低起點，小步子，多活動

陳拾英

[摘 ?要] 數(shù)學課程標準將數(shù)學建模作為核心素養(yǎng)的要求之一，數(shù)學建模思想使學生能夠運用數(shù)學知識獨立解決生活實際問題，體現(xiàn)了學生綜合能力的提高. 教學中要通過創(chuàng)設(shè)平臺，引導學生獨立思考，主動探究，逐漸滲透數(shù)學建模思想，不斷提升他們的數(shù)學核心素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學建模;核心素養(yǎng);思維能力

數(shù)學建模是學生學習數(shù)學知識需要掌握的一項重要能力，是提升數(shù)學素養(yǎng)的重要內(nèi)容. 培養(yǎng)學生的數(shù)學建模思想需要在教學中創(chuàng)設(shè)有利于學生積極思考和參與活動的環(huán)境，引導學生通過自主學習、合作探究，建構(gòu)知識體系，通過觀察、操作、分析和思考解決問題，學會運用數(shù)學眼光去打量世界和解決問題，從中體會數(shù)學之精髓. 作為課堂有效教學的重要載體，我們?nèi)匀荒馨l(fā)現(xiàn)在一些沒有注重培養(yǎng)數(shù)學建模思想的課堂，教師習慣“一言堂”，不敢也不愿放手讓學生去思考和實踐，學生難以體會知識的發(fā)生過程，不能體會和理解數(shù)學思想，這不利于學生提升數(shù)學學科核心素養(yǎng). 筆者以“圓周角定理”的教學為例，探討如何培養(yǎng)學生的數(shù)學建模思想.

背景問題

如圖1所示，圓Ο中有兩個圓周角∠ACB和∠ADB，請分別測量這兩個圓周角的度數(shù)，并比較它們之間的大小，再將點C的位置在圓周上進行移動，這時圓周角的度數(shù)發(fā)生了什么變化？你能發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律嗎？測量出所對的圓心角∠AOB的度數(shù)后，你又有什么發(fā)現(xiàn)呢？

設(shè)計意圖 ?圓周角定理的教學中，要培養(yǎng)學生的數(shù)學建模思想，首先通過學生的動手實踐直觀感受其中的變化，然后對實驗進行分析和研究，最后通過猜想其中存在的規(guī)律，培養(yǎng)學生動手實踐、觀察分析和猜測推理的能力.

建立模型

1. 模型猜想

通過對例題的分析，引導學生猜想出模型：相同的弧所對的圓周角的度數(shù)是相等的，這條弧所對的圓心角的度數(shù)是圓周角的兩倍.

2. 驗證猜想

問題1：“相同的弧所對的圓周角的度數(shù)相等”和“相同的弧所對的圓心角的度數(shù)是圓周角的兩倍”這兩個問題，你選擇先證明哪一個？請說明理由.

（學生經(jīng)過討論，爭論不休，各執(zhí)己見.）

生1：我選擇先證明“相同的弧所對的圓周角的度數(shù)相等”，因為這里只要證明相等關(guān)系. 我覺得比證明兩倍的數(shù)量關(guān)系更容易.

生2：這個理由太牽強了，應該先證明“相同的弧所對的圓心角的度數(shù)是圓周角的兩倍”，因為點C在圓周上的位置會發(fā)生變化，并得到多個圓周角，但是無論怎樣變化，只有一個圓心角，容易證明. 如果“相同的弧所對的圓心角的度數(shù)是圓周角的兩倍”，那么自然可以得到“相同的弧所對的圓周角的度數(shù)相等”的結(jié)論.

師：誰的理由更具有說服力？

（大家紛紛同意生2的說法更加準確有理. ）

設(shè)計意圖 ?通過問題1的設(shè)置首先讓學生能用辨析思維去進行判斷，在比較分析的過程中學生不僅解決了主要矛盾，理解了題意，而且發(fā)展了思維的批判性.

問題2：從圓心與圓周角的位置關(guān)系角度出發(fā)，由點C在圓周上位置的變化可以得到多個圓周角，那么可以分成幾種情況呢？

生3：可以是圓心在圓周角的一邊上.

生4：我覺得圓心可以在圓周角的里面.

生5：圓心也可以在圓周角的外面.

師：還有其他情況嗎？……是的，一共有三種情況.

設(shè)計意圖 ?通過問題2的設(shè)置引導學生經(jīng)過觀察思考、分析歸納得出圓心與圓周角的幾種位置關(guān)系，培養(yǎng)學生在遇到復雜問題時采用分類歸納的思想，通過設(shè)置不同層次的問題來破解疑難.

問題3：這三種情況，你選擇先證明哪一種？說一說你的理由.

（學生有些無從下手，討論了一會兒，陷入了沉默. ）

師：看來同學們有些困難，沒關(guān)系. 當這種可能情況很多但又無從證明時，一般來說，我們會先突破最特殊的一種情況. 請同學們看一看這三種情況中，哪一種情況最特殊？

生4：應該是“圓心在圓周角的一邊上”是最特殊的，因為這時圓的直徑是AC.

師：很好，所以我們先由這個特殊的位置開始證明.

