性質教學中數學抽象素養的培養
2022-03-28 11:09:08李玲李紅梅
數學教學通訊·初中版 2022年2期
李玲 李紅梅
[摘? 要] 數學性質的教學是培養數學抽象素養的重要載體，本質屬性的抽取，數學性質的抽象概括、數學表達、數學應用等環節都是培養數學抽象素養的良好契機. 在數學性質的課堂教學中，培養數學抽象素養的策略有：利用直觀想象，將抽象過程可視化;歸納整理知識，將抽象結果結構化;多維變式例題，將抽象結果理解深化.
[關鍵詞] 數學抽象;直觀想象;變式;數學性質
問題提出
目前，數學教育仍存在短板，一定程度上導致教育發展不均衡，從而無法切實將“立德樹人”這一根本任務落到實處，為解決這一現狀，引入數學核心素養，促使課堂教學從應試教育向素質教育過渡，打破僵硬、陳舊的教學[1]. 數學抽象素養是基本素養，也是核心素養，抽象作為基本思想，貫穿于數學概念和法則的教學[2]，而性質教學是數學抽象內容的一部分. 在義務教育階段，教授者應指導學習者在性質教學中學會抽象，能夠拓展數學抽象思維，為數學抽象素養的形成做鋪墊. 本文依據圖像探究，在性質形成過程中對相關數學對象進行抽象，進一步提出對數學抽象素養的培養建議.
性質教學中數學抽象素養的培養
數學性質的學習屬于抽象性學習，學生對于這一塊的學習往往理解含糊，沒有敏捷的思維能力進行分析，無法進一步探究復雜多變的問題. 初中階段，由于學生還未形成正確的抽象意識，缺乏數學抽象思維，從而無法從基本圖像中抽象性質屬性.
1. 知識結構分析
“反比例函數的圖像與性質”是人教版初中數學實驗教科書九年級下冊第二十六章第一節“反比例函數”的內容. 以該節課本主體內容為例，通過性質構建過程的逐次遞進，探析在教學中怎么培養學習者的數學抽象素養.
平面直角坐標系、一次函數和二次函數的學習在反比例函數之前，學生接續已學知識，向前邁向新的一步，“接納”新函數，聯系一次函數、二次函數性質的學習方法，通過類比慢慢轉接到對反比例函數性質的學習，認真體會新函數的內涵，充分感受由“靜”到“動”的過程[3];再者，函數性質的學習，包含了數形結合思想、建模思想，具有實踐性、探索性，為后續內容聯系、應用打下基礎.
2. 性質構建過程
數學性質形成過程中，學生應在教師的引導下不斷分析問題，逐級抽象數學性質，揭開數學知識的神秘面紗. 正比例函數是學生剛開始接觸的函數，也是突破函數性質的第一關卡，為后續函數性質的學習提供了有效的學習途徑. 正比例函數性質的學習大致通過這樣的性質構建過程：實際問題引入具體函數解析式→利用“描點”的方法作出圖像→觀察圖像并抽取函數本質特征→采用文字語言歸納和總結性質→講解例題促進學生理解性質[4]. 學生又先后學習一次函數、二次函數，具有一定的知識儲備，一是知道如何由數想形，以解析式為基礎，觀察、探析所畫函數圖像;二是探究函數性質時，需要數形結合[5]，進而抽象表達出性質;三是通過觀察不同函數的圖像，知道不同函數所生成圖像的特點.
學習反比例函數性質，學生可根據先前所獲經驗，在其性質形成過程中對相關數學對象進行抽象，以利于性質的獲得. 在此以正比例函數性質構建過程為基礎，提出反比例函數的性質構建過程：
以下將聯系反比例函數性質構建過程，分析教材內容，基于教材展示數學探究活動，讓學生經歷完整的抽象過程[6].
（1）直觀感知，抽取本質特征
例題1 畫出反比例函數y=與y=的圖像[7].
問題1：用什么方法能畫出上述函數的圖像？
對于課本中的例題2，先讓學生回顧正比例函數的學習方法，有利于學生進行類比遷移. 根據學生的認知水平，他們已知能由描點法進行刻畫，也已知前幾類函數圖像的特征. 畫出反比例函數圖像后，學生可進一步觀察、分析圖像特點，以達到利用圖像的可視化進行外部刺激的效果，順利完成“辨別圖像刺激”;學生通過觀察兩個具體圖像，感知函數的性質，確定圖像形狀與所分布象限，同時發現函數值y仍隨著自變量x的變化而變化，這是學生能從正比例函數圖像和二次函數圖像中遷移過來的特征，即滿足“分化函數圖像屬性”這一步.
