論整合思想在高中數學中教學的應用探究*

廣東省廣州市第四十一中學(510250) 謝衛煌

1 整合課程教學目標,謀求學生真實學習

教學目標對課堂這艘航船將要駛向何方? 學生將要達成什么樣的生成效果, 并且達成意料中甚至更好的教學效果,起著決定性的作用.應該說,教學目標的確立已經引起越來越多業內人士的重視,但是,我也非常遺憾地見到,許多地方、許多課堂的教學目標仍然是那種普通的“三維目標”,教條而規范,簡單而生硬,寬泛而空洞,這樣目標的確立適用于任何一個課堂,適用于任何一個層次的學生,適用于任何一種版本的教材,那還有什么針對性呢?

教學目標是關于教學將使學生發生何種變化的確定的表述,指在教學組織中期待學生獲得怎樣的學習結果.目標的實現是在教學環境中提供特定的刺激,以引起學生特定的反應.斯金納提出“教學就是如何安排可能發生強化的事件以促進學習”.于是教學目標設定要為學生創設對特定教學刺激做出學習反應的機會,在學生做出反應后應及時給與反饋.因此,教學目標設定得越具體、越精確越好,這既有利于教師對教學環境創設的把握,同時也保證了學生準確的獲得相關學習信息[1].正如波利亞指出的那樣: 目標啟示著手段,對目標的考慮可能會啟發找到一個途徑,即問題就會一個接著一個找出來.

目標是教學活動中預期達到的效果,是課堂的靈魂.例如“橢圓及其標準方程”學習目標案例:

(1)了解橢圓的定義,識別橢圓圖像的特征.經歷從具體情境中抽象出橢圓模型的過程(如2019年10月5日衛星發射成功);探究抽象出橢圓定義,并用數學語言予以表征,促進數學抽象素養的發展;

(2)了解橢圓標準方程的推導過程,掌握橢圓兩種標準方程表示形式,會根據條件求出橢圓的標準方程.探究運算思路,感悟選擇“適合”的坐標系的意義和價值,培養數學運算素養;掌握標準方程的兩種形式,進一步體會解析法研究幾何問題的思維過程;

(3)理解參數a,b,c三者之間的關系及幾何意義,掌握用待定系數法求橢圓的標準方程,會根據已知條件求橢圓的標準方程,解決一些簡單的實際問題;

(4)題組訓練,感受在不同條件下數學轉化的意義,并體會數形結合思想.

一般來講,教學目標的設計,一定要體現以下幾個基本要素: 目標具體準確,容易操作;具有層次性和可測量性;注重生成什么知識,怎樣生成知識,不僅有清晰的指向,更有清晰的路徑.

2 整合目標落實情境,促進學習有效生成

從古到今,人們在不斷探索教學過程中主體和客體處于什么樣的情況下,學生掌握知識最有效、落實目標最有效,一線教師也總在試圖尋求一種比較理想的目標達成方式.

數學教師應該在合理的教學過程中引導和幫助學生學會數學地、自然地提出問題、解決問題、拓展問題,在潛移默化中優化學生的思維品質.教學中會經常遇到這類問題: 學生已經聽懂一個問題但卻不能獨立自主地解決類似的問題.究其原因,主要不外乎兩點,一是學生沒有真正地認識和把握問題的本質, 只是停留在能夠接受和表面理解的水平上;二是學生對問題解決方法的自然性、合理性缺乏足夠的感受和認識,導致所學的知識難以遷移并且容易遺忘[2].所以,在課堂教學中, 要讓學生在已有認知基礎上引入觀念性知識,并且讓學生感知知識的自然發生,并經歷發現問題、解決問題的過程,掌握解決問題的本質方法.所以,在這種課堂中,我覺得教師固然是主體地位,學生也是主體地位,只是這種課堂更加強調教師通過精心的教學設計,引領學生實現“知識的生成”,這就是所謂的“講授課”.

