問題解決學習在數學建模教學中的實踐

摘要：基于核心素養導向的數學建模教學強調“情境”與“知識”應服務于“現實問題”的提出與解決。在數學建模教學中創設現實情境，采取問題解決學習，引導學生在應用數學理論性知識解決真實問題的過程中，通過自主學習、合作探究習得程序性知識和過程性知識，培養對數學建模過程的整體認識，協調發展數學核心素養。

關鍵詞：問題解決學習? 數學建模教學? 核心素養

引用格式：侯寶坤.問題解決學習在數學建模教學中的實踐[J].教學與管理，2022（01）：45-47.

問題解決學習（problem-based learning，PBL）旨在解決教學與學生面臨的真實情境和復雜問題相脫節的問題[1]。PBL著意于用現實環境下真實的、有意義的問題，培養學習者學會尋找隱藏于情境中的問題，學到問題背后所涉及的知識、方法，收獲問題解決的策略和學科思想，獲得用學科方法解決問題的能力。《普通高中數學課程標準（2017年版）》提倡將數學問題置于一定的真實情境中，特別是數學建模核心素養的提出和數學建模教學的開展，已將學生數學知識的學習過程發展為問題解決過程，使數學學習成為個人研究、同伴協同、集體創新的過程，同時也成為學生評判性思維、創新思維不斷成長的過程[2]。在數學建模教學中實施PBL模式，從問題的情境設置，問題的發現、提出、解決到解決后的反思、拓展，都能有效落實數學核心素養的綜合培養。學生不僅要掌握陳述性知識，更需要程序性知識和過程性知識主動參與，既要清楚“要什么知識”，更要清楚知識“從哪里想起”“怎么想”“為什么這么想”“如何修改”等[3]。

一、數學建模教學目標的確定

數學建模問題情境來自真實生活，需要依據現實呈現的現象進行數學原理探析，建立數學模型分析、解決實際問題，并評價建模方案，根據現實環境的變化解釋各變量的功能，或者修正模型。數學建模教學通常需要呈現問題發現、提出、分析、解決的全過程，問題中通常存在多個相互關聯的變量，分別連接真實問題的各種控制要素，也反映模型的不同變化視角。數學建模學習的每個過程都承擔著各自的學習目標和能力培養任務，教學中應當依據各個角度的任務特征設計相應的學習目標與評價重點，在建模的過程中引導學生學習如何解決現實問題（見表1）。

二、教學問題的設置

PBL中的問題是觸動學生學習的擊發點，是學習活動的脈絡。問題設置要有利于不同層次學生的參與，要有較為明確的指向，能引領學生思考。建模教學中教師要充分利用真實問題情境，用啟發性語言、發散性提問引導學生自主發現問題。如用“遇到突然下雨，怎樣做才能減少淋雨”激起學生對這個熟悉問題的重新關注，引發學生的探究興趣。再針對問題設計實驗，收集數據，做出有依據的數學假設，建立模型對現象與結果用數學的手段進行比較、分析、推理和解釋。如此就會在數學建模過程中開啟一系列的問題解決學習。教師可以依據建模的一般流程設計主問題線和相應的子問題群（如圖1），其中每個主問題的解決對應一個建模階段，每個主問題下有一個問題群細化主問題的方向。

三、以問題鏈展開的教學實踐

在數學建模教學實施中，需要結合問題情境、內容對每個階段的問題群進一步細化操作，通過問題鏈的形式逐步展開教學活動。以問題鏈驅動學生深度學習、深入思考、主動探究，逐步完成建模與解模，在學習的過程中體驗數學建模的基本思維方式。下面結合滬教版必修4的“雨中行”案例，梗概地展現問題鏈推進建模教學的流程[4]。

1.問題的發現

人對事物的感知通常是從表象開始的，表現明顯的現象最先為人們所關注、認識，不明顯的現象往往不易被人們發現，需要從細節、微觀因素上去追問，才能引起大家的共鳴。

教學中教師引導學生按照“情境-現象-功能”的思維線路發現和提出問題，教師以問題鏈引導，逐步鋪開教學。首先以具有較強的開放性、作答視角豐富的“起點問題”，如“情境中正在發生什么事？你有哪些細節性發現？”引起關注，觸發學生思考。然后再以“這樣做的目的是什么？淋雨多少跟哪些因素有關？”等“聚攏性問題”對學生的發散式回答做總結，逐步突出問題的關鍵特征——淋雨量及其主要影響因素。根據學生的回答程度還需要做相應的追問：“還有哪些現象、要素？”“你是怎么得到結論的？”如此來引導學生多視角分析問題情境，搭建思維框架，由表及里深入思考現象產生的內部原因，培養學生分析問題的能力，為自主建模打下堅實基礎。

