精準施策，高效課堂

袁慧春

摘要：以微專題高斯函數問題為知識與能力著眼點，設計適合于高一學生已學習的函數性質來分析解決問題，培養數學核心素養，并以此談微專題教學設計思路。

關鍵詞：微專題;教學設計;高斯函數

《普通高中數學課程標準》（2017版2020年修訂）指出：“關注學生個性化、多樣化的學習和發展需求，促進人才培養模式的轉變，著力發展學生的核心素養。”;“建立核心素養與課程教學的內在聯系，充分挖掘各學科課程教學對全面貫徹黨的教育方針、落實立德樹人的根本任務、發展素質教育的獨特育人價值，各學科基于學科本質凝練了本學科的核心素養，明確了學生學習該學科課程后應達成的正確價值觀念、必備品格和關鍵能力，對知識與技能、過程與方法、情感態度價值觀三維目標進行了整合。”;“高中數學教學以發展學生數學學科核心素養為導向，創設合適的教學情境，啟發學生思考，引導學生把握數學內容的本質。”

在高中數學課堂教學中，如何更加有效地促進學生核心素養的形成，培養學生的學科能力，筆者認為，采用微專題教學是一種行之有效的作法。其作用正如查慎行的詩句形容：“微微風簇浪，散作滿河星”。

微專題即小專題，是相對于大專題而言的，學習一個大專題一般需要比較多時間，而小專題一般是一課時教學。微專題的切入口小，角度新穎，針對教學中的痛點、弱點、難點等展開教學，有見微知著之效。微專題的教學，以主干知識的一個中心詞為節點，對知識進行強化和拓展，不需要注重知識的覆蓋面，內容專一，設計精巧玲瓏，問題處理透徹，學習更加地高效與精準。

本文以高一微專題《高斯函數問題》教學設計為例，談談對高中數學微專題教學設計的認識與理解。

一、教學分析

1.適用對象

本微專題適合于在高一上學期（以2019人教版高中數學必修第一冊為教材）必修1第三章學習之后進行教學。

2.學情分析

本微專題是在學生學習了函數的有關概念和性質以及高中的預備基礎知識，并具備一定的學習經驗和應用能力的基礎上進行教學。但由于函數的性質和概念學生剛剛接觸，所學知識與方法在學生的認知中是零散和碎片化的，通過本節微專題的學習，意圖進一步幫助學生理清知識網絡，提升分析與解決問題的能力。

3.教材分析

高斯函數的出現是在2019人教版高中必修1第一冊習題3.1中以習題方式呈現，是本章節中函數概念、函數表示、分段函數等相關知識點的應用載體，具備新定義與新情境，能很好地檢測學生基本知識的理解和應用，同時開闊學生認知視野，培養學生學習興趣，又為后繼函數的性質和具體函數的學習做了鋪墊。此外，高斯函數又得到模擬題、高考題命題者的青睞。

4.教學方法

思維之道源于啟發。本節微專題設計以“情境引入——拓展提升——問題解決”為教學主線，引導學生認識新定義，理解新情境，解決新問題，進一步總結構建知識體系，增強學科能力，體驗成功的愉悅，提升攻克困難的自信心。

5.本微專題知識與能力清單

預設教學目標點：了解高斯函數，以高斯函數知識背景為載體，會用已學知識解決問題。

預設知識重點：函數的定義，函數的表示，分段函數。

預設數學思想方法點：數形結合、轉化與化歸、分類討論、函數與方程思想。

預設學科素養點：數學抽象、邏輯推理、直觀想象、數學建模。

反思一：微專題的教學設計應結合教學實際，根據教學對象和教學目標，確定合適的教學起點與終點。設計之初應進行知識與能力的預設，根據班情，學情，考情等明確本節微專題需達成的知識目標、能力目標、學科素養目標等，并列出相應清單。

二、教學過程

1.漫話歷史，引入課題

高斯（Gauss，1777-1855）是德國著名數學家，近代數學奠基者之一，被人們稱為“數學王子”。我們把不超過實數x的最大整數記為y=[x]，稱這個函數為取整函數。18世紀時被高斯采用，因此也稱為高斯函數。（多媒體課件展示）

