初中數(shù)學(xué)整式運(yùn)算中常見錯(cuò)誤分析與對(duì)策

馬賢忠

摘 要：為了初中生更好地掌握整式運(yùn)算這門專項(xiàng)知識(shí)，提升學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解應(yīng)用，本文根據(jù)以往初中數(shù)學(xué)課堂中學(xué)生關(guān)于整式運(yùn)算的計(jì)算內(nèi)容所出現(xiàn)的普遍錯(cuò)誤點(diǎn)進(jìn)行針對(duì)性分析，并對(duì)此進(jìn)一步研究其成因，結(jié)合實(shí)際情況探討相對(duì)應(yīng)的解決措施，以更好地提高初等中學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)質(zhì)量。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué);整式運(yùn)算;常見錯(cuò)誤;分析與對(duì)策

【中圖分類號(hào)】G633.6? ? ? ? ? ? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A? ? ? ? ? ? ?【文章編號(hào)】1005-8877（2022）04-0107-03

Analysis and Countermeasures of Common Mistakes in Mathematical Integral

Operations in Junior High Schools

MA Xianzhong? （The No. 3 Middle School of Jianning County， Fujian Province， China）

【Abstract】In order for junior high school students to better grasp the special knowledge of integer operations and improve students’ understanding and application of mathematics， this article conducts a targeted analysis of common errors in the calculation content of integer operations in junior high school mathematics classrooms. This will further study its causes， and explore the corresponding solutions based on the actual situation， so as to better improve the quality of mathematics teaching in junior high schools.

【Keywords】Junior high school mathematics; Integer operations; Common mistakes; Analysis and countermeasures

小學(xué)階段過(guò)渡到初等中學(xué)之后學(xué)習(xí)的強(qiáng)度可謂是有了大幅度的提升。對(duì)于數(shù)學(xué)這個(gè)學(xué)科來(lái)說(shuō)，它的難度更是讓不少學(xué)生抓耳撓腮，煩惱不已。其中，整式運(yùn)算應(yīng)該是初中生步入初等中學(xué)開始進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)所遇到的第一個(gè)山坡了，其結(jié)合以往小學(xué)的加減乘除運(yùn)算作為基石，增加了去括號(hào)和合并同類項(xiàng)等的運(yùn)算方法，還需要學(xué)生注意運(yùn)算時(shí)負(fù)號(hào)的存在。這些計(jì)算方法成了初中生學(xué)習(xí)過(guò)程的難點(diǎn)重點(diǎn)，但也因?yàn)殡y度的加大和運(yùn)算方法的豐富，才可以讓學(xué)生將以往的知識(shí)加以實(shí)踐拓展并鍛煉其思維能力以進(jìn)一步探索充滿奧秘的數(shù)學(xué)知識(shí)海洋，也為下一階段步入高等院校學(xué)習(xí)做好充足的知識(shí)儲(chǔ)備和能力基礎(chǔ)。為此，分析初中生在運(yùn)用整式運(yùn)算過(guò)程計(jì)算時(shí)出現(xiàn)的共通錯(cuò)誤點(diǎn)和探討如何解決成因問(wèn)題是本文的重點(diǎn)內(nèi)容，并以加強(qiáng)初中生更好運(yùn)用整式運(yùn)算，夯實(shí)知識(shí)基礎(chǔ)為主要目的。

1.初中數(shù)學(xué)整式運(yùn)算教學(xué)環(huán)節(jié)

（1）溫故知新，加深學(xué)習(xí)印象

在講授新課之前，引導(dǎo)學(xué)生回顧所學(xué)的舊知識(shí)，可以培養(yǎng)其良好的預(yù)習(xí)習(xí)慣，有助于加深其學(xué)習(xí)印象，使之通過(guò)溫習(xí)，在舊知識(shí)中遷移出新知識(shí)，從而達(dá)到溫故知新的目的。比如，在講解北師大版七年級(jí)數(shù)學(xué)《整式的加減》部分內(nèi)容時(shí)，可以通過(guò)課堂提問(wèn)的方式，帶領(lǐng)學(xué)生回顧整式中的單項(xiàng)式和多項(xiàng)式系數(shù)、次數(shù)含義，使學(xué)生能夠以回答問(wèn)題的形式，溫習(xí)舊知識(shí)，加深學(xué)習(xí)印象。在提問(wèn)的準(zhǔn)備階段，教師將整式相關(guān)概念知識(shí)作為切入點(diǎn)，利用新穎問(wèn)題來(lái)激起學(xué)生的思維浪花，使之能夠按照教師的指引對(duì)所學(xué)重點(diǎn)知識(shí)進(jìn)行深入理解，在尋找問(wèn)題答案的同時(shí)，逐步開闊思維。教師引導(dǎo)學(xué)生在舊知識(shí)中遷移出同類項(xiàng)知識(shí)，從“合并同類項(xiàng)”入手，將乘法分配律與合并同類項(xiàng)技巧相融合，使學(xué)生能夠懂得整式加減中“合并同類項(xiàng)”的技巧，切實(shí)提高預(yù)習(xí)質(zhì)量，養(yǎng)成良好的預(yù)習(xí)習(xí)慣。