（2）抽象概括，獲得數學性質
問題2：觀察上述圖像，回答：
①每個函數的圖像所在象限？
②在每一個象限內，y如何由x的變化而變化？根據解析式，你能說明理由嗎？
③對于反比例函數y=（k>0），考慮①和②，得出的結論是一樣的嗎？[7]
第一，類化與抽象. ①和②的設置，可以完成數學抽象過程中的“類化”與“抽象”. 觀察兩個函數圖像，函數y=與y=的圖像均分布于兩個象限，即第一象限和第三象限，分別分析兩個象限內的函數值變化，圖像從左至右看，函數值從上到下逐漸減小. 此時利用圖形直觀的方式表現了k>0時反比例函數圖像的特點，得到他們的共同屬性：處于第一象限、第三象限與“減小”. 在類化函數圖像共同屬性的基礎上，進一步采取特殊到一般的方法，引導學生從具體例子中抽象出反比例函數y=（k>0）的基本性質.
第二，概括與表達. 對于③，是為完成數學抽象過程中的“概括”與“符號表達”，通過比較、歸納具體實例，用文字語言將關鍵詞進行串聯，概括表述性質：引導學生將圖形語言轉換為自然語言，討論自變量x與其函數值y之間的關系. 對于例題2中反比例函數y=，學生學會用自然語言描述圖像，即“函數y=的圖像在這兩個象限內，隨著x的增大，y減小”. 全體學生獲得了用文字語言描述數學性質的能力，以此為基礎，教師需要教會部分學優生用符號語言進行表述. 利用數學符號，學優生能夠描述反比例函數y=（k>0）性質中“減小”這一特點. 對于特殊函數y=，用符號語言表述“在每一個象限內，任取兩數x，x，令x
第三，類比與定義. 類比正比例函數y=kx與反比例函數y=（k>0）的性質探究，采用同樣的方法，對于k<0的情況，教師可以同學生一起定義其性質：“當k<0時，反比例函數y=的圖像位于第二象限和第四象限，每一個象限內，y隨x的增大而增大”. 轉換為符號語言“當k<0時，反比例函數y=的圖像分別位于第二象限和第四象限，那么在每一個象限內任取x，x，得y=，y=，當x
（3）歸納整理，表達數學性質
一般地，反比例函數y=的圖像是雙曲線，它具有以下性質：
①k>0時，雙曲線的兩支分別位于第一象限與第三象限，在每一個象限內，y隨x的增大而減小;
②k<0時，雙曲線的兩支分別位于第二象限與第四象限，在每一個象限內，y隨x的增大而增大. [7]
教材歸納，是為達到數學抽象階段的“理論形成”，首先，將反比例函數圖像與雙曲線相結合，有益學習者聯系新知與舊知，并促進其對知識的再認知. 再者，通過上述階段的逐級抽象，最后得到一般性結論，闡述了反比例函數的性質，以及如何表達數學性質，形成了完整的理論.
（4）例題變式，理解抽象結果
例題2 已知反比例函數y=圖像的一支（如圖5）. 問：①圖像的另一支在哪個象限？常數m的取值范圍是什么？②在圖像的一支上隨意取點A（x，y）和點B（x，y），若x>x，那么y和y有怎樣的大小關系？[7]
這個題目是為了了解學生對數學性質的理解與運用程度. 對于問題①，學生通過討論圖像分布象限，探究m的取值范圍，實質是對反比例函數中k的討論;對于問題②，學生已知圖像的分布，可直接根據性質定義判斷得到在每一個象限任取x，x，當x>x，都有y 變式1：已知反比例函數y=過點A（-2，-1），m的值是多少？圖像位于哪些象限？ 變式2：點A（2，y），（5，y）在反比例函數y=上，比較y和y的大小. 變式3：已知反比例函數y=，問：①探究常數m的取值范圍，觀察此時函數圖像的分布情況. ②在圖像某一支上任取兩點M（x，y），N（x，y），若x 變式1簡單改變函數解析式，將例題中給出圖像變化變為給出點坐標，引導學生通過點的坐標求解問題;變式2通過判斷m2+3的值與0的關系確定圖像所在象限，再根據給出的不同x值對相應y值進行比較，需要注意此題無關具體關系式的求解;變式3需要學生綜合考慮，分類討論m-5的符號，進而解答疑問. 例題及變式的設置，是為了“理解”與“應用”. 學生學習新知，教師需要綜合教材內容與學生學情，通過逐次遞進的變式，引導學生探究知識的“來龍去脈”[8]. 兩個例題的設置均以反比例函數圖像性質為中心，突出其本質，利用性質定義解題，學生能對學習內容有更清晰的理解，實現學習目標. 再者，上述變式通過例2進行衍生，促使學生更好地理解本節知識，更好地掌握抽象結果. 