構(gòu)造全等妙解紛呈　相似變換錦上添花

羅靜　何貽勇

[摘? 要] 在重慶中考試題中，幾何證明綜合題主要考查了在基本幾何圖形變換（平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱(chēng)）背景下，構(gòu)造全等證明線段、角的數(shù)量關(guān)系. 學(xué)生通常需要在熟悉基本幾何圖形及輔助線添加的基礎(chǔ)上，將幾何綜合題目條件分解為基本幾何模型、基本幾何問(wèn)題的條件，將之轉(zhuǎn)化為若干個(gè)基本幾何圖形或者可與基本圖形、方法、模型類(lèi)比的簡(jiǎn)單問(wèn)題，從而使問(wèn)題得到解決. 初中幾何證明主要利用全等解決問(wèn)題，而全等是特殊的相似，其相似比為1∶1，即大部分全等的幾何綜合問(wèn)題可以結(jié)合幾何問(wèn)題背景，借助相似模型解決.

[關(guān)鍵詞] 全等;相似;構(gòu)造;模型

新課標(biāo)要求教師在教學(xué)中鼓勵(lì)學(xué)生自主探索，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、驗(yàn)證、推理和交流等教學(xué)活動(dòng)，從而使學(xué)生形成對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和有效的學(xué)習(xí)策略.學(xué)生通過(guò)自主觀察幾何圖形，探索相似（全等）的判定條件，讓思維在解題課堂教學(xué)中得到發(fā)展，能更好地體現(xiàn)出模型思維的優(yōu)越性.下面筆者結(jié)合一道中考中典型的幾何證明問(wèn)題的探究，與同仁交流分享.

問(wèn)題分析

本題圖形是由兩個(gè)等邊三角形共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所得圖形，圖形的特征為“共頂點(diǎn)、等頂角、雙等腰、異手連”，即為含有共點(diǎn)等角定比手拉手模型，涉及中點(diǎn)、全等、相似的考查，當(dāng)然由于圖形的特殊性，也可以看成是共點(diǎn)補(bǔ)角定比頭頂頭模型或者共點(diǎn)補(bǔ)角定比腳蹬腳模型.不同學(xué)情的學(xué)生對(duì)問(wèn)題的理解不同、分析不同、思路不同、很容易造成“解法眾多”而“眾法難尋”的局面. 通常來(lái)看，學(xué)生思路多樣，但理不清解題思路痕跡，找不到最優(yōu)解題方法，很容易導(dǎo)致解題過(guò)程中大費(fèi)周折，解題效率不高，沒(méi)有好的解題準(zhǔn)確度和速度.為了整體提升學(xué)生思維發(fā)展的深度和廣度，明確思維發(fā)展方向，筆者對(duì)這道題的解法進(jìn)行了梳理與對(duì)照研究.

解法探究

1. 構(gòu)造全等，繡妙解之“錦”

視角1：直接構(gòu)造中位線——全等變換

通過(guò)以上兩種視角，從題干里的“中點(diǎn)”這個(gè)“題眼”作為切入點(diǎn)找到突破口，給出了相對(duì)應(yīng)的兩種方法和思路，即利用中點(diǎn)發(fā)現(xiàn)“中位線”促進(jìn)全等三角形的構(gòu)造，產(chǎn)生了一個(gè)等邊△GMF，解決了線段間的數(shù)量和位置關(guān)系問(wèn)題.本題中的圖形是中點(diǎn)模型、相似模型、旋轉(zhuǎn)全等模型等的重疊，每一個(gè)條件的關(guān)聯(lián)都是聯(lián)想點(diǎn)，也都是聯(lián)想思維的觸角，比如：分別取AC，AB的中點(diǎn)，連線構(gòu)造“斜中半”+中位線+等角;分別取AC，AB，AD的中點(diǎn)，再連線構(gòu)造腳蹬腳模型;分別取AB，AE的中點(diǎn)，利用倍長(zhǎng)中線法構(gòu)造腳蹬腳模型;利用一線三直角法構(gòu)造腳蹬腳模型;構(gòu)造腳蹬腳和手拉手組合模型等. 由于每個(gè)條件的幾何位置的對(duì)稱(chēng)性，導(dǎo)致了在方法和思維上都存在思考痕跡的對(duì)稱(chēng)性，而其數(shù)學(xué)本質(zhì)都是構(gòu)造全等三角形.

