螺旋問(wèn)題鏈導(dǎo)向下初中數(shù)學(xué)單元活動(dòng)問(wèn)題設(shè)計(jì)

萬(wàn)妍青

[摘 ?要] 單元活動(dòng)是單元教學(xué)設(shè)計(jì)的核心環(huán)節(jié)，高質(zhì)量的單元活動(dòng)設(shè)計(jì)是有效開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)的前提. 文章從“相似三角形的判定”單元出發(fā)，對(duì)三類常見(jiàn)的單元活動(dòng)進(jìn)行整體建構(gòu)與系統(tǒng)開(kāi)發(fā)，注重在螺旋問(wèn)題鏈導(dǎo)向下進(jìn)行單元活動(dòng)的問(wèn)題設(shè)計(jì)，以達(dá)到“思維活動(dòng)”的目的，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué);單元活動(dòng);螺旋問(wèn)題鏈;相似三角形的判定

單元活動(dòng)是單元教學(xué)的重要組成部分，它是在單元教學(xué)目標(biāo)及流程確定的基礎(chǔ)上，為促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解與運(yùn)用，以及實(shí)踐、探究、創(chuàng)新能力的發(fā)展，針對(duì)具體單元的教學(xué)內(nèi)容而開(kāi)展的活動(dòng)，高質(zhì)量的單元活動(dòng)設(shè)計(jì)是有效開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)的前提[1].

單元活動(dòng)以學(xué)生為主體，以問(wèn)題為中心，重在培養(yǎng)學(xué)生提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，并通過(guò)設(shè)計(jì)圍繞情境（真實(shí)情境或數(shù)學(xué)問(wèn)題情境）的“問(wèn)題鏈型”任務(wù)，讓學(xué)生經(jīng)歷各種操作、實(shí)驗(yàn)、探究、體驗(yàn)等活動(dòng)，豐富學(xué)生多樣化的學(xué)習(xí)經(jīng)歷，促進(jìn)對(duì)學(xué)生的多元評(píng)價(jià)，從而著力培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神、實(shí)踐能力、合作意識(shí)和批判性思維等.

一般來(lái)說(shuō)，一個(gè)單元的單元活動(dòng)包含概念、定理和性質(zhì)的新授，也包含新知的運(yùn)用與拓展，還包含綜合探究與實(shí)踐. 因此，可結(jié)合教學(xué)活動(dòng)的內(nèi)容和活動(dòng)的不同任務(wù)或特點(diǎn)，將單元活動(dòng)分為新知建構(gòu)活動(dòng)、問(wèn)題探究活動(dòng)和項(xiàng)目實(shí)踐活動(dòng).

同時(shí)，單元活動(dòng)的推進(jìn)通過(guò)問(wèn)題進(jìn)行串聯(lián)，各個(gè)問(wèn)題之間存在一定的內(nèi)在聯(lián)系（或條件、圖形相似，或結(jié)論一致，或方法相同），此時(shí)需要發(fā)揮共性. 對(duì)于關(guān)鍵問(wèn)題，要追問(wèn)學(xué)生，觸類旁通;對(duì)于整堂課的設(shè)計(jì)，要體現(xiàn)問(wèn)題化學(xué)習(xí)，注重知識(shí)點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系. 因而，在問(wèn)題設(shè)計(jì)中，教師可由基本問(wèn)題引入，逐漸延伸，然后過(guò)渡至核心問(wèn)題，加深學(xué)生對(duì)其的認(rèn)識(shí)，并設(shè)計(jì)例題變式，讓學(xué)生構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，最終尋找共性規(guī)律，形成解題策略. 在此過(guò)程中，將問(wèn)題像“鏈條”一樣串聯(lián)起來(lái)，多題歸一，環(huán)環(huán)緊扣，層層遞進(jìn).

文章以“相似三角形的判定”（滬教版九年級(jí)上冊(cè)）為例（以下統(tǒng)稱“滬教版”），闡述螺旋問(wèn)題鏈（如圖1所示）導(dǎo)向下“相似三角形的判定”單元中三類單元活動(dòng)的問(wèn)題設(shè)計(jì)策略.