《普通高中數學課程標準》提倡自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學等學習方式,不斷地經歷直觀感知、觀察發現、歸納類比、空間想象、抽象概括、符號表示、運算求解、演繹證明、反思建構等思維過程.除接受學習外,動手實踐、自主探索與合作交流同樣是學習數學的重要方式.這個時候,更是學生的主體生成過程,通過教師主導的教學活動和學生主動的學習、探究等活動的相互作用,使學生在知識獲取、能力發展、價值觀形成等方面得到有效促進.

在實際教學中,教師應該抓住學生認知知識的規律,根據具體的教學內容,設計不同的教學模式,發揮學生與教師不同的地位與作用,一切從目標落實出發,創設學生目標有效達成、知識有效生成的情境.

3 整合數學知識主干,明細知識發生脈絡

高中數學新教材已經在2020年9月正式使用,我們可以看到,新教材在知識主干方面進行了不少的整合.

例如,以往一線教師一直主張初高中銜接應該滲透一元二次函數、方程與不等式問題,雖然教材沒有這方面的內容,但是教師們都會花一周左右的課時補充這個內容,值得欣慰的是,新教材中已經補充了這個內容,并且和基本不等式整合在一起,通過這樣的整合,兩個本來聯系緊密的內容互相滲透,融合建構,使整個教材更加系統,更加科學,給教學帶來省時、高效的作用.又如,“常用邏輯用語”內容,也與“集合”內容整合到一起.再有一個典型的例子: 在舊教材中,關于“統計案例”與“統計”的教學,由于必、選內容分開,給一線教師帶來不少困惑:

首先,知識的關聯度高,特別是回歸分析部分,但是分成了兩個時段去學習,導致知識缺乏系統性,在學習選修2-3 時不得不重復必修3 的內容.一些概念如“樣本點的中心”在介紹線性回歸方程的時候就應該學,卻放在了后面.

其次,在學習必修三的“線性回歸分析”時,學生對所作的散點圖有不一定是線性的感覺,急切想知道怎么分辨、哪個更好、以及如果不是線性的情況的一些解決方法,但是教材內容沒有延伸,直到選修2-3 時再涉及.

第三、“獨立性檢驗”由于要用到隨機變量K2的分布列,放在選修2-3 最后學習比較自然,但“回歸分析”這一塊就顯得比較突兀,它所用到的“轉化與化歸的思想”要求比較高,太早學習,學生的理解能力有限.

鑒于此,我們對統計知識主干進行如下整合,先突出線性回歸模型,強調用線性回歸方程擬合兩個變量關系的一般步驟:

作散點圖,判斷散點是否在一條直線附近; 若散點分布在一條直線附近(即線性相關),則用回歸方程的系數公式求出a,b的值;寫出線性回歸方程.

再針對學生對非線性的疑問,把選修2-3 的有關內容補充上來,即隨機誤差、殘差、相關系數.給學生建構整個回歸分析模型的方法思路: 非線性→線性→非線性,有利于學生對整個回歸模型的認識與理解, 更好地培養學生數學建模、數據分析等數學核心思想.

關于高中數學知識主干的整合,不僅在大單元中應該引入整合思想,積極對知識主干進行改造與重組,在具體到某一節或者小單元甚至課時任務的教學中同樣應該進行經驗的改造與重組.

對于數學教學來說,我們應該用教材教,而不是教教材,這一點,對于任何一個教師來說都是必須遵循的.因為數學教材的編寫者一般采用學生易于理解、便于接受的方式呈現知識,即所用材料都是經過教育心理學理論加工而成的: 省去了知識的形成過程,問題的條件與結論都是經過抽象、理想化形成的,推理無疑也是正確的[3].從數學知識發生發展的歷史來看,我們很需要對教材的每一章、每一節進行重新的改組或整合,從注重“知識的生成”角度下苦功夫,才能讓學生學得深刻,學得透徹,學得歷久彌新.