2. 相似變換，添錦上之“花”

視角3：線段倍分關(guān)系——相似變換

解：如圖4，取AD中點(diǎn)H，連接FH，GH.

視角3中相似變換的構(gòu)造也可以與中位線、斜中半、倍長(zhǎng)中線等組合起來(lái)，共同發(fā)揮作用，也就是利用幾何圖形的整體圖形觀構(gòu)造相似，共同概括中間的煩瑣推理證明，其本質(zhì)就是利用相似直接證明結(jié)論，其解題效率可謂是錦上添花. 幾何綜合證明題有兩大特點(diǎn)，一是難，即幾何圖形較復(fù)雜，綜合性強(qiáng);二是多，即考查知識(shí)點(diǎn)較多，且方法多. 常用方法有兩個(gè)，一是從不同角度尋找已知與結(jié)論之間的關(guān)聯(lián)，分析問(wèn)題的解決思路，比如：已知中點(diǎn)或結(jié)論中線段的倍數(shù)關(guān)系，找中點(diǎn)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn);二是從模型角度解決問(wèn)題，根據(jù)背景圖形的特點(diǎn)尋找與之匹配的基本幾何模型，本題中常見(jiàn)的模型有手拉手模型、腳蹬腳模型等.

問(wèn)題變式

1. 減弱條件，考慮一個(gè)等腰三角形的情形

將其中一個(gè)等邊三角形減弱成一個(gè)等腰三角形，使得幾何圖形一般化，但是結(jié)論仍然成立. 解決這樣的探究問(wèn)題，只需要根據(jù)特殊圖形的研究痕跡繼續(xù)再研究即可，這里的痕跡即尋找思路的套路、添加輔助線的思考過(guò)程、書(shū)面表達(dá)所用的數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言、所有方法的對(duì)照選擇等都幾乎一樣.

如圖5，△ABC是等邊三角形，△BDE是頂角為120°的等腰三角形，BD=DE，連接CD，AE. 若點(diǎn)F是AE的中點(diǎn)，連接CF，DF，求證：CD=2DF.

解：如圖6，取BE中點(diǎn)H，連接DH，F(xiàn)H.

因?yàn)镕H是△ABE的中位線，即FH∥AB，且FH=AB，所以FH=BC. 又因?yàn)锽D=DE，所以DH⊥BE.

在Rt△BDE中，∠DBE=30°，即DH=BD.

又∠DHF=90°+∠BHF=90°+180°-∠ABE=270°-∠ABE，

∠CBD=360°-90°-∠ABE=270°-∠ABE，即△DHF∽△DBC，故DF=CD.

2. 類(lèi)比條件，考慮兩個(gè)等腰直角三角形的情形

將兩個(gè)等邊三角形變?yōu)閮蓚€(gè)等腰直角三角形，結(jié)論仍然成立.

如圖7，在△ABC和△ADE中，∠AED=∠BAC=90°，AB=AC，AE=DE，當(dāng)A，C，D不在同一直線上時(shí)，連接CD，BD，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，連接EF，求證：EF=BD.

探究同類(lèi)型問(wèn)題時(shí)，也只需要根據(jù)特殊圖形的研究痕跡繼續(xù)再研究即可，這里的痕跡即尋找思路的套路、添加輔助線的思考過(guò)程、書(shū)面表達(dá)所用的數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言、所有方法的對(duì)照選擇等也都還是幾乎一樣. 比如：如圖8所示，利用中點(diǎn)條件倍長(zhǎng)中線，構(gòu)造手拉手模型，取BC中點(diǎn)M，連接MF，倍長(zhǎng)MF至點(diǎn)N，連接DN，AM，EM，EN.易證△MCF≌△NDF（SAS），有CM=DN，在Rt△ABC中，由“斜中半定理”得AM=CM，所以AM=DN. 易證明MF=BD=MN，四邊形BMND為平行四邊形. 如圖9，延長(zhǎng)BC交DE于點(diǎn)Q，延長(zhǎng)ND，由∠AMQ=∠AEQ=90°得∠EAM+∠EQM=180°，且∠EQM+∠BQD=180°，所以∠EAM=∠BQD. 又因?yàn)椤螮DN=∠BQD，所以∠EDN=∠EAM，即△EAM≌△EDN（SAS）. 所以∠AEM=∠DEN，△MEN為等腰直角三角形. 所以EF=MN，MF=EF=BD. 當(dāng)然，也可以利用中點(diǎn)構(gòu)造中位線. 如圖10，構(gòu)造手拉手中位線，倍長(zhǎng)DE至點(diǎn)K，連接CK，AK，即EF為△CDK的中位線，有EF=CK. 由AE=KE=DE得△ADK為直角三角形，∠ADK=45°，故△ADK為等腰直角三角形. 所以∠KAC=∠DAB，AD=AK，易判斷△AKC≌△ADB（SAS），于是有CK=BD，即EF=BD. 綜上闡述了各種方法，下面利用結(jié)論=構(gòu)造相似的方法更加直接、簡(jiǎn)捷.