引例：（2019人教版必修第一冊第73頁習題3.1第13題）函數f（x）=[x]的函數值表示不超過x的最大整數，例如，[-.3.5]=-4，[2.1]=2.當x（-2.5，3]時，寫出函數f（x）的解析式，并畫出函數的圖象。

師生活動：創設教學情境，教師借助多媒體，談數學歷史，引入高斯函數，以引例為例，讓學生探索高斯函數的畫法，激發學習興趣。教學過程中讓學生理解數軸上數x的高斯函數即為這個數左邊第一個整數，若數x為整數，它的高斯函數就是本身。作出高斯函數的圖象后，引導學生發現其圖象極像階梯，為方便識記，師生一起為其取名為“階梯函數”。

設計意圖：結合微專題設計的特點，講數學歷史，引高斯函數，呈現本節課的主題，回顧分段函數的表示方法，分段函數的畫法，函數的定義等，增強學生的動手能力，同時讓學生了解數學文化背景，更易于接受學科知識，激發學習動力與潛能，師生在交流探討中進一步鞏固基本知識、提升能力，增進師生感情。

反思二：微專題設計中應注重情境的引入和生成，引導學生關注本節學習對象，直達學習重點，同時喚醒記憶，激發學習斗志，進一步幫助學生構建知識體系。近年來，以中國傳統的數學文化，世界數學歷史的發展知識為背景的考題在高考與模擬試題中時常出現，因此，微專題的設計要注重學科特點，關注高考導向，應有鮮明的時政性與時效性。

2.合作探究，小試牛刀

設計意圖：在高一上學期，應引導學生認真細致地審題，理解新定義，新情境，同時應加強數學語言的表達能力的鍛煉。這個環節中例1主要是為了幫助學生進一步理解高斯函數，同時鞏固一元二次不等式的解法;例2是分段函數求值與解不等式問題，滲透分類討論與化歸與轉化的數學思想。例3的給出是幫助學生進一步理解高斯函數相關性質，三個例子的難度適中，學生在弄懂這三題后，收獲了信心和喜悅，課堂氣氛融洽，師生均有一定的成就感。

反思三：微專題的教學設計應圍繞某一教學內容的中心詞展開，從基本概念，基本規律，基本題型入手，內化知識并構建知識體系，是一種小切口的教學設計。教學中應力求幫助學生總結一類問題的一般規律，讓學生知其然并知其所以然。

3.綜合應用，提升思維

師生活動：給學生10分鐘的時間獨立完成以上三小題，教師進行巡視，并給有困難的同學進行幫助和指導。對于例4的解答引導學生轉化為y=x2與y=[x]兩圖象交點問題，滲透化歸轉化與數形結合思想。例5與例6兩題及時指導學生正確畫好函數f（x）=x-[x]的圖象。例6有一定的綜合性，學生處理起來會感到棘手，此時引導學生明白此題的關鍵是如何會產生恰有三個點關于原點對稱。

設計意圖：這三個例子的呈現是逐步遞進，讓學生深度參與課堂，參與思考，從會畫y=[x]的圖象到會畫y=x-[x]圖象，并用這兩個圖象解決相關問題，從而復習鞏固了函數的相關性質，又滲透數形結合、化歸轉化數學思想，實現了學生思維能力和學科素養的跨越與提升。

反思四：微專題的教學設計應小而精，圍繞分層提高，高效課堂的目標，循序漸進地呈現問題，讓不同層次的學生都有所收獲，要立足學生的學習過程中的遇到的痛點，弱點，難點對癥下藥，同時要著眼于數學思想方法和學科素養的培養與滲透。

4.歸納總結，感悟思想

師生活動：教師問“本節課你有何收獲？在解決問題過程中我們用到了哪些數學思想和方法？”師生交流，相互補充，發表看法，形成共識。

教師進一步小結：與高斯函數有關問題技巧性較強，數新定義問題，比較靈活，在處理此類問題常見做法：①要充分理解和應用高斯函數的定義或題目中的新定義情境，從定義出發剖析問題，高斯函數由于在不同的區間取整有不一樣的結果，所以常轉為區間的有關討論;②學會運用課堂上老師總結的幾個高斯函數的簡單性質，有時會有意想不到的效果，當然性質需理解吃透;③有時用特殊值法解決有關高斯函數問題會帶來方便，節省時間;④學會用數形結合思想處理函數問題。本節課為大家打開了一扇認識高斯函數的窗戶，今后，隨著學習的深入，可以有很多知識與高斯函數結合命題，希望同學們舉一反三，學會變通和創造性地解決問題。