（2）熟能生巧，培養(yǎng)運(yùn)算能力

在初中數(shù)學(xué)整式運(yùn)算學(xué)習(xí)中，講解運(yùn)算的技巧和解題方法，能夠幫助學(xué)生快速提高運(yùn)算能力，從而達(dá)到熟能生巧。因此，為了幫助學(xué)生掌握整式運(yùn)算的技巧，教師要培養(yǎng)學(xué)生優(yōu)秀的運(yùn)算能力。比如，在講解北師大版七年級(jí)數(shù)學(xué)《整式的加減》部分內(nèi)容時(shí)，將“合并同類項(xiàng)”與“求平面幾何圖形面積”相融合，引導(dǎo)學(xué)生嘗試求解教材中“圖3-8”中的長(zhǎng)方形面積。由于初中生在初次接觸整式運(yùn)算知識(shí)時(shí)，很容易被整數(shù)加減知識(shí)誤導(dǎo)，而教師將整式運(yùn)算融入幾何面積求解中，可以幫助學(xué)生通過(guò)實(shí)踐的方式，理解整式運(yùn)算數(shù)學(xué)原理，從而夯實(shí)學(xué)生的理論基礎(chǔ)知識(shí)學(xué)習(xí)，培養(yǎng)其優(yōu)秀的運(yùn)算能力。教師將課后“做一做”中的習(xí)題進(jìn)行合理變式，鼓勵(lì)學(xué)生自行求解整式加減習(xí)題，讓學(xué)生在解題中檢驗(yàn)自己的學(xué)習(xí)成果，同時(shí)培養(yǎng)其優(yōu)秀的運(yùn)算能力，促進(jìn)其解題效率和正確率同步提升。

（3）領(lǐng)悟反思，復(fù)習(xí)所學(xué)內(nèi)容

初中生已經(jīng)具備了基本的復(fù)習(xí)能力，教師在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟反思整式運(yùn)算的學(xué)習(xí)情況，可以幫助其高效的進(jìn)行復(fù)習(xí)，從而加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解印象。比如，在講解北師大版七年級(jí)數(shù)學(xué)《整式的加減》部分內(nèi)容時(shí)，讓學(xué)生以合作討論的方式來(lái)總結(jié)整式加減計(jì)算步驟以及注意事項(xiàng)，教師則將學(xué)生的合作探究成果進(jìn)行歸納，以引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟“去括號(hào)法則”、“合并同類項(xiàng)”的意義，使之能夠根據(jù)教師的指引，深刻理解整式加減的計(jì)算算理。再呈現(xiàn)此前學(xué)生經(jīng)常算錯(cuò)的習(xí)題，讓學(xué)生按照“錯(cuò)誤原因、改正辦法、注意事項(xiàng)”的順序進(jìn)行回顧反思，使之能夠在復(fù)習(xí)整式加減運(yùn)算知識(shí)的基礎(chǔ)上，歷經(jīng)特例歸納、領(lǐng)悟反思的全過(guò)程，在合作討論中形成優(yōu)秀的探究精神，不斷提高復(fù)習(xí)質(zhì)量，加深對(duì)整式運(yùn)算的理解印象。