解：如圖11，由“三線合一”+“斜中半定理”可知，取AD的中點(diǎn)H，連接EH，HF，即HF為△ACD的中位線，HF=AC，而在Rt△ADE中，由“斜中半定理”得HE=AD. 又∠BAD=∠EHF=90°+∠CAD，△EHF∽△DAB，故EF=BD.

解題反思

全等和相似是平面幾何中研究幾何形的兩種重要方法，全等形是相似比為1∶1的特殊相似形，相似形則是全等形的推廣. 因而學(xué)習(xí)相似形要隨時(shí)與全等形做比較，明確它們之間的聯(lián)系與區(qū)別;相似形的討論又是以全等形的相關(guān)定理為基礎(chǔ)的. 通過(guò)對(duì)以上構(gòu)造全等及相似變換進(jìn)行對(duì)比發(fā)現(xiàn)：相似變換輔助線更簡(jiǎn)單;相似變換過(guò)程更簡(jiǎn)捷;相似變換思路更清晰;利用四點(diǎn)共圓尋找相似條件能提高解題的速度，再舉一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明.

如圖12，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D是AB外一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，把AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到AE，連接CE，DE. BC與DE交于點(diǎn)F，且AB⊥BD. 若點(diǎn)H，G分別為線段CF，AE的中點(diǎn)，連接HG，求證：HG=BF. 如圖13所示，取AC中點(diǎn)M，連接GM，MH，AF，易證△EAC≌△DAB（SAS），接下來(lái)依次證F，D，B，A和E，C，F(xiàn)，A四點(diǎn)共圓，易證△GMH∽△BDF，即 HG=BF.

解幾何證明題的一般思路方法有：一是從“已知”和“基本事實(shí)”入手，由因索果，通過(guò)推理論證得出結(jié)論;二是從“結(jié)論”入手，執(zhí)果求因，通過(guò)分析，不斷地尋求結(jié)論成立的條件，一直追溯到題目中的“已知”和“基本事實(shí)”;三是從“已知”“基本事實(shí)”“結(jié)論”入手，通過(guò)分析尋找它們之間邏輯關(guān)系的“橋”，使整個(gè)邏輯思維清晰地流淌在思考過(guò)程中. 在平時(shí)解題教學(xué)中，教師應(yīng)從條件、結(jié)論的加強(qiáng)和減弱來(lái)變式教學(xué)，讓學(xué)生進(jìn)入深度學(xué)習(xí)的狀態(tài)，進(jìn)而研究透一類(lèi)題. 構(gòu)造全等和相似變換時(shí)，添加輔助線為相似創(chuàng)造條件時(shí)，要教清楚“為什么添加輔助線”“怎樣添加輔助線”這兩個(gè)問(wèn)題. 相似所得到等角、等邊以及線段的比例關(guān)系往往可以繼續(xù)運(yùn)用到邊角數(shù)量關(guān)系的證明中，從而為證明下一次的相似或進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算服務(wù). 通常作平行線、垂線、中線、延長(zhǎng)線、構(gòu)造圓等來(lái)尋找相似條件.

在解題教學(xué)備課中，教師要善于拆分由基本幾何圖形組合而成的綜合圖，即分解題目的解題模塊，再?gòu)慕忸}模塊中尋找?guī)缀螛?gòu)成元素之間豐富的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系. 在平時(shí)的課堂教學(xué)中，教師應(yīng)明確“相似三角形的條件特征觀察，多樣的思路證法選擇”是教學(xué)中的難點(diǎn)，應(yīng)注重平行定理（母定理）、母子型相似、一線三等角型相似、四點(diǎn)共圓型相似等模型的歸納學(xué)習(xí)，還應(yīng)著力培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)或構(gòu)造基本幾何圖形并運(yùn)用它解決問(wèn)題的能力.