分析、比較教材，設(shè)計(jì)單元結(jié)構(gòu)

通過(guò)比較人教版九年級(jí)下冊(cè)（以下統(tǒng)稱“人教版”）和北師大版九年級(jí)上冊(cè)（以下統(tǒng)稱“北師大版”）“相似三角形的判定”章節(jié)的具體內(nèi)容，筆者合理規(guī)劃了“相似三角形的判定”單元活動(dòng)設(shè)計(jì). “相似三角形的判定”在滬教版、人教版和北師大版三個(gè)不同版本中的具體教學(xué)內(nèi)容如表1所示.

通過(guò)比較可以發(fā)現(xiàn)，滬教版未涉及（1）（8）（9）三個(gè)板塊. 但滬教版在“比例線段”中已系統(tǒng)涵蓋了黃金分割、比例線段和三角形一邊的平行線的相關(guān)內(nèi)容，因此在“相似三角形的判定”單元沒(méi)有必要單獨(dú)列出板塊（1）和（8）. 板塊（9）側(cè)重體現(xiàn)在真實(shí)情境中運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決一些簡(jiǎn)單的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，因而該板塊需納入單元設(shè)計(jì)中，用于提升學(xué)生的問(wèn)題解決能力和數(shù)學(xué)建模能力. 通過(guò)優(yōu)化、整合教學(xué)內(nèi)容，筆者得到了“相似三角形的判定”單元結(jié)構(gòu)圖（如表2所示）[2].

表2所示的教學(xué)調(diào)整將相似三角形的判定方法劃分為三個(gè)部分：預(yù)備定理（奠定基礎(chǔ)）→三種判定方法（推理應(yīng)用）→直角三角形判定方法（應(yīng)用結(jié)論）;將相似三角形判定應(yīng)用也劃分為三個(gè)部分：簡(jiǎn)單應(yīng)用（層級(jí)Ⅰ）→綜合應(yīng)用（層級(jí)Ⅱ）→實(shí)際應(yīng)用（層級(jí)Ⅲ）. 這樣的調(diào)整會(huì)讓學(xué)生經(jīng)歷“提出問(wèn)題→解決問(wèn)題→概括總結(jié)”的學(xué)習(xí)過(guò)程，最后進(jìn)行探究活動(dòng)，體現(xiàn)了知識(shí)的再現(xiàn)與深化，關(guān)注了方法的差異和運(yùn)用.

從整合的效果來(lái)看，筆者將探究判定條件與合理選擇判定方法前置，注重了學(xué)生在解決三角形相似問(wèn)題時(shí)的思維邏輯，同時(shí)結(jié)合全等三角形判定定理累積的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，在新課的學(xué)習(xí)中以“總—分—總”的方式進(jìn)行教學(xué)，避免了單一知識(shí)的重復(fù)訓(xùn)練，能提高學(xué)生的思維品質(zhì)，這對(duì)于學(xué)生知識(shí)的綜合掌握和數(shù)學(xué)思維能力的提升有較大的幫助.

突出教學(xué)重點(diǎn)，設(shè)計(jì)單元活動(dòng)

單元活動(dòng)的設(shè)計(jì)應(yīng)遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，應(yīng)根據(jù)單元目標(biāo)統(tǒng)領(lǐng)下的課時(shí)目標(biāo)，分析單元活動(dòng)的教學(xué)目標(biāo)和重、難點(diǎn)，進(jìn)而進(jìn)行單元活動(dòng)的流程設(shè)計(jì). 一般來(lái)說(shuō)，單元活動(dòng)可以按照“整體規(guī)劃→確定內(nèi)容→設(shè)計(jì)方案→設(shè)計(jì)評(píng)價(jià)”的流程來(lái)展開(kāi)，具體如圖2所示[3].

結(jié)合“相似三角形的判定”的重、難點(diǎn)，圍繞單元活動(dòng)中的知識(shí)建構(gòu)活動(dòng)、問(wèn)題探究活動(dòng)和項(xiàng)目實(shí)踐活動(dòng)三種活動(dòng)類型，進(jìn)行單元活動(dòng)的整體設(shè)計(jì)，如表3所示.

下面以活動(dòng)1、活動(dòng)2、活動(dòng)3為例，闡述螺旋問(wèn)題鏈導(dǎo)向下單元活動(dòng)問(wèn)題設(shè)計(jì).