2.核心概念及影響要素的定性分析

學生對問題有了初步認識，對現象進行適當聚攏之后，教師繼續以“提煉性問題”，如“淋雨程度可以用什么量來表達？它與什么要素有關，影響如何？”將學生的前期聚攏對象進行提煉、深化，提出有關全局的核心概念或問題，并定性建立要素與概念、問題的依賴關系，為后續精確的數學描繪做好準備;以“哪些是變化的量，哪些是不變的量？”的“具象化問題”突出要素的具體功能，加強要素與核心概念的關聯，以及變量、常量的識別，為精確的數量關系做好鋪墊。為了便于發現核心概念，抓住各要素的功能，可以通過表格的方式將現象及其效果外顯化，以便建立可靠猜想，形成準確模型（見表2）。

從多個宏觀現象到對應微觀因素，思維跳躍較大，學生可能出現“不會找、找不全”的情況，須從簡單問題入手，發動學生討論探究，在爭論中統一思想、深刻認識，通過問題鏈的連貫發展、縱深推進，促進學生思維在發散中聚攏，提出能反映實際問題本質特征的核心概念或問題，發展學生善于歸納、敢于猜想、精于推理、適度抽象的數學核心素養。為了提高學生提出問題的能力，有必要總結出行之有效的流程圖（如圖2）。先從情境各種現象尋找關聯點，提取共同關注的目標，從而提煉、界定出需要研究的問題，然后根據問題確定其主要表征對象，最后再結合現象關聯確定研究對象的各個要素成分，對實際問題形成整體化的綜合認知，完成問題的提出。

3.定量數學模型的建立與解決

實際問題的復雜性體現在多變量的動態變化上，怎樣建立適當的數學模型是教學難點。首先對各要素符號化來體現一般性和數學特征，再根據前期分析的各要素的效果，以“關系化問題”，如“你能求出受雨面積、單位時間淋雨量，進而得到總淋雨量嗎？”引領學生分析核心概念的數量特征，得出相應的數學表達式。以“反思性問題”，如“跑得快，淋雨量就一定少嗎？”和“敏感性分析問題”，如“對T的影響的效果誰更明顯？”加深學生對各要素的功能的數學化分析，體會控制變量研究多變量問題的基本思路。對于純數學難以模擬或解決的建模問題，可以通過實驗采集數據進行必要的智能計算模擬，并對猜測做相應的回歸分析、信度檢測等提高模型的可信度。

教師可以借助圖示顯化分析的思維模型和操作程序，幫助學生完成數學模型的建立與解決。圖3是以核心概念、問題為中心的思維模型，先依據實際情境中各種現象的表現，討論、預測各要素及其影響的可能性，再借助實驗、數據、理論分析提煉出關聯廣泛的核心概念或問題，最后針對待解決的實際問題選取分析角度，討論、研究核心概念或問題。圖4則更清晰地呈現了實際問題中模型建立與研究的操作程序。

4.模型的預測與改進

數學建模以解決實際問題為目標，突出數學知識的應用性。建立模型經常需要猜測、估計、剔除次要因素、模型簡化等過程，這些過程的積累都有可能影響模型的精確度。可以用“應用性問題”，如“根據淋雨量公式，你能舉例分析一個‘雨中行’問題嗎？”來檢驗模型的準確性，發揮模型對同類問題的預測作用。有時被理想化的次要因素（如風速）當情境變化后功能會凸顯，這時以“拓展性問題”，如“在風雨交加時刻，你能對風速、風向對總淋雨量的影響做出分析嗎？”促進學生對原模型進行新的詮釋或做必要的修正。還可以用“挑戰性問題”，如“如何打傘可以使總淋雨量最小？”增加影響要素，發散學生的思維。

問題解決學習模式的建模教學，將知識、問題、數學核心素養緊密聯系起來，通過有梯度的問題群、問題鏈圍繞主問題系統性地展開教學，實現數學核心素養的綜合培育（如圖5）。

學生作為建模行動的主動者，在問題提出、獲取模型階段更多地發揮程序性知識的認知策略，主動完成新知識的建構;在解模的過程中，更多地依賴所掌握的陳述性知識和智慧技能完成模型的數學探究;對模型的評價、拓展則主要依賴元認知的主動監控自覺實現。在整個建模活動中，不斷伴隨個人的知識體驗、思想領悟等過程性知識，它們是學會自主建模的關鍵知識，三種知識交織應用，推動了建模的順利發展。學生在問題解決中經歷了知識的發散、聚攏、批判、創新等思維活動，形成數學建模觀念，體驗探究過程。經歷多角度發現、提出、分析及解決問題的過程，有助于學生形成多維、擴散的知識結構。在問題解決學習中有效落實“問題驅動教學”“問題發展思維”“問題拓展知識”，推進核心素養的有效培育。

參考文獻

[1] Barrow.Problem-based learning in medicine and beyond：A brief overview[J].New Directions for Teaching and Learning，1996（68）：3-11.

[2] 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018：5-6.

[3] 喻平.數學教育心理學[M].南寧：廣西教育出版社，2015：60-68.

[4] 李大潛，王建磐.普通高中教科書數學必修第四冊[M].上海：上海教育出版社，2020：20-25.