基于“缺點型逆向思維法”問題解決的反證法探析

華南師范大學數學科學學院(510631) 楊宇佳

導言: 逆向思維,也稱求異思維,它是對司空見慣的似乎已成定論的事物或觀點反過來思考的一種思維方式.敢于“反其道而思之”,打破思維定勢,讓思維向對立面的方向發(fā)展,從問題的相反面深入地進行探索,樹立新思想,創(chuàng)立新形象.當大家都朝著一個固定的思維方向思考問題時,有人能朝相反的方向思索,這樣的思維方式就叫逆向思維.常見的逆向思維有三種:

(1)反轉型逆向思維法: 從已知事物的相反方向(從事物的功能、結構、因果關系等三個方面)作反向思維進行思考,產生發(fā)明構思的途徑.

(2)轉換型逆向思維法: 在研究問題時,由于解決這一問題的手段受阻,而轉換成另一種手段,或轉換思考角度思考,以使問題順利解決的思維方法.

(3)缺點型逆向思維法: 利用事物的缺點,將缺點變?yōu)榭衫玫臇|西,化被動為主動,化不利為有利的思維發(fā)明方法.這種方法不以克服事物的缺點為目的,相反是將缺點化弊為利,找到解決方法.

反證法即利用了逆向思維中的“缺點型逆向思維法”,通常利用反證法的題目,都是因為其從正面直接證明較為困難,這就是“事物的缺點”,這時,我們能否“將缺點變?yōu)榭衫玫臇|西”,即利用要證的命題,將它的其他形式當作已知條件來使用,從而簡化問題的證明呢? 這的確是可以的,將要證的命題的否命題假設為真,也就是“將缺點化弊為利”,再把其當作可用的條件之一,根據原來所給的條件和已經學過的內容,推斷出與已知條件相矛盾的結論,這就證明了我們的假設不能成立,從而推出了我們想要得到的證明,也就是找到了“解決方法”.

1 數學史上反證法的經典應用——“是無理數的證明”

例1證明:是無理數.

下面是“缺點型逆向思維法”的應用步驟分析:

2 利用“缺點型逆向思維法”分析反證法在不同題型中的應用

2.1 在代數問題中的應用

例2設實數a,b滿足3a+13b= 17a,5a+7b= 11b,求證a ＜b.

分析: 1)事物的缺點: 直接求證a ＜b,考慮一般的方法,例如作差法、作商法、構造法,顯然很難利用題目中所給的式子進行證明.

2) 將缺點化弊為利:“a ＜b”的否命題是“a≥b”, 把“a≥b”當作條件使用.

3) 利用“a≥b”和其他知識得到新事物: 可得到13a≥13b,5a≥5b.

由3a+13b= 17a可知3a+13a≥3a+13b= 17a,即由于f(x)=是單調遞減的函數,可得f(1) =＜1,同時f(a) ≥1＞f(1),可知a ＜1.由5a+7b=11b可知5b+7b≤5a+7b=11b,即由于g(x)=是單調遞減的函數,可得g(1)=＞1,同時g(b)≤1＜g(1),可知b ＞1.

4)發(fā)現(xiàn)解決方法: 此時b ＞1＞a,這與a≥b矛盾! 故a ＜b.

2.2 在三角函數問題中的應用

例3試證函數f(x)=不是周期函數.

分析: 1)事物的缺點: 直接證明f(x) =不是周期函數,需嚴格證明f(x)不滿足周期函數的定義.但在中學階段,我們要直接證明“不滿足”的問題十分困難,因此,從正面證明難度較大.

2)將缺點化弊為利:“函數f(x)=不是周期函數”的否命題是“f(x)=為周期函數”,將“f(x)=為周期函數”當作條件使用.

3) 利用“f(x) =為周期函數”和其他知識得到新事物: 設其周期為T, 則對?x, 有f(x+T) =f(x), 即

4) 發(fā)現(xiàn)解決方法:“T無解”與T的存在性矛盾, 因此不是周期函數.

2.3 在幾何問題中的應用

例4已知a與b是異面直線, 又有a ? α,b ?β,a//β,b//α,求證:α//β.

分析: 1)事物的缺點: 若要證兩個平面平行,則要證這兩個平面沒有公共點, 由于兩個平面平行的定義是否定形式,因此直接判定兩個平面平行較為困難.