1. 知識(shí)建構(gòu)活動(dòng)——興趣的激發(fā)

探究相似三角形的判定定理是建立在相似三角形的定義和相似三角形判定的預(yù)備定理基礎(chǔ)上的進(jìn)一步探究，并且與已學(xué)的“全等三角形的判定”關(guān)系密切，因此借助之前問(wèn)題研究的經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)類比，可以為學(xué)生的自主推理并證明判定兩個(gè)三角形相似的命題創(chuàng)設(shè)情境，提供可能的條件. 螺旋問(wèn)題鏈導(dǎo)向下的知識(shí)建構(gòu)活動(dòng)問(wèn)題設(shè)計(jì)如下.

基本問(wèn)題1：相似三角形與全等三角形有什么關(guān)系？

基本問(wèn)題2：判定三角形全等的方法有哪些？

基本問(wèn)題3：你能類比三角形全等的方法構(gòu)建判定三角形相似的命題么？[4]

通過(guò)3個(gè)基本問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生思考全等三角形與相似三角形之間的關(guān)系，了解兩者特殊與一般的關(guān)系——從相似比的值為1到相似比的值為任意正實(shí)數(shù)，同時(shí)回憶全等三角形的判定定理，為學(xué)生自主建構(gòu)相似三角形的判定命題做鋪墊.

核心問(wèn)題：以其中一個(gè)命題為主體（如A.A判定），討論輔助線添加的方法及證明依據(jù).

表4展示了“A.A判定”的證明過(guò)程. 證明過(guò)程延用了證明全等三角形時(shí)的“疊合法”，這種以舊知激活新知的方式，有助于引導(dǎo)學(xué)生自主梳理知識(shí)結(jié)構(gòu)、建構(gòu)新的知識(shí)體系，其還能為后面幾個(gè)相似三角形判定定理的證明做鋪墊.

變式問(wèn)題1：仿照“A.A判定”的證明過(guò)程，證明剩余幾種判定三角形相似的命題.

變式問(wèn)題2：上述問(wèn)題探究過(guò)程運(yùn)用了哪些知識(shí)和方法？你能構(gòu)建“相似三角形判定”的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖么？

變式問(wèn)題是基本問(wèn)題和核心問(wèn)題的升華，將“疊合法”充分融入整個(gè)證明環(huán)節(jié)，能建立完整的“相似三角形判定”知識(shí)結(jié)構(gòu)圖（如圖3所示）. 這樣完整的探索過(guò)程必能激發(fā)學(xué)生主動(dòng)解決后續(xù)綜合性問(wèn)題的積極性，也能為后續(xù)單元活動(dòng)的開(kāi)展奠定理論基礎(chǔ).

2. 問(wèn)題探究活動(dòng)——能力的培養(yǎng)

教材的許多例題和習(xí)題中都隱含著常見(jiàn)的基本圖形，這些基本圖形對(duì)于復(fù)雜綜合題的突破而言起著至關(guān)重要的作用，因此，為了夯實(shí)學(xué)生對(duì)相似三角形判定定理的應(yīng)用，教師可針對(duì)教材中的一些經(jīng)典例（習(xí)）題設(shè)計(jì)變式題，以幫助學(xué)生積累“利用基本圖形分析法解決問(wèn)題”的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，從而讓他們體會(huì)從一般到特殊、從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.

下面以滬教版24.4（2）的例1、例2、習(xí)題2為主體，進(jìn)行螺旋問(wèn)題鏈導(dǎo)向下的問(wèn)題探究活動(dòng)問(wèn)題設(shè)計(jì).

例1：如圖4①所示，四邊形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，OA=1，OB=1.5，OC=3，OD=2，求證△OAD與△OBC是相似三角形.

例2：如圖4②所示，D是△ABC的邊AB上一點(diǎn)，且AC2=AD·AB，求證△ACD∽△ABC.

習(xí)題2：如圖4③所示，在△ABC與△AED中，=，∠BAD=∠CAE，求證△ABC∽△AED.

基本問(wèn)題：如圖5所示，已知AE=1，AB=1.5，AC=3，AD=2.

（1）求證△AED與△ABC是相似三角形.

