高考數學三類情境下的試題評析及教學建議
——以2020年高考數學試題為例

四川省成都市玉林中學(610041) 劉太濤 鄭傳遠

1 情境的認識

情境是高考實現價值引領、素養導向、能力為重、知識為基的綜合考查的載體.2020年高考數學情境試題設計上遵循了真實性、公平性、一致性、簡潔性的原則,取材上真實、貼近生活、富有濃厚的文化底蘊、反映當下熱點問題、彰顯了數學育人價值.

2020年高考數學試題的命制依然是注重對學生數學學科核心素養的考查,而選擇合適的問題情境是考查數學學科核心素養的重要載體.因此,情境是高考試題命制的核心要素,對測試學生信息提取能力,理論遷移能力,學生數學素養以及對數學教學引導等方面具有重要的應用價值.

2 2020年高考數學情境試題評析

2.1 現實情境

數學源于現實世界,數學是對現實世界中的數量關系和空間形式的抽象.離開現實世界,數學便失去了育人的價值,現實世界中的生產關系,社會活動等都可以為數學創造出豐富的題材,高考現實情境問題也更能讓學生感受到真實,激發學生研究的興趣,由現實世界到數學問題,本質上就是培養學生數學抽象和數學建模核心素養.

例1(2020年全國新高考I 卷第15 題)

某中學開展勞動實習,學生加工制作零件,零件的界面如圖所示,O為圓孔及輪廓圓弧AB所在圓的圓心,A是圓弧AB與直線BC的切點,四邊形DEFG為矩形,BC⊥DG, 垂足為C, tan ∠ODC=BH//DG,EF= 12cm,DE= 2c m,A到直線DE和EF的距離均為7cm,圓孔半徑為1cm,則圖中陰影部分面積為____.

評析: 本題以開展勞動實習,學生加工制作零件為情境,背景真實可信,取材貼近生活,充分彰顯了立德樹人的教育理念.學生加工制作零件旨在培養學生的勞動意識和勞動能力,引導學生關注勞動、尊重勞動、參加勞動、學會勞動,樹立勞動光榮的思想.本題屬于解三角形問題,求解過程培養了學生直觀想象、邏輯推理、數學運算等核心素養, 答案為

同樣,2020年全國Ⅱ卷理科14 題考查了當下宣傳的垃圾分類的問題,旨在培養學生形成垃圾分類的意識,引導學生主動參與垃圾分類,共建文明城市.

2.2 數學情境

2.2.1 數學審美情境

《普通高中數學課程標準》(2017年版)指出: 學會審美不僅可以陶冶情操,而且能夠改善思維品質.數學以其圖形的對稱美,符號的簡單美,理論的統一美,邏輯的和諧美,激發了學生對美的追求與向往.美育本就是讓學生感受美、發現美、欣賞美,以美修身,以美促思的過程.

例2(2020年全國Ⅱ卷文科第3 題)

如圖,將鋼琴上的12 個鍵依次記為a1,a2,...,a12.設1 ≤i ＜j ＜k≤12.若k - j= 3 且j - i= 4, 則稱ai,aj,ak為原位大三和弦;若k-j= 4 且j -i= 3,則稱ai,aj,ak為原位小三和弦.用這12 個鍵可以構成的原位大三和弦與原位小三和弦的個數之和為( )

A.5 B.8 C.10 D.15

評析: 本題一出現,便引起了熱議,音樂的要素——音高、音響、音色、節拍、樂音、等都與數學相關,特別是音的律制與數學的關系十分密切.該題以音樂為情境,引導學生更加理性的理解音樂,鑒賞音樂的美,提升有志于從事音樂事業學生的數學修養,增強理性思維能力.本題根據題意可知,原位大三和弦滿足:k-j= 3,j -i= 4,∴i= 1,j= 5,k= 8;i= 2,j= 6,k= 9;i= 3,j= 7,k= 10;i= 4,j= 8,k=11;i= 5,j= 9,k= 12, 原位小三和弦滿足:k -j= 4,j -i= 3, ∴i= 1,j= 4,k= 8;i= 2,j= 5,k= 9;i=3,j= 6,k= 10,i= 4,j= 7,k= 11;i= 5,j= 8,k= 12,故個數之和為10,故選C.

該題對于有音樂經驗的同學特別是學習過鋼琴的同學,憑經驗很容易選出答案,進而提升了這類學生繼續從事音樂事業的信心,對于沒有音樂經驗的同學,通過簡單的分類討論,也可以很容易選出答案,該題也充分考查了學生數學閱讀能力、信息提取能力、數學應用能力以及學生邏輯推理、數學原酸等核心素養.