2.初中數(shù)學(xué)關(guān)于整式運(yùn)算中普遍出現(xiàn)的問(wèn)題

（1）常出現(xiàn)相關(guān)負(fù)號(hào)運(yùn)算錯(cuò)誤

在關(guān)于負(fù)號(hào)的整式運(yùn)算中，常出現(xiàn)的首先是初中生不清楚負(fù)號(hào)與乘方之間的要素是否有關(guān)聯(lián)，接著是不懂得如何放置負(fù)號(hào)在去括號(hào)時(shí)的位置，然后就是不理解包括負(fù)號(hào)的代數(shù)式該如何進(jìn)行合并同類項(xiàng)。比如說(shuō)，在北師大版七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)的課后練習(xí)中：[--62=12]和[--22=-4]這類題型常常讓學(xué)生掉入陷阱，學(xué)生難以分辨第一個(gè)負(fù)號(hào)是否能與括號(hào)中的要素一同計(jì)算。又比如：在學(xué)生的做題結(jié)果中的[ab2-3ab2-2b+1=ab2-3ab2-6b+3]中，可以發(fā)現(xiàn)學(xué)生在展開多項(xiàng)式時(shí)并沒有將負(fù)號(hào)與括號(hào)中的要素共同運(yùn)算進(jìn)來(lái)，導(dǎo)致了結(jié)果數(shù)字正確、符號(hào)錯(cuò)誤，最終的結(jié)果還是錯(cuò)誤。

（2）常出現(xiàn)乘方運(yùn)算錯(cuò)誤

在學(xué)生進(jìn)行乘方運(yùn)算過(guò)程時(shí)，最常見的問(wèn)題是分不清冪的乘方與積的乘方之間運(yùn)算的差別，進(jìn)而對(duì)于幾種冪的運(yùn)算法則的混淆。比如，在課堂練習(xí)中關(guān)于問(wèn)題[x42=x6]，[x4y42=x4x6]，大多學(xué)生容易在計(jì)算冪的乘方過(guò)程中，想當(dāng)然地將[x]、[y]的次數(shù)相加得出結(jié)果，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤的產(chǎn)生。實(shí)際上，積的乘方運(yùn)算規(guī)則是將括號(hào)外的次數(shù)與括號(hào)內(nèi)的各乘方要素次數(shù)相乘，才能得出正確答案。

（3）常出現(xiàn)乘除法運(yùn)算錯(cuò)誤

關(guān)于整式運(yùn)算的乘除法，學(xué)生常犯的錯(cuò)誤有兩方面：一是有系數(shù)出現(xiàn)的乘除計(jì)算，學(xué)生僅僅關(guān)注了系數(shù)的參與，卻沒有將字母并入運(yùn)算中，從而產(chǎn)生錯(cuò)誤;比如，計(jì)算[-3ab2-2b+1=-3ab2-2b+1]。二是出現(xiàn)關(guān)于冪的次數(shù)運(yùn)算混合乘除，比如，計(jì)算[-y32÷y6]，學(xué)生往往理不清頭緒。

（4）常出現(xiàn)乘法公式運(yùn)算錯(cuò)誤

學(xué)生對(duì)于有關(guān)乘法公式的運(yùn)算題目缺乏熟練度，混淆了兩個(gè)公式，對(duì)于難度加大的題目更束手無(wú)策。歸根結(jié)底，也是乘法公式記憶不清，理解不透徹，拓展不全面。比如，計(jì)算[a-32=a2-9];在 [x+y-zx+y+z]中，學(xué)生難以將[x+y]分離出來(lái)構(gòu)成 [x+y2-z2]的平方差公式，導(dǎo)致得不出結(jié)果。

3.關(guān)于初中數(shù)學(xué)整式運(yùn)算中常見錯(cuò)誤的解決方法

（1）加固對(duì)整式運(yùn)算的基本運(yùn)算法則的認(rèn)知

整式運(yùn)算立足于其基本運(yùn)算法則才得以運(yùn)用于實(shí)際計(jì)算題中，初中生需要牢固掌握好基礎(chǔ)知識(shí)才能夠準(zhǔn)確進(jìn)行整式運(yùn)算，才具備在做題目時(shí)以最大的可能規(guī)避基礎(chǔ)失誤。但大多學(xué)生不注重基礎(chǔ)知識(shí)的日常鞏固，認(rèn)為其過(guò)于簡(jiǎn)單，導(dǎo)致在考試中常常出現(xiàn)不必要的失分，甚至不知道出于什么原因?qū)е碌腻e(cuò)誤出現(xiàn)。由于學(xué)生忽視基礎(chǔ)，常常做題時(shí)腦海中有公式概念混淆不清、基礎(chǔ)運(yùn)算法則記憶模糊的現(xiàn)象產(chǎn)生，教學(xué)成效欠佳，使得數(shù)學(xué)學(xué)科的教學(xué)進(jìn)展停滯不前。針對(duì)這種情況，教師需要從零開始，注重開展整式運(yùn)算教學(xué)的第一堂課，把基礎(chǔ)知識(shí)的重要性牢牢鎖定在學(xué)生的心中。比如，部分學(xué)生存在關(guān)于乘法運(yùn)算中冪的運(yùn)算法則記憶困難，教師可以首先從理論指導(dǎo)學(xué)生理解冪與乘法運(yùn)算之間的聯(lián)系意義，再接著通過(guò)發(fā)布針對(duì)性練習(xí)讓學(xué)生獨(dú)自完成，結(jié)合學(xué)生的運(yùn)算成果開展鞏固和復(fù)習(xí)的工作，從而達(dá)到幫助學(xué)生加強(qiáng)對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的記憶和理解。