（2）圖中有哪些相等的角？

（3）連接EB，DC，還有哪些相等的角？為什么？

相較于例1，基本問(wèn)題除了用S.A.S判定三角形相似而外，（1）（2）小問(wèn)還去除了兩條線段（即BE和CD），設(shè)計(jì)題組，融入“斜X型基本圖形”，并進(jìn)一步挖掘、深入，使得整個(gè)題組更有層次.

核心問(wèn)題：如圖6所示，在△ABC與△AED中，=，∠BAD=∠CAE，

求證：△ABC∽△AED.

核心問(wèn)題只是將課后習(xí)題的圖形稍作變動(dòng)，通過(guò)圖形的變換將基本問(wèn)題中的“斜X型基本圖形”轉(zhuǎn)化為“旋轉(zhuǎn)相似型”基本圖形，體現(xiàn)了問(wèn)題之間的聯(lián)系.

變式問(wèn)題：如圖7所示，已知△ABC，試構(gòu)造與△ABC相似的△ADE（其中點(diǎn)D在AB邊上，點(diǎn)E在AC邊上）.

（1）有多少種結(jié)果？（無(wú)數(shù)種）

（2）有幾種方法？（2種，如圖8所示，平行、斜截）

（3）利用斜截法時(shí)如何確定線段DE的位置？（如圖9所示，取點(diǎn)D與點(diǎn)B重合的特殊位置，另=，即AB2=AE·AC，根據(jù)上式可確定點(diǎn)E在邊AC上的位置）

變式問(wèn)題在核心問(wèn)題的基礎(chǔ)上進(jìn)一步深化，得到“A（斜A）型”基本圖形（如圖8②所示），而確定DE的位置時(shí)，可通過(guò)取特殊位置，得到圖9所示的“子母三角形”基本圖形，這也與例2的意圖不謀而合.

對(duì)課內(nèi)例題（習(xí)題）及其變式的再設(shè)計(jì)與再加工是設(shè)計(jì)與開(kāi)發(fā)問(wèn)題探究活動(dòng)的重要源頭，這樣不僅能起到鞏固所學(xué)、發(fā)展能力的作用，還能引發(fā)學(xué)生對(duì)例題（習(xí)題）價(jià)值的深度思考. 由上可知，根據(jù)相似型基本圖形可衍生出一系列基本圖形（如圖10所示），上述過(guò)程能讓學(xué)生親歷圖形的運(yùn)動(dòng)、變化過(guò)程，有利于他們構(gòu)建完整的知識(shí)體系，并體會(huì)題目背后蘊(yùn)藏的思想方法，從而拓展思維.

3. 項(xiàng)目實(shí)踐活動(dòng)——素養(yǎng)的提升

由于滬教版教材缺少相似三角形判定的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，因此筆者借鑒人教版和北師大版中“測(cè)量旗桿高度”的單元活動(dòng)作為項(xiàng)目實(shí)踐活動(dòng)，以此引導(dǎo)學(xué)生在新的情境中應(yīng)用數(shù)學(xué)工具解決問(wèn)題，經(jīng)歷數(shù)學(xué)探究的全過(guò)程，感悟?qū)嶋H問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型的轉(zhuǎn)化思想. 項(xiàng)目實(shí)踐活動(dòng)注重小組合作，因此設(shè)計(jì)螺旋問(wèn)題鏈導(dǎo)向下的活動(dòng)報(bào)告，建議在課外活動(dòng)中完成. 表5所示為測(cè)量旗桿高度活動(dòng)報(bào)告.

在課外活動(dòng)中，學(xué)生以小組為單位查閱相關(guān)資料，結(jié)合相似三角形的判定定理，利用測(cè)角儀、皮尺等測(cè)量工具，完成對(duì)旗桿高度的測(cè)量. 回到課堂后，學(xué)生再以小組為單位分享測(cè)量方案、示意圖及推理過(guò)程（如表6所示）.