教師要求學生在本節課后收集相關資料，完成一篇關于“高斯函數”的小論文或學習心得。

設計意圖：課堂小結是微專題課的點晴之筆，讓知識和方法顆粒歸倉，將數學知識結構化、網絡化，搭建了知識之間聯系的橋梁。反思和總結是學習的延伸，波利亞曾指出，數學問題的解決僅只是一半，更重要的是解題之后的反思。

反思五：在微專題教學設計中，應突出師生交流活動的開展，體現學生的課堂主體地位，引領學生進行思維的碰撞、深度地思考.與學生一起探求解決問題的一般流程和固化模式，讓學生的學習具有可操作性，使學生通過個體的思考、探究、交流，領悟自己的數學學習之道.高斯函數問題的學習不會因為本微專題的結束而終止，隨著后繼學習的深入，可以在適當的時間安排微專題繼續研究高斯函數有關問題。

5.鞏固所學，反思升華

（一）必做題：

【答案：B】

2.已知x∈R，符號[x]表示不超過x的最大整數。若函數，其中m∈，則給出以下四個結論其中正確的是（ ）。

A.函數f（x）在（m+1，+∞）上的值域為

B.函數f（x）圖象關于直線x=m對稱

C.函數f（x）在（m，+∞）是減函數

D.函數f（x）在（m+1，+∞）上的最小值為

【答案：A】

設計意圖：分層作業緊扣本節微專題的教學目標，是課堂的延續，既讓多數學生吃得飽，又可以讓少數學生吃得好.通過課后作業的加強，內化應用數學知識解決問題的能力，有助于學生深度學習，培養學生思維的深刻性。

反思六：課后作業是課堂學習的延伸環節，微專題中作業的設計應注意與課堂所學知識與方法的銜接;微專題的課堂教學實施后，還需要教師及時了解學生的學習掌握情況并進行反饋，以達到教學的預期效果。

三、教學反思

如果說高中數學教學是一項系統工程，那么微專題教學是關鍵建筑。本節課的設計力爭體現微專題教學設計特點，注重精準施策，高效課堂，體現當今教學增效，減負的理念。

本節課意在對高一階段性所學知識的總結、提升，在新定義下如何運用知識更好地解決問題。學生的學習基礎有別，存在差異，在有限的40分鐘內讓每位同學有不同的收獲，成為本節微專題設計的出發點。數學歷史背景的呈現，數學圖形的美育功能讓學生有一種親近數學的沖動，便于喚醒已有的數學知識記憶，激發學習熱情。通過簡單運用，初步理解高斯函數這個新定義，為后繼變式應用打下良好的基礎。后三個例子的呈現，讓本節微專題學習由淺入深，符合分層教學，因材施教的理念，打開了思維天窗，有效培養數學核心素養，體現數學的育人功能。

在微專題的設計過程中筆者認為應處理好幾個關鍵點：一是要關注對所學知識的整合串聯，引導學生建立縝密的知識網絡;二是要注重問題鏈的設置，讓學生進入學習重點地帶，努力提高課堂效率;三是力求提高學生的元認知能力，切實發揮“微專題”以小見大的輻射作用;四是要了解學生切實的需要，根據高考的命題趨勢，選定微專題課題與內容。

總之，微專題的教學設計應讓學生的學習走出困惑，走進釋然，促使高效學習，精準提升;微專題的例題呈現要直擊要害，難度適中;微專題的教學實施要固化解題模式，有效解決學習痛點和命題熱點。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.《普通高中數學課程標準》（2017版2020年修訂）。

[2]文貴雙. 高斯函數[x]性質及其應用. 數理化解題研究. 2021（04）. 51-53.