逆向推理思維方式在初中“相交線與平行線”教學中的應用

曹文棟　童莉

[摘? 要] 數學課程標準強調培養學生的邏輯推理素養，“相交線與平行線”作為初中幾何學習的起始部分、嚴格證明的開端，其目標在于幫助學生樹立幾何意識，養成推理與證明的能力，但教學中學生往往在邏輯推理、證明過程書寫方面存在一定困難. 在初中“相交線與平行線”相關證明專題教學過程中引入“逆向推理”的思維方式，有助于培養學生的邏輯推理能力，為之后幾何內容的學習奠定良好基礎.

[關鍵詞] 逆向推理;相交線與平行線;核心素養

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：推理是數學的基本思維方式，也是人們學習和生活中經常使用的思維方式[1]，數學學科核心素養也將“邏輯推理”作為主要素養之一. “圖形與幾何”內容的學習是培養邏輯推理素養的有效方式，其中“相交線與平行線”部分作為初中“圖形與幾何”學習的起始內容、嚴格證明的開端，對學生邏輯推理素養的培養尤為重要. 傳統教學中，教師往往直接給出固定的推理組合，讓學生進行記憶訓練，形成固定模式，這對解決基礎的推理題目有效，但對稍微復雜的推理問題，學生就會找不到思路，特別是對于涉及作輔助線的推理問題，學生感覺尤其困難.

逆向推理的思維方式就是從問題出發[2]，先思考證明此問題需要什么條件，再結合已知條件及相關定理，逐步找到所有的條件，形成嚴密的思維結構，再從已知條件到目標問題，書寫完整求證過程. 這樣可以有效幫助學生學會從問題出發，養成逐步化歸的思維方式，突破幾何題目、強化數學思維、形成邏輯推理核心素養.

初中“相交線與平行線”的內容分析

“相交線與平行線”內容屬于初中數學“圖形與幾何”知識板塊，該板塊是數學知識體系的重要組成部分，主要是運用邏輯推理的方法來研究平面圖形性質的學科內容[3]，它強調學生的邏輯思維和推理能力的培養. 從初中幾何課程整體來看，在“相交線與平行線”部分才剛剛引入較為規范的證明過程，若掌握好進行推理證明的思考步驟及思維方式，則有助于學生在更深入的圖形證明中進行邏輯推理.

在當前主流的初中數學教材中，“相交線與平行線”在整個幾何內容中的位置有一定的差異. 人教版將“相交線與平行線”一章設置在七年級下冊（第五章），它是繼七年級上冊（第四章）“幾何圖形初步”后，對圖形與幾何的更進一步學習. 北師大版將“相交線與平行線”設置在七年級下冊第二章（第八章），又在八年級上冊第七章（第十九章）專門設置了“平行線的證明”進行證明過程的教學. 華師大版將“相交線與平行線”一章設置在七年級上冊（第五章）. 具體見表1.

各教材“相交線與平行線”章節具體內容也有略有差異. 在人教版教材中，該章不僅包括相交線以及平行線的判定與性質等內容，還專門設置了“命題、定理、證明”專題，引入“真命題”“假命題”以及“證明”的概念，開始進行嚴格的證明教學. 北師大版教材中，該章包括兩條直線的位置關系、探索直線平行的條件以及平行線的性質等內容，還設置了“為什么要證明”專題幫助學生樹立“要判斷一個數學結論是否正確，必須進行有根有據的證明”的觀點. 在華師大版教材中，該章在小學通過觀察體會相交線與平行線的基本屬性的基礎上，通過數學說理的方法從公認的基本事實推導出了平行線的判定方法及性質，并在“平行線的判定”內容后以“讀一讀”的拓展閱讀形式對“推理”的數學思想進行了介紹，強調了“歸納推理”與“演繹推理”的區別，同時在章節“小結”中說明了“演繹推理”在結論證明中的作用. 具體見表2.