整個(gè)測(cè)量過(guò)程從課外到課內(nèi)，這種“拓展學(xué)習(xí)時(shí)空”的活動(dòng)方式，使學(xué)生經(jīng)歷了“設(shè)計(jì)方案→推理計(jì)算→檢驗(yàn)結(jié)論→反思總結(jié)”的活動(dòng)過(guò)程. 這樣螺旋上升、層層深入的方式，能在潛移默化中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，同時(shí)能使他們明白只有嚴(yán)謹(jǐn)規(guī)范，才會(huì)減小誤差，且通過(guò)伙伴之間的團(tuán)結(jié)協(xié)作，能選擇最佳的測(cè)量方案，從而培養(yǎng)他們嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)探索觀.

基于活動(dòng)差異，設(shè)計(jì)單元評(píng)價(jià)

初中數(shù)學(xué)單元活動(dòng)可分為三種不同的類型：新知建構(gòu)活動(dòng)、問(wèn)題探究活動(dòng)及項(xiàng)目實(shí)踐活動(dòng)，前兩類又可歸為“教師引導(dǎo)型”活動(dòng)，而項(xiàng)目實(shí)踐活動(dòng)為“學(xué)生主導(dǎo)型”活動(dòng).

“教師引導(dǎo)型”活動(dòng)由教師根據(jù)學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”設(shè)計(jì)螺旋問(wèn)題鏈，學(xué)生根據(jù)教師搭建的問(wèn)題鏈進(jìn)行學(xué)習(xí)，強(qiáng)調(diào)新知建構(gòu)或問(wèn)題探究;“學(xué)生主導(dǎo)型”活動(dòng)由學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出假設(shè)、制訂方案、驗(yàn)證結(jié)論，強(qiáng)調(diào)探索和創(chuàng)造. 對(duì)于這兩類活動(dòng)，評(píng)價(jià)時(shí)要有所區(qū)別，在教學(xué)成效的認(rèn)知要素上，前者應(yīng)針對(duì)“知識(shí)及過(guò)程的理解”和“方法與思想的運(yùn)用”進(jìn)行評(píng)價(jià)，以教師評(píng)價(jià)為主（表7為“探究相似三角形的判定定理”活動(dòng)評(píng)價(jià)表）;后者則應(yīng)針對(duì)“問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)與解決”進(jìn)行評(píng)價(jià)，以學(xué)生的自評(píng)、互評(píng)為主（表8為“測(cè)量旗桿高度”課堂匯報(bào)活動(dòng)組間互評(píng)表）.

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》[6]中指出，在呈現(xiàn)作為知識(shí)與技能的數(shù)學(xué)結(jié)果的同時(shí)，重視學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生體驗(yàn)從實(shí)際背景中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、尋求結(jié)果、解決問(wèn)題的過(guò)程. 由此可見(jiàn)，將教材內(nèi)容進(jìn)行合理的劃分和整合，并設(shè)計(jì)單元活動(dòng)，是優(yōu)化學(xué)習(xí)過(guò)程、提升學(xué)習(xí)力的重要途徑. 基于學(xué)情，整體構(gòu)建并系統(tǒng)開(kāi)發(fā)單元活動(dòng)，以螺旋型問(wèn)題鏈為導(dǎo)向進(jìn)行問(wèn)題設(shè)計(jì)，無(wú)疑為培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)式思考、促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)落地、發(fā)揮數(shù)學(xué)育人功能提供了支持與保障.

參考文獻(xiàn)：

[1] 上海市教育委員會(huì)教學(xué)研究室. 初中數(shù)學(xué)單元教學(xué)設(shè)計(jì)指南[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2] 徐穎. “分”“合”“聯(lián)”，整體設(shè)計(jì)三角形單元教學(xué)[J]. 中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2019（23）：17-20.

[3] 黃肖晶. 數(shù)學(xué)學(xué)科探究發(fā)現(xiàn)型單元活動(dòng)設(shè)計(jì)研究[J]. 上海課程教學(xué)研究，2017（02）：33-35.

[4] 施衛(wèi)衛(wèi). 基于學(xué)生發(fā)展需求 ?在結(jié)構(gòu)中教與學(xué)——“相似三角形的判定”的教學(xué)實(shí)踐與反思[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2020（02）：7-10.

[5] 顧彥. 立足“四基”，回歸原點(diǎn)的教學(xué)重構(gòu)——以“相似三角形的判定”為例[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2020（23）：3-5+8.

[6] 中華人民共和國(guó)教育部. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[S]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

3255501908269