完美圖形中的向量

江西南昌蓮塘第二中學(330200) 唐水華

主題詞 考點;平面幾何圖形;向量標化

平面向量的基本定理及在此基礎上建立起來的平面向量的坐標表示是向量線性運算的根基,大多數同學都能很好地識記和理解平面向量的基本定理及基坐標表示.但在具體運用上往往就不盡人意.下面就有關平面幾何圖形與圓、圓錐曲線完美結合中的向量問題與大家分享一下,因為班門弄斧初創原題,不當之處在所難免,本來也是為了拋磚引玉!

【引例】 如圖1 , 圓O是邊長為的等邊三角形ABC的內切圓,其與BC邊相切于點D,點M為圓上任意一點,則2x+y的最大值為( )

圖1

圖2

【學生錯解】

雖然上述解法似乎對平面向量基本定理的理解深刻,也對平面幾何圖形的知識掌握的蠻好, 但還是解答的不正確.事實上,當且僅當點M運動至AC中點F時,2x+y取得最大值2, 此題解錯的原因在于x,y不能同時取得最大值

那么這個試題該如何才能較好地解析得更好,解答得條理清晰呢? 實際上,利用在平面向量基本定理基礎上建立起來的平面向量坐標表示方法——坐標法,不妨為一種有效選擇.

【分析】建立坐標系,寫出相應的點坐標,得到2x+y的表達式,進而得到最大值.

【解析】以D點為原點,BC所在直線為x軸,AD所在直線為y軸,建立坐標系,如圖3 所示.

因為圓O是邊長為的等邊三角形ABC的內切圓, 因此|AD|= 3, 因為因此|OD|=1, 即內切圓的半徑為1, 以(0,1) 為圓心, 可得到點的坐標為:A(0,3),D(0,0),M(cosθ,1 + sinθ), 因此得到:即:因此最大值為2.故答案為: D.

圖3

【評價】這個題目本質上是考查向量標化以及參數方程的應用,是以向量為載體求相關變量的取值范圍,是向量與函數、不等式、三角函數等相結合的一類綜合問題.通過向量的運算,將問題轉化為解不等式或求函數值域,是解決這類問題的一般方法.

【例題1】如圖4 所示,圓O是邊長為的等邊三角形ABC的外接圓,點M為圓弧AC上任意一點(含A、C兩點),且的最大值為( )

【分析】 從所給圖像來看, 是標準的圖形, 易于建立平面直角坐標系, 借助坐標法, 寫出相應各點坐標而得到的表達式,進而可以求得其最值.

圖4

圖5

【解析】取BC中點D,以D點為原點,BC所在直線為x軸,AD所在直線為y軸,建立坐標系,如圖5 所示.

因為圓O是邊長為的等邊三角形ABC的外接圓, 因此圓O的半徑為2, 即可得到以(0,1) 為圓心, 半徑為2 的圓方程為x2+ (y -1)2= 4, 根據上述坐標及借助圓的參數方程可得各點坐標為:且θ的范圍為得 到:解得:x=(1 + 2 sinθ),y=所以的最大值為故答案為: C.

【評價】本題依然本質上是考查向量標化以及參數方程的應用,是以向量為載體求相關變量的取值范圍,是向量與函數、不等式、三角函數等相結合的一類綜合問題.通過向量的運算,將問題轉化為解不等式或求函數值域,是解決這類問題的一般方法.

【例題2】如圖6 所示的三角形ABC是腰長為等腰直角三角形,橢圓以BC為長軸,且經過腰AB和AC的中點E、F,M為橢圓上半部分曲線上任意一點(含B、C兩點),且(x,y ∈R),則2x+y的最大值為( )

【分析】從所給圖像來看,是標準的圖形,易于建立平面直角坐標系,借助坐標法,寫出相應各點坐標而得到2x+y的表達式,進而可以求得其最值.

圖6

圖7

【解析】取BC中點O,以O點為原點,BC所在直線為x軸,AO所在直線為y軸,建立坐標系,如圖7 所示.因為三角形ABC是腰長為等腰直角三角形,橢圓以BC為長軸,且經過腰AB和AC的中點E、F,因此|BC|= 4,所以橢圓的方程為= 1, 顯然a= 2,且AC中點F的坐標為(1,1) 在橢圓上, 可解得b2=所以橢圓方程確定為= 1, 此時可借助橢圓的參數方程,設 點M為M(2 cosθ,sinθ),A(0,2),B(-2,0),C(2,0).因為= (2 cosθ+2,= (4,0), 所以(2 cosθ+ 2,=(2x+4y,2x),解得:x=因此2x+y=因此2x+y的最大值為2.故答案為: D.