從表上可以看出，各類教材雖然對“相交線與平行線”的內容設置方式不一，但都分為了兩個步驟，一是學習相交線以及平行線的判定與性質的基本知識;二是依托定理的學習進行嚴格證明的教學，特別是北師大版本將這兩個步驟做了嚴格的區分. 不同教材對“推理”和“證明”兩個概念的講解程度不同，但均表達了“推理和證明是有區別的”的觀點，推理是證明過程中的組成部分，在“證明”的教學過程中重點是要讓學生理解證明的必要性和證明的過程. “相交線與平行線”章節的設置，承擔著進行“證明”教學的功能，因此，在“相交線與平行線”的教學過程中，不僅要關注學生對二者概念的認識，還要幫助學生深入理解“推理”與“證明”，培養學生進行嚴格證明的能力.

逆向推理思維方式在初中“相交線與平行線”教學中的應用價值

1. 幫助學生銜接發展小學的推理方式

初中幾何教學主要是引導學生主動分析問題，運用所學知識從條件出發進行分析和推導，尋求各種推理所需的證據，最終解決問題[4]. 在“相交線與平行線”教學階段，學生剛剛經歷完小學階段的學習，邏輯推理能力較弱，才開始接觸“嚴格證明”的相關知識，在“尋求各種推理所需的證據”的能力上還有待提高，對于邏輯推理和規范證明方面都存在較大問題. 特別是小學階段對“圖形與幾何”的內容更關注學生對內容的“認識”階段，更多采用觀察、操作、簡單推理等方式進行學習，缺少了“嚴格證明”的步驟. 圖爾明關于推理的定義強調了要“注重考慮邏輯結構的完整性和正確性”.[5]學生進入初中階段后思考事物缺乏邏輯性，表現出的現象就是面對幾何題目缺乏整體思考，能看出結果但不會說理由、能判斷求解但不會寫過程. 因此，在教學過程中采取必要手段引導學生培養邏輯推理能力是非常有必要的.

2. 有助于發展學生思考問題的主動性

“逆向推理”的思維方式更關注于學生轉化問題的過程，幫助學生從問題出發，尋找可以用于求證結論或求解問題的條件. 尋找條件的過程就是化歸思想的體現，將已知的問題化歸為更容易探究或已經解決的問題[6]，通過多次化歸，可以轉化至已知的條件.

同時，新課程改革要求學生在學習過程中處于主體地位，教師通過交流和引導的方式參與到學習和探索的過程中. 此模式下，教師主要以引導式提問啟發學生思考[7]，這也使此方式成為落實學生的課堂主體地位、培養學生自主學習能力的有效途徑.

逆向推理思維方式在初中“相交線與平行線”教學中的應用案例

逆向推理的思維方式在“相交線與平行線”部分的應用主要體現在以下幾個方面.

1. 引導關注論證目標，積極關聯已知條件

剛剛接觸幾何題目的學生面對眾多已知條件，常出現不知道該如何使用條件推導的情況. 通過逆向推理的方式，可以幫助學生從目標出發，尋找需要使用的條件. 在逆向推理的過程中，需要不斷引入新條件以轉化問題，這樣便可以幫助學生充分運用已知條件.

案例1 如圖2，直線a‖b，點A在直線a上，點B，C在直線b上，且BA⊥CA，點D在線段BC上，連接AD，且AC平分∠DAF，試說明∠3=∠5.

分析 該題目涉及的知識點不多、難度不大，主要是利用垂直、平角、角平分線等定義，進行平行的判定，在學生剛開始學習幾何階段，逆向推理的解題思路能有效幫助學生理解已知條件的轉化. 如圖3所示的思維導圖，從結論出發，思考時充分考慮等量代換，將無法直接求證的角的關系轉化為另外的角的關系，從而轉化為可以解決的問題. 經此訓練，學生能熟練進行轉換，并且知曉無法求證時使用已知條件進行轉換，這大大提高了學生理解題目的效率.

2. 探求定理形成原理，加深對定理的理解

對于數學的命題而言，前提和結論都是已知的，因此基于數學命題驗證的數學教學，可以在驗證過程中培養學生關于證明的邏輯思維能力[8]. 在教學過程中，往往就可以結合定理等內容對“逆向推理”思維方式進行引入，幫助學生理解定理的內在邏輯，加深學生對定理的理解.