（2）增強(qiáng)對(duì)整式運(yùn)算中各要素的邏輯關(guān)聯(lián)的理解

在初中階段，學(xué)生需要學(xué)習(xí)的整式運(yùn)算內(nèi)容相較于以往更為豐富，不僅包括小學(xué)學(xué)習(xí)的加減乘除運(yùn)算，還加入了括號(hào)、乘方等各種要素。初中生要想掌握理解好整式運(yùn)算，還是具有一定難度的。因此，具有邏輯條理、關(guān)聯(lián)性強(qiáng)的教學(xué)結(jié)構(gòu)就十分關(guān)鍵。在日常課堂中，為避免學(xué)生對(duì)整式運(yùn)算知識(shí)的混淆運(yùn)用，需要教師將運(yùn)算中的各項(xiàng)要素相關(guān)聯(lián)起來(lái)，把它們的邏輯關(guān)系擺在明面上，幫助學(xué)生梳理整式運(yùn)算的知識(shí)體系，讓學(xué)生可以充分直白地理解運(yùn)用相關(guān)知識(shí)，不僅提高了學(xué)生整體的學(xué)習(xí)效率，還拉快了教學(xué)課堂的開展進(jìn)度。比如，在教師講解北師大版七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)中，需要計(jì)算一個(gè)緊挨著墻角的長(zhǎng)方體木箱的外露表面積，讓學(xué)生進(jìn)行回答可以得到公式[ac+bc+ab]，教師對(duì)這個(gè)公式再進(jìn)一步分析，可以將其化為[ab+c+bc]，化為這個(gè)公式的前提可以知道是[b+c]都具有公因子[a]，教師把這層邏輯關(guān)系表明給學(xué)生，并讓其探索化成其他公式，得到[ac+bb+c]和[ab+b+c]，從而讓學(xué)生深刻理解通過(guò)明晰公式之間的邏輯關(guān)系，可以幫助理解日后關(guān)于整式運(yùn)算的解題過(guò)程。最后，教師還可以布置典型具有強(qiáng)烈關(guān)聯(lián)性的例題作為學(xué)生的課后練習(xí)，加固本次課堂教學(xué)內(nèi)容，加深學(xué)生對(duì)各要素在整式運(yùn)算中邏輯運(yùn)算的理解。

（3）為樹立學(xué)生正確的學(xué)習(xí)態(tài)度和調(diào)動(dòng)其學(xué)習(xí)積極性

在學(xué)習(xí)初中課程時(shí)，往往出現(xiàn)因?qū)W習(xí)強(qiáng)度的突然加大而產(chǎn)生消極逃避學(xué)習(xí)的學(xué)生，這就需要教師對(duì)其重點(diǎn)關(guān)注，了解其在學(xué)習(xí)出現(xiàn)的問(wèn)題成因，并根據(jù)其學(xué)習(xí)能力可以設(shè)置一個(gè)互助學(xué)習(xí)小組，幫助其走出學(xué)習(xí)困境。教師應(yīng)從簡(jiǎn)單的題目開始指導(dǎo)，首先構(gòu)筑學(xué)生的學(xué)習(xí)自信心，從而一步步引領(lǐng)其感受學(xué)習(xí)過(guò)程中的快樂，解決難題后的自豪，帶領(lǐng)其逐漸步入正軌。而有學(xué)習(xí)能力較弱的同學(xué)出現(xiàn)的情況下，也會(huì)存在學(xué)習(xí)能力強(qiáng)但過(guò)于自傲的同學(xué)，因馬虎應(yīng)付數(shù)學(xué)課堂中的學(xué)習(xí)任務(wù)，認(rèn)為整式運(yùn)算這項(xiàng)知識(shí)沒有難度，從而在考試中造成了許多不應(yīng)該出現(xiàn)的低級(jí)錯(cuò)誤，教師這時(shí)候則應(yīng)對(duì)其展開思想教育，使其樹立正確的學(xué)習(xí)態(tài)度，養(yǎng)成虛心細(xì)心的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣，腳踏實(shí)地地往更深層次學(xué)習(xí)，避免浪費(fèi)其自身的學(xué)習(xí)天賦。比如，教師可以通過(guò)舉辦數(shù)學(xué)競(jìng)賽的辦法，增加一定的比賽難度，讓這部分學(xué)生明白學(xué)習(xí)是永無(wú)止境的，人無(wú)完人，需要認(rèn)真低調(diào)的做好自身學(xué)業(yè)并且需要不斷進(jìn)修，才能走向更遠(yuǎn)的地方。