4 整合知識生長情境,提升學生轉化能力

“情境”在新高考評價體系中,具有突出重要的位置,正確理解“情境”概念,準確判斷試題所設置的情境,對于正確理解試題,準確答題,具有重要作用.近幾年,全國高考數學題中不僅連續出現了以“情境”為載體的考題,而且越來越受到重視.一線教學中,也正在引起教師們的廣泛實踐,應該說“情境教學”已成為培養學生綜合、應用、創新能力的重要載體,也是高考增分、提分的重要突破口.

而實際上,在教學中存在著重外在情境啟發,輕內在的情境啟發.

例如,已知函數f(x)=(x-1)ex,

(1)求f(x)的單調區間;

(2)當m ＞n ＞0 時,證明nem+m ＞men+n.

其中第(1)問源于學習再現情境,重點考查函數單調區間、導數在研究函數單調性中的應用等必備知識,在基礎性的層次上考查數學運算求解能力.

第(2)問所選取的情境材料源于“導數在研究函數中的應用”的課程練習.因為運用導數研究函數的單調性與求解目標之間關聯不明顯,所以,所創設的試題情境屬于內在遷移情境.學生的情境活動整體依賴于情境材料的把握: 在函數的背景下,將不等式等價轉化為進一步聯系到函數g(x) =在(0,+∞)上單調性.這樣的情境活動清晰地表明,在教學中,應該尤其重視內在的情境啟發,見樹更見森林.第(2)問在綜合性與創造性的層次上考查了數學建模、數學運算、數學抽象等學科素養,考查了理性思維、數學應用、數學探究、創新實踐等關鍵能力[4].

5 整合數學語言的表征形態,訓練學生學習的遷移能力

加涅認為,學習的遷移是指一種學習對另一種學習的影響,或習得的經驗對其他活動的影響.遷移現象在數學學習中是普遍存在的,數學學習的遷移理論對教師有效地進行數學教學起著理論指導作用,而檢驗學生是否掌握了數學知識,就看是否能利用所學知識解決數學問題或生活實際問題;是否可以歸納或概括所學的知識間的聯系;是否可以將已掌握的數學知識進行改組來形成新的數學知識解決新的數學問題.數學學習的遷移受很多因素的影響,特別是學習材料的相似性.在進行新的學習時,可通過尋找舊知與新知之間的聯系,找到共同因素,共同因素越多相似性越大,就越利于遷移[5].

波利亞《怎樣解題》這本書告訴我們,當遇到一個新問題時,回憶以前學習過的相關題目的知識、解題方法和解題技巧并對其進行適當的遷移, 用于找到現有問題的解決方案[6].如果不進行遷移,即使掌握了基本知識與基本技能,也不能說掌握了數學學習的全部內容.

在“指對數函數關系”課例的教學中,教師提出,前面我們學習了指數函數和對數函數,學習完一些知識后,我們要養成一個習慣,就是能不能把這些知識橫向聯系起來.從聯系的角度看,你覺得我們今天應該研究什么? 研究二者的關系該如何入手? 你手頭有哪些工具或材料? 你打算如何入手研究? 你如何思考? 從定義和性質出發研究是值得重視的思路,是否考慮過其他的研究思路? 是否還有其他想法?[7]等等,這實際上是一種語言的藝術形態,通過語言的疏通,讓學生找到學習的目標,去主動發現學習中的問題,養成善于思考的好習慣.

如何讓學生學得有興趣,并最終從數學學習中有獲得感與幸福感? 首先應該把教學看成一門藝術,而激發學生興趣,調動學生積極性,引發學生的數學思考,鼓勵學生的創造性思維,注重培養學生良好的數學學習習慣,使學生掌握恰當的數學學習方法,這才是我們師者在教學中應該著重追求的.只有這樣,數學課堂才能靈動起來.立足教材內容,立足學生學情,充分運用整合思想,積極對已有經驗進行重組或改造,教學才有生命力,數學教學才有生命力.