案例2 定理教學“對頂角相等”. （如圖4，已知：直線a，b相交于點O，證明：∠2=∠3. ）

在教學過程中，“對頂角相等”是很直觀的，學生可以直接感受到，但如何證明，學生卻難以下手. 通過“逆向推理”的思維方式，可以有效幫助學生找到問題所在，即要證明一組對頂角相等. 明確問題后，學生便很容易知道要先找到一組對頂角，再對其進行轉化，證明這組角相等.

3. 激發思維的靈活性，規范書寫證明過程

在圖形與幾何相關內容的問題解決中，解題方法往往不是唯一的，當教師給出一種思路后，學生很難再思考其他解題思路. 在逆向推理的過程中，轉化問題的方法也是多樣的，教師在引導學生進行推理時，可以列舉多條路徑，讓學生對同一題目的多種解題思路進行探索，同時學生可以通過對比感受哪一種思路是最簡便的，從而激發學生思維的靈活性.

案例3 如圖6，已知AD⊥BC于點D，EF⊥BC于點F，∠1=∠2，試說明AB∥DG.

分析 該題目是一道簡單的利用平行線的判定方法進行簡單推理的試題，在學生求解過程中，大多數都能運用較為簡單的方法，但教師在講解過程中，引入了一個相對復雜的方法，這對于學生來說不太接受. 運用逆向推理的思維方式，從目標出發能自然而然地想到三種方法，在推理過程中也能讓學生明顯感受到不同解題方法的差異.

同時，學生在解題過程中，通過逆向推理能夠形成詳細的思維路徑，學生根據構建的逆向推理思維過程，從思維導圖底部開始書寫證明過程，能夠清楚展示證明過程，使解題步驟條理清晰、具有邏輯性.

通過對逆向思維導圖的反向書寫，可以使解答思路清晰、書寫步驟規范. 在此展示案例3的方法二（通過證明內錯角相等得到兩直線平行的結論）的證明過程. 具體如下：

因為AD⊥BC，EF⊥BC，

所以AD∥EF（同一平面內，垂直于同一直線的兩直線平行），

所以∠1=∠BAD（兩直線平行，同位角相等）.

又因為∠1=∠2（已知），

所以∠BAD=∠2（等量代換），

所以AB∥DG（內錯角相等，兩直線平行）.

結語

數學教育主要是教給學生數學思維，教師在講授幾何題目引入逆向推理的思維方式時要堅持以學生為本，更多地關心學生的思維過程[8]，主要以引導式的教學模式啟發學生自行挖掘條件、轉移已知內容，切忌直接告訴學生下一步要找什么條件、應該怎么做. 當學生能熟練感知逆向推理的思維方式并嘗試獨立自主克服難題后，學生就能獨立自主地快速、規范、高效解題.

參考文獻：

[1] 王旭，童莉. 比翼齊飛：合情推理與演繹推理[J]. 數學教學通訊，2012（36）：14-15.

[2] 王斌. 數學證明中的逆向思維教學法[J]. 重慶交通學院學報，2005（01）：158-160.

[3] 黃燦. 中俄初中數學教材幾何內容呈現方式對比研究[D]. 渤海大學，2017.

[4] 胡家車. 新課程改革下對初中數學教師的要求[J]. 新課程（中），2017（02）：226.

[5] 張僑平，邢佳立，金軒竹. 小學數學教學中數學推理的理論和實踐[J]. 數學教育學報，2021，30（05）：1-7.

[6] 黃翔. 數學方法論選論[M]. 重慶：重慶大學出版社，1995.

[7] 竇臘娜. 淺談初中數學問題式教學的應用策略[J]. 中學數學，2021（02）：92-93.

[8] 史寧中. 試論數學推理過程的邏輯性——兼論什么是有邏輯的推理[J]. 數學教育學報，2016，25（04）：1-16+46.