（4）引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行總結(jié)歸納，進(jìn)一步鞏固學(xué)習(xí)內(nèi)容

在教學(xué)過(guò)程中，單靠刷題是可以加強(qiáng)學(xué)生對(duì)題目的應(yīng)激性和記憶度，但對(duì)于學(xué)生對(duì)整式運(yùn)算的知識(shí)內(nèi)容的理解運(yùn)用卻毫無(wú)益處。所以在日常布置學(xué)生做題和考試后，教師需要引領(lǐng)學(xué)生養(yǎng)成定期進(jìn)行題目總結(jié)和知識(shí)點(diǎn)歸納的良好習(xí)慣。比如，教師可以開設(shè)專項(xiàng)復(fù)習(xí)課，講解學(xué)生常出現(xiàn)的錯(cuò)誤知識(shí)點(diǎn)，并解決學(xué)生提出的疑問(wèn)，要求學(xué)生將常出現(xiàn)的錯(cuò)誤題型歸納到一個(gè)本子上，并用紅筆標(biāo)注出題目的考驗(yàn)知識(shí)點(diǎn)，在課后對(duì)此知識(shí)點(diǎn)再重新進(jìn)行新一輪鞏固復(fù)習(xí)，以此達(dá)到反思錯(cuò)誤、加深知識(shí)理解的作用。

（5）給予一定空間使學(xué)生進(jìn)行自我探索和自行糾錯(cuò)

現(xiàn)如今，教學(xué)課堂的主人應(yīng)該交于學(xué)生的手上，這樣才能以最大程度激發(fā)學(xué)生身上的潛能和鍛煉其思考能力、拓寬其發(fā)展空間。但由于學(xué)生剛步入初中階段，尚未適應(yīng)在短時(shí)間內(nèi)改變的學(xué)習(xí)環(huán)境，復(fù)雜的整式運(yùn)算知識(shí)仍然需要教師的詳細(xì)解析。但教師的教學(xué)并不是一味的空口憑說(shuō)，而是結(jié)合學(xué)生的參與互動(dòng)，帶動(dòng)課堂的展開。比如，在教師講解完一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的含義和一個(gè)經(jīng)典例題后，教師可以再出一道同類型題目于黑板上，讓學(xué)生自行上講臺(tái)答題并說(shuō)出解題思路，教師可以找出其問(wèn)題并幫助解決，讓學(xué)生更好地對(duì)這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的理解，還可以從中發(fā)現(xiàn)學(xué)生普遍的解題思路走向，為日后的教學(xué)方案的設(shè)計(jì)增加多一方面的參考內(nèi)容。

總之，共通的問(wèn)題在初中生運(yùn)用整式運(yùn)算中，常有的是對(duì)負(fù)號(hào)的忽視、乘法法則的理解不足等等，教師需要對(duì)這些問(wèn)題出一套專項(xiàng)訓(xùn)練，展開針對(duì)性教學(xué)加強(qiáng)學(xué)生對(duì)自身不理解、不熟練的知識(shí)方面的實(shí)踐訓(xùn)練，達(dá)到下筆了然于心的教學(xué)目的，幫助學(xué)生早日發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤并及時(shí)拔除毒瘤，增強(qiáng)對(duì)整式運(yùn)算專項(xiàng)內(nèi)容的知識(shí)把握度，提升學(xué)習(xí)自豪感，確保日后考試學(xué)習(xí)中關(guān)于整式運(yùn)算的計(jì)算正確度的提高?？偟膩?lái)說(shuō)，關(guān)于如何解決初中生在整式運(yùn)算中出現(xiàn)的共通錯(cuò)誤，不僅需要加固學(xué)生對(duì)運(yùn)算中的去括號(hào)、加平方等要素的認(rèn)識(shí)和重視，還要改善教師的教學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)，結(jié)課堂實(shí)際和學(xué)生學(xué)習(xí)狀況，及時(shí)調(diào)整教學(xué)方案，適時(shí)融入新興教學(xué)模式，提升學(xué)生的主動(dòng)學(xué)習(xí)的積極性和自行探索解決問(wèn)題的高度熱情。

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