無獨有偶,2020年全國I 卷文理第3 題考查的古代世界建筑奇跡之一的埃及胡夫金字塔,形狀可視為一個正四棱錐,全國Ⅱ卷理科第4 題考查的古代祭天的場所北京天壇的圜丘壇,這些建筑藝術體現在數學上的對稱美,進一步提升了學生感受美,發現美,欣賞美的審美情趣,這也對引導教師將美育融入數學課堂有積極意義.

2.2.2 數學史情境

《新課標》指出,數學承載思想和文化,是人類文明的重要組成部分.讓學生了解中國古代數學成就,能夠增強學生的民族自豪感與民族自信心,激發愛國情感,真正落實立德樹人的根本任務.

例3(2020年全國新高考I 卷第4 題)

日晷是中國古代用來測量時間的儀器,利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來測定時間.把地球看成一個球(球心記為O),地球上一點A的維度是指OA與地球赤道所在平面所成角,點A處的水平面是指過點A且與OA垂直的平面,在點A處放置一個日晷,若晷面與赤道所在平面平行,點A處的維度為北緯40°,則晷針與點A處的水平面所成角為( )

A.20°B.40°C.50°D.90°

評析:日晷的早期歷史尚不清楚,最早的可靠記載是《隋書·天文志》中提到的袁充于隋開皇十四年(594)發明的短影平儀(即地平日晷).該題通過介紹日晷,對學生進行數學文化教育和愛國主義教育,進而增強民族自信心;該題考查學生將生活的實物圖形通過信息提取還原成數學幾何圖形的思維過程,進而學生想圖、畫圖、用圖等空間想象能力解決問題,發展了學生的直觀想象、邏輯推理和數學運算等核心素養.

2.2.3 數學問題情境

數學問題情境主要是以數學知識為載體, 考查學生的“四基”、“四能”.

例4(2020年全國Ш 卷理科第16 題)

It can be easily calculated NLR or CRP-to-albumin ratio from routine blood tests. The systemic inflammation-based markers can be useful tool to predict the outcome in patients with PC.

關于函數f(x)=sinx+有如下四個命題:

①f(x)的圖像關于y軸對稱.

②f(x)的圖像關于原點對稱.

③f(x)的圖像關于直線x=對稱.

④f(x)的最小值為2.

其中所有真命題的序號是____.

評析: 本題屬于準多選題,以三角函數為背景,但又不同于平時練習的三角函數題型,該題以類似“雙勾函數”的類型構造,情境新穎,首先明確函數定義域為{x|x/=kπ,k ∈Z},關于原點對稱,這也是多數學生會忽略的,其次尋找f(x)與f(-x)之間的關系就可以很容易判斷是該函數為奇函數,故命題②正確,對于命題③,劃歸到函數關于某條直線對稱的本質上,即驗證是否等于便可明確命題③正確與否,通過驗證,命題③是正確的;對于命題④,學生很容易聯想到基本不等式,直接運用基本不等式認為命題④是正確的,這是很多學生容易出現的錯誤,對于基本不等式使用的原則是“一正二定三相等”,當-π ＜x ＜0 時,sinx ＜0,此時f(x)=sinx+＜0＜2,故正確的命題只有②③.

該題設計背景新穎,考查函數定義域、奇偶性、對稱性的本質以及基本不等式的使用條件等非常到位,問題解決過程中考查了數形結合思想,劃歸思想,培養了學生的數學抽象、邏輯推理、數學運算等核心素養.

2.3 科學情境

自然科學的發展依賴于數學.而數學的發展又推動自然科學的發展,數學的發展也有賴于自然科學給數學提出的新問題和新挑戰.數學已經滲透到各門學科,如物理、化學、生物學、經濟學、流行病學、信息學等學科.因此,創設恰當的科學情境,有利于加強各學科之間的聯系,提升學生的核心素養.

2.3.1 信息技術情境

隨著時代的發展,計算機已經普及,國家正進入信息化時代,數學為信息技術的發展提供了強有力的支持,信息技術又促進了數學的進一步發展.