通過變式，學生在反比例函數性質的學習構建過程中，多角度思考問題，知道在問題解決過程中從圖像出發，但不局限于用圖像解決問題，從而理解從圖像中所抽象出來的性質，學會運用性質定義，同時，掌握相關數學方法，積累數學經驗. 教學建議 基于對性質教學中具體數學內容的探析，筆者給出三個教學建議. 1. 利用直觀想象，將數學抽象過程可視化 直觀想象是數學抽象的基礎，采用直觀手段，學生進一步借助直觀進行想象，有利于學生進行數學抽象，從感性認識上升到理性認識. 通過數學抽象的過程，學生直觀感知，察看、分解問題，領會所學知識，解決問題：首先，積極思考，主動參與學習探究，分析所提供的直觀材料，從圖像中抽取事物的本質特征;其次，結合信息技術教學，學生體會圖形的動態變化過程，簡化題設中的問題;最后，從數學抽象中明白將實質問題轉化為數學問題，形成正確認識. 教師應充分調動學生的直觀認知，引導學生有意識地利用直觀想象探究知識的產生與發展，使學生有效掌握抽象事物的形成過程，逐漸形成數學抽象素養. 2. 歸納整理知識，將數學抽象結果結構化 知識結構展示了相關知識間的內在聯系，給予學生清晰的知識線，歸納整理知識結構，有利于知識系統化、知識整體化、知識簡易化. 數學抽象素養蘊含在豐富的教學內容中，這就要求教師在教學中幫助學生厘清知識間的脈絡，獲得抽象方法，利用圖示促使學生理解記憶. 新知的學習是在舊知的鋪墊下進行的，學生應當學會“讀”材料，“析”材料，注意抽象知識之間的層次分節，同化或順應知識，表達數學抽象結果，納入相關知識系統，將其結構化，促進自身的思維訓練，這有利于知識之間的正遷移，對其他具體數學內容也能進行逐級抽象. 如本文對反比例函數性質的學習，接續對變量、函數的初步了解，以及對其概念的掌握，更深層次地基于圖像抽象性質，為之后學習各類函數提供了基礎方法，同時，廣泛應用于函數、方程、不等式中. 3. 多維變式例題，將數學抽象結果理解深化 例題構成了教學內容，是不可或缺的一部分，是對某一知識具體運用的體現，較為集中地體現了其特點、思想和要領等，淺顯易懂地呈現在學生眼前. 學生通過解答例題，能夠熟悉概念定義、公式定理等，明晰相關符號語言的表示意義，形成正確的知識體系，突出數學對象的本質. 對例題的變式，能夠加強知識間的關聯性，串聯零散的知識點，讓學生感受知識生長過程的同時，可以多維度強化數學知識，感知數學抽象素養，提高認識力，促進他們對數學抽象結果的深化理解. 此外，進行知識教學，應避免“解題教學”，變式以例題為基準，設計以本堂課中心內容為主線、以學生理解抽象結果為目標的問題，并非強調解題技巧、解題速度. 結束語 本文以反比例函數為例，利用直觀想象、歸納整理和例題變式等活動開展教學，將抽象過程可視化，抽象結果結構化，使學生的數學理解深刻化，從而展現性質教學中數學抽象素養的培養過程. 這一知識構建過程適用于數學性質教學，如一次函數的性質、二次函數的性質等. 當然，根據實際教學情境的不同，具體教學設計也應有所變化，例如在直觀想象的過程中，僅從圖像角度進行教學設計有其局限性，抽象過程可視化的方法還有很多，還有待進一步研究. 參考文獻： [1] 錢瑤強. 基于數學核心素養下的高效課堂教學的策略研究[J]. 數學教學通訊，2021（12）：43-44. [2] 中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（2011年版）[M]. 北京：北京師范大學出版社，2012. [3] 羅增儒. “反比例函數”的課堂研修[J].中學數學教學參考，2020（08）：12-17. [4] 黃欲涵.概念自然生成，實踐分析特性——以“正比例函數”的教學為例[J].數學教學通訊，2018（23）：59-60+67. [5] 毛大平，應佳成. 為學生的數學理解而教——“一次函數的圖象”教學設計[J].中國數學教育，2020（23）：13-17. [6] 鄧翰香，吳立寶，沈婕. 指向數學抽象素養的教材分析框架與案例剖析——以人教A版“函數單調性”為例[J]. 數學通報，2019，58（10）：33-38. [7] 人民教育出版社. 義務教育教科書數學九年級下冊[M]. 北京：人民教育出版社，2018. [8] 馬志洲. 構建深度學習課堂，促進數學核心素養的養成——以“反比例函數等積模型”教學為例[J]. 數學教學通訊，2020（20）：27-28+75.
