏輯推理與數學建模等六個要素的落地，本質上與數學思想方法的教學是同步的.

以分類討論和數形結合為例. 眾所周知，分類討論是中學數學中的一個重要思想方法，通常情況下，當研究的對象不宜用統一的形式和理論去解釋規律、給出方法時，就需要進行分類討論. 而數形結合則是數學學習中新的建構知識和解決問題的一個重要手段，是根據數量與圖形的關系，認識研究對象的數學特征、尋找解決問題的方法的一種數學思想. 很多情況下，利用數形結合的方法來研究問題，更有助于學生看清問題的本質.

在引導學生認識數學思想方法的價值時，通常要結合具體的教學內容，以讓學生在數學思想方法的體驗過程中領悟這些數學思想方法的魅力. “函數”是高中數學知識體系中最基本、最重要的概念，在函數概念的教學中，分類討論思想和數形結合思想通常體現在函數概念的建立、函數性質的建構過程中. 例如，在“函數的奇偶性”的教學中，可以引導學生從函數圖形的角度認識不同函數圖像的對稱特點，而這是可以從軸對稱和中心對稱的角度進行分類討論的，于是在這樣的過程中，分類討論思想與數形結合思想就能夠得以體現.

總體而言，包括分類討論思想與數形結合思想在內的數學思想方法的教學，要結合具體的數學知識來進行，只有讓數學思想方法與數學知識緊密結合起來，并采取一定的教學策略，學生才能領略到數學思想方法的真實內涵.

[?] 高中學段數學思想方法的培養實踐

那么在具體的實踐中，數學思想方法的具體教學策略應當是怎樣的呢？考慮到數學思想方法是對具體方法一般化、程序化和模式化的加工過程，考慮到學生學習數學思想方法需要經歷模仿體驗、明朗化、運用鞏固和聯系發展四個基本階段，因此在實際教學中，數學思想方法教學的基本策略是：在數學活動中滲透;在反思總結中概括;在運用訓練中鞏固;在相互聯系中發展. 基于這樣的思路，筆者以為具體的教學策略可以是：在數學知識生成的過程中滲透數學思想方法，在學習反思的過程中明晰數學思想方法.

同樣以函數概念、函數性質的教學為例，在探究函數的奇偶性時，本著數形結合的思路，先讓學生回顧軸對稱與中心對稱兩種情形，具體可以結合PPT的運用，展示圖形讓學生判斷，從而調用學生大腦中已有的表象. 待到學生對這個表象清晰后，再向學生呈現不同函數的圖像，如圖1、圖2所示.

學生會發現，原來函數的圖像也有軸對稱和中心對稱之分;而且通過進一步探究會發現，軸對稱的函數圖像所對應的函數性質異于中心對稱的函數圖像所對應的函數性質. 這樣的比較與發現，能夠極大地激發學生數學探究的興趣，當最終探究的結果是能夠用f（-x）=f（x）和f（-x）=-f（x）來描述時，學生對數學的理解會非常深刻，用一些學生的話說，就是“一開始以為十分復雜的規律，原來可以用這么簡單的式子來描述，數學真是太有魅力了”. 筆者以為這樣的評價，一方面說明學生領略到了數學的魅力，另一方面也說明數學思想方法的滲透是有效的.

其后，引導學生進行學習反思. 重點是反思函數的奇偶性是怎樣得到的，學生會發現最終得到的函數的奇偶性屬于“數”的范疇，但最初切入時卻是函數的圖像，這屬于“形”的范疇. 這時告訴學生數形結合思想，學生就會有比較深刻的領悟;同時，讓學生認識到正是基于軸對稱和中心對稱的分類討論，才分別得出了奇函數和偶函數的概念，這也正是分類討論的結果.

通過上述兩個教學環節的實施，學生對函數奇偶性的理解會有兩個層面：一從知識層面的角度來看，奇偶性這個概念以及相應的函數圖像在學生大腦中的匹配. 這種匹配關系的形成是很不容易的，其必然對應著一個符合學生認知規律的學習過程. 二從思想方法的角度來看，這樣一個知識的習得過程是一個有多種數學思想方法支撐的過程，無論是數形結合思想的滲透，還是分析歸納方法的運用，本質上都是數學思想方法的重要體現. 盡管這里是從兩個層面來分析的，但是學生的學習過程中，知識的建構與數學思想方法的運用卻是重合的. 當學生建構知識時，能夠充分運用數學思想方法，當學生理解數學思想方法時，能夠靈活結合數學知識進行，那就說明思想方法的培養是成功的.

[?] 學生對數學思想方法的理解是核心

在高中數學教學中，從學生的角度出發，可以肯定的一個觀點是：學習數學的關鍵在于理解和掌握數學思想方法，即在學習、掌握數學知識的同時，獲得、領會和運用數學思想方法. 從上述教學案例的分析中可以發現，利用新知教學中數學思想方法的滲透，然后在學習反思的過程中將數學思想方法明晰化的策略，是非常有效的.

之所以說這個策略有效，關鍵在于其能夠促進學生對數學思想方法的理解，只有學生理解了數學思想方法，那么這樣的教學才是有效的. 實際上，分類討論思想與數形結合思想作為數學知識建構過程中最重要的兩個基本思想，學生在此前的學習中已經有所涉獵，但真正形成顯性的認識，還是要在高中數學知識的學習過程當中，尤其是學生先經過一個數學思想方法的運用與領悟過程. 在成功得出數學結論或者解決了數學問題之后，再告知他們是這些數學思想方法發揮了重要的作用. 經歷這樣的過程，學生可以切實認識到數學思想方法在數學學習中的作用，那么在以后的學習中學生就能夠有意識地領悟數學思想方法，而這也正是數學教學的根本目的.

總之，高中數學教學中要重視數學思想方法的教學，在分析教材時，就要重點分析數學思想方法存在于哪些知識產生的環節，而基于學生認知特點尋找相應的策略，則是數學思想方法教學的關鍵.