例5(2020年全國Ⅱ卷理科第12 題)

0-1 周期序列在通信技術中有著重要應用, 若序列a1a2...an...滿足ai ∈{0,1}(i= 1,2,...), 且存在正整數m, 使得ai+m=ai(i= 1,2,...) 成立, 則稱其為0-1周期序列, 并滿足ai+m=ai(i= 1,2,...) 的最小正整數m為這個序列的周期, 對于周期為m的0-1 序列a1a2,...,an...,C(k) =是描述其性質的重要指標,下列周期為5 的0-1 的序列中,滿足C(k)≤的序列是( )

A.11010...B.11011...C.10001...D.11001...

評析: 該題以信息技術為情境, 信息量大, 對學生數學閱讀能力以及信息提取能力的要求高, 通過對該題題干的分析, 結合選項, 很容易驗證A 選項:C(2) =故A 選項不符合題意;B 選項:C(1) =×(1+0+0+1+1) =故B 選項不符合題意;D 選項:C(1)=×(1+0+0+0+1)=故D 選項不符合題意,故選C.通過該題求解過程的分析,解決問題的過程比較簡單,難點依然是信息的提取與整合,問題解決過程中重點發展了學生數學抽象、數學建模、邏輯推理、數學運算的核心素養,是一道很好的題目.

2.3.2 生物情境

生物實驗情境,將數學與生物學聯系起來,具有啟發學生思考和聯系數學知識在生物中的廣泛應用的作用.

例6(2020年全國I 卷理科第5 題)

某校一個課外學習小組為研究某作物種子的發芽率y和溫度x(單位:°C)的關系,在20 個不同的溫度條件下進行種子發芽實驗,由實驗數據得到下面的散點圖:

由此散點圖,在10°C 至40°C 之間,下面四個回歸方程類型中最適宜作為發芽率y和溫度x的回歸方程類型的是( )

A.y=a+bxB.y=a+bx2

C.y=a+bexD.y=a+blnx

評析: 該題以種子發芽率和溫度的關系為情境,將數學與生物學很好的結合在一起,激發了學生對于跨學科的研究興趣,啟發學生思考和聯系數學知識在生物中的廣泛應用的作用,該題屬于基礎題,根據圖像,由于散點圖不分布在某條直線附近,又由于散點圖呈增長趨勢,且增長趨勢逐漸變緩,故選D.該題較好的培養了學生邏輯推理,直觀想象核心素養.

2.3.3 流行病學

流行病學是研究特定人群中疾病、健康狀況的分布及其決定因素,并研究防治疾病及促進健康的策略和措施的科學.數學與流行病學的結合,能夠啟發學生思考和聯系數學在研究某類疾病中的應用,幫助有志于從事醫學方面的學生能夠理性的利用數學研究醫學問題.

例7((2020年全國Ш 卷理科第4 題))

Logistic 模型是常用數學模型之一, 可應用于流行病學領域, 有學者根據公布數據建立了某地區新冠肺炎累計確診病例數I(t)(t的單位: 天) 的Logistic 模型:I(t) =其中K為的最大確診病例數.當I(t*) = 0.95K時, 標志著已初步遏制疫情, 則t*約為(ln 19≈3)( )

A.60 B.63 C.66 D.69

評析: 該題以當下正遭遇的新冠肺炎為情境,背景符合學生真實生活,反映當下時代熱點問題,以Logistic 模型,讓學生明白新冠肺炎的從產生到遏制的一個過程,對于有志于從事醫學方面的學生,啟發他們理性利用數學知識研究醫學問題的方式和方法,問題的解決體現了數學的轉化、劃歸思想,培養了學生的邏輯推理、數學運算素養,答案選C.

3 教學建議

2020年高考數學試題的情境的設計, 具有素材選擇面寬、貼近生活實際、背景公平新穎、時代氣息濃郁、富有濃厚的文化底蘊,敘述簡潔準確、導向意圖明顯、社會反響熱烈、彰顯育人價值等特點,表現出高超的命題智慧,全面體現《新課標》對“情境設計”與“情境考查”的要求,受到社會廣泛好評.

面對三類情境下的高考試題,凸顯出對學生數學閱讀能力,信息提取能力、理論遷移能力、模型建構能力的較高要求,同樣給我們一線教師的教學有以下幾點教學啟示: 一是教師應熟悉《新課標》對“情境”教學與測試的相關要求;二是教師應加大數學“情境”教學的理論學習與教學實踐;三是教會學生“數學式閱讀”,提高對有效信息的提取能力;四是在新課的講解和習題的訓練中,將情境試題融入到課堂中去,讓學生積累解決情境新穎問題的經驗.