設(shè)計意圖 ?問題3的設(shè)置意在向?qū)W生滲透推理思想，從特殊到一般，這是在驗證數(shù)學結(jié)論中經(jīng)常用到的一種方法. 通過問題導向，學生在思考的過程中體會到由特殊到一般的推理思想的廣泛用途，增強了學生的推理能力.

問題4：如圖2所示，當圓心在圓周角的一條邊AC上，怎樣證明∠ACB的度數(shù)是∠AOB的一半時？

學生思考討論，展示解題思路.

生5：我是這樣想的，證明∠ACB的度數(shù)是∠AOB的一半，其實反過來也就是證明∠AOB的度數(shù)是∠ACB的2倍，這樣好像更容易.

師：非常好，不管接下來的思路怎么樣，但是生5給了我們一個很好的示范，也就是采用轉(zhuǎn)化思想，換一個角度使問題“柳暗花明”了.

設(shè)計意圖 ?問題4的設(shè)置作用在于滲透轉(zhuǎn)化思想，幾何問題中常常需要通過轉(zhuǎn)化類比和等量轉(zhuǎn)換實現(xiàn)問題的突破，因此轉(zhuǎn)化思想的滲透顯得尤為重要.

問題5：如圖3所示，當圓心O在圓周角∠ACB的里面時，可以證明∠ACB的度數(shù)是∠AOB的一半嗎？

生6：老師，通過問題4的解決，我覺得問題5就比較容易了. 因為圓心在圓周角的一條邊上時，可以證明“相同的弧所對的圓心角的度數(shù)是圓周角度數(shù)的兩倍”，那么我們就可以過圓周角的頂點C作一條直徑CD，通過轉(zhuǎn)化思想，把圓心O在圓周角里面的情況轉(zhuǎn)化為圓心在圓周角的一條邊上來進行證明.

師：是的，看來你已經(jīng)把剛才的轉(zhuǎn)化思想活學活用了，很厲害.

問題6：如圖4所示，當圓心O在圓周角∠ACB的外面時，如何證明∠ACB的度數(shù)是∠AOB的一半？

生7：這道題和問題5一樣，同樣進行轉(zhuǎn)化，過圓周角的頂點C作一條直徑CD，把圓心在圓周角外部的情況也轉(zhuǎn)化為圓心在圓周角的一邊上進行證明，非常簡單.

師：是的，情況類似，我們就不再贅述了.

設(shè)計意圖 ?在本例中，教師通過問題串的形式引領(lǐng)學生進行了猜想驗證，設(shè)置同類問題不同情況的目的是向?qū)W生逐漸滲透數(shù)學的轉(zhuǎn)化和化歸思想. 學生在一次次打磨和討論中，逐漸體會到猜想、驗證的方法和類比、轉(zhuǎn)化的思想，提升了論證能力和解題能力.

3. 建立模型

（1）通過剛才的驗證，師生共同已經(jīng)分析了圓心與圓周角的三種位置關(guān)系：圓心在圓周的一邊上，圓心分別在圓周角的內(nèi)部和外部. 在這三種情況下，相同的弧所對的圓心角的度數(shù)都是圓周角度數(shù)的兩倍，因此相同的弧所對的圓周角相等.

（2）在此基礎(chǔ)上，再次提出問題，在同樣的圓或者相等的圓中，假若兩條弧相等，那么它們所對的圓心角有什么樣的關(guān)系呢？同樣，在同樣的圓或者相等的圓中，假若兩條弧相等，那么它們所對的圓周角有什么樣的關(guān)系呢？

（3）由此可以證明圓周角定理：同樣的圓或者相等的圓中，同樣的弧或相等的弧所對的圓心角是圓周角的兩倍.

模型應用

例題1 ?一個半圓所對的圓周角是多少度？說一說你的理由.

例題2 ?假若圓周角是直角，它所對的弦一定是直徑嗎？說一說你的理由.

例題3 ?如圖5，圓O上有A，B，C三點，若∠BAC是60°，則∠BOC是多少度？如果∠AOB是直角，那么∠ACB是多少度？

例題4 ?如圖6，在圓O中，弦AB和CD相交于點E，∠BAC是40°，∠AED是75°，那么∠ABD是多少度？

例題5 ?如圖7，點A，B，C，D在圓O內(nèi)，∠ADC和∠BDC都是60°，請判斷△ABC的形狀，并說明你的理由.

模型應用的前面兩道題主要考查圓周角定理的推論應用. 后面三道題是在數(shù)學建模的基礎(chǔ)上，學生能根據(jù)已知條件應用轉(zhuǎn)化與化歸思想，進一步構(gòu)建“相同的弧所對的圓周角和圓心角度數(shù)的關(guān)系”模型.

本課教學設(shè)計中，利用數(shù)學建模思想探究圓周角定理的過程采用了從低到高、層層遞進的策略. 教師通過豐富的活動引導學生在思考、猜想和驗證中交流數(shù)學學習的經(jīng)驗，提升他們運用知識的能力，促使他們掌握數(shù)學方法，體會數(shù)學思想. 在教學中，教師要堅持從學生的角度出發(fā)，以學生的發(fā)展為起點，在學生的自主活動中，不斷發(fā)展創(chuàng)新思維，構(gòu)建數(shù)學建模思想，提升他們的實踐能力和數(shù)學學科核心素養(yǎng).

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