【評價】本題依然本質上是考查向量標化以及參數方程的應用,是以向量為載體求相關變量的取值范圍,是向量與函數、不等式、三角函數等相結合的一類綜合問題.通過向量的運算,將問題轉化為解不等式或求函數值域,是解決這類問題的一般方法.

【小結】從以上幾個試題的解答過程來看,平面向量的基本定理及建立在此基礎上的向量坐標表示是解答的基礎,充分借助圖形及有關曲線的特征,建立平面直角坐標系,使求解數學表達式的最值或范圍在向量標化的基礎上轉化為函數問題,通過與函數、不等式和三角函數等的結合可獲得條理清晰的解答過程和正確的結論,這顯然是解答此類問題的有效選擇.因此從本質上來講,當然這些都源于平面向量的基本定理及其坐標表示:

1.平面向量基本定理: 如果e1,e2是同一平面內的兩個不共線向量,那么對于這一平面內的任意向量a,有且只有一對實數λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.其中,不共線的向量e1,e2叫做表示這一平面內所有向量的一組基底.其實當且僅當a在e1,e2上分解的分向量與方向一致時,λ1,λ2取得正值,否則取負值,分解的分向量為零向量時,取值為0,即a與e1共線時,λ2= 0,即a與e2共線時,λ1=0.

2.平面向量的坐標表示: (1)在平面直角坐標系中,分別取與x軸,y軸方向相同的兩個單位向量i,j 作為基底.對于平面內的一個向量a,有且只有一對實數x,y,使a=xi+yj,把有序數對(x,y)叫做向量a的坐標,記作a= (x,y),其中x叫做a在x軸上的坐標,y叫做a在y軸上的坐標.

認識、理解和掌握了上述平面向量的基本定理及其坐標表示,那么求解代數式的最值或范圍問題通過向量問題坐標化轉化為函數、不等式和三角函數的問題就不會顯得神秘,正確求解就是必然事件.

【例題3】 如圖8 所示, ΔABC是邊長為3 的等邊三角形, 圓O交的三邊AB、BC、CA分別為P2,P3,P4,P5,P6,P1,且分別三等分三邊,D是弧P1P2的等分點,E是弧P3P4的等分點,M是弧DE上任意一點(含D、E兩點) ,(x,y ∈R),則2x+y的取值范圍為( )

【分析】從所給圖像來看,是標準的圖形,易于建立平面直角坐標系,借助坐標法,寫出相應各點坐標而得到2x+y的表達式,進而可以求得其取值范圍.

圖8

圖9

【解析】以O點為原點,過O且與AO垂直的直線為為x軸,AO所在直線為y軸,建立坐標系,如圖9 所示.

由建立坐標系可知, 因為O為三角形ABC過點A的高的三等分點, 而P6,P2也是AB、AC的三等分點, 所以x軸必過P6,P2兩點, 因為|AC|= 3, 因此|AP3|= 2, 因此|OP3|= 1, 因此圓O的半徑為1,因此圓方程為x2+y2= 1, 根據上述坐標及借助圓的參數方程可得各點坐標為:M(cosθ,sinθ),A(0,得到:解得:因為M從E點沿弧運動到點D,因此θ的范圍為因此因此2x+y的范圍為故答案為: B.

【例題4】如圖10 所示的三角形ABC是腰長為等腰直角三角形,拋物線以A為頂點,開口向下且經過等腰直角三角形兩腰AB和AC的中點E、F,D為BC的中點,M為拋物線的曲線E -→A-→F上任意一點(含E、F兩點),且則x+y的取值范圍為( )

【分析】從所給圖像來看,是標準的圖形,易于建立平面直角坐標系,借助坐標法,寫出相應各點坐標而得到x+y的表達式,進而可以求得其取值范圍.

圖10

圖11

【解析】 取BC中點D, 以點A為原點O, 過A且與AD垂直的直線為為x軸,AD所在直線為y軸,建立坐標系,如圖11 所示.

因為三角形ABC是腰長為等腰直角三角形, 因此|BC|= 4, 且拋物線經過腰AB和AC的中點E、F,因此E(-1,-1),F(1,-1), 因此設拋物線方程x2=-2py,把F點坐標代入方程, 可得拋物線方程為x2=-y, 因此可設點M為(m,-m2), 且m ∈[-1,1];D(0,-2), 因此=(m,-m2+2)==x(2,2)+y(4,0)=(2x+4y,2x).解得:x=因此x+y=因此故答案為: A.

總的來說,通過原理性知識分析,讓學生去發現平面向量基本定理及其坐標表示是有關向量線性運算轉化的依據,雖然此類問題具有一定的綜合性,有理由相信,通過本文的學習,學生的數學抽象、邏輯推理、數學運算和直觀想象等數學核心素養應當會得到提升.