2)將缺點化弊為利:“α//β”的否命題是“α不平行于β”

3)利用“α不平行于β”和其他知識得到新事物:α不平行于β,且α ∩β=c,由于a//β,b//α,則由直線與平面平行的性質定理可知a//c,b//c,故a//b.

4)發(fā)現(xiàn)解決方法:“a//b”與“a和b是異面直線”相矛盾,故α//β.

3 “缺點型逆向思維法”在中學教學方面的應用建議

缺點型逆向思維是一種創(chuàng)造性思維,實際是以“出錯”去達到“制勝”的目的.因此,缺點型逆向思維的成效常常會出乎意料得好.

3.1 在教學中設置“缺點”引發(fā)學生逆向思考

在中學數學教學當中,教師可以利用“缺點型逆向思維法”引導學生發(fā)散思維, 其一般流程為“故意出錯—分析錯誤—改進方法—反思鞏固”[1].

例如在講解定理時,教師可以將定理的證明過程故意講錯一步,即“設置缺點”,但不要告知學生,而是接著向下進行證明,推導出錯誤的結論.這時,學生會發(fā)現(xiàn)這與定理所要求證的結論不同,此時再去激發(fā)學生探索的好奇心:“證明過程中哪里出錯了? 錯的原因是什么? 正確的應該是什么? 如果將定理中的部分條件改變或刪去,能否得到相同的結論? 為什么不能? ”在一個一個問題中,逐步引發(fā)學生思考,本質其實是利用“錯誤結論”,逆向推導,也就是在培養(yǎng)學生的逆向思維.

3.2 在學生的“缺點”中引導學生逆向思考

在輔導學生練習的過程當中, 教師可以利用“缺點型逆向思維法”引導學生判斷自己的錯誤之處, 逆向思考找到正確答案,其一般流程為“找到錯誤—利用錯誤—發(fā)現(xiàn)矛盾—改進方法—反思鞏固”.

例如教師在批閱學生作業(yè)時發(fā)現(xiàn)學生的解答過程有部分錯誤,可以讓學生利用自己的錯誤觀念,正向推導要證明的內容,由此發(fā)現(xiàn)與題意的矛盾之處,再讓學生對自己的證明過程進行改進.這樣的思考過程本質也貫穿了“缺點型逆向思維法”,不僅讓學生能夠明白自己的錯誤原因,同時也能打破學生的固有思維模式.

4 反證法——利用“缺點型逆向思維法”解決問題的價值

4.1 教學價值

4.1.1 有助于培養(yǎng)學生靈活的思維

在數學的歷史長河中,許多重大發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造都是逆向思維所產生的,逆向思維可以突破傳統(tǒng)的思考方式,用結論的反面作為條件推出矛盾,是一種巧妙的思維轉換.在中學數學的教學當中,教師可以多向學生滲透反證法等利用逆向思維的證明方法,開拓學生思維,鍛煉學生的邏輯能力,對學生的創(chuàng)造性思維、發(fā)散性思維的發(fā)展具有重大的促進性作用.

4.1.2 有助于提高學生對數學鉆研的興趣

反證法主要突出逆向思維的訓練,有一些問題無法從正向入手,而從反面思考,卻又使問題變得簡單.利用反證法的題目的證明過程,往往簡單而漂亮,這可以使學生感受到數學的美感.因此,在中學數學教學過程當中,教師講授反證法,可以使學生積極進行探究, 使其對數學的美有更深的感觸,對數學具有好奇心,從而激發(fā)學生對數學鉆研、探索的興趣.

4.2 應用價值

4.2.1 反證法是數學研究的基礎

反證法在中學數學的學習中出現(xiàn)的次數較少, 往往會出現(xiàn)在數學競賽的題目中,對中學生來說有一定的難度.但在高等數學的學習中, 反證法卻被頻繁使用, 例如《數學分析》、《高等代數》、《初等數論》中,反證法都是極為常見的證明方法,尤其是在一些基本定理的證明中,反證法利用極強的邏輯效果,往往能給出十分漂亮的證明.因此,若對數學具有興趣,則鍛煉自己的逆向思維是極為重要的,反證法是數學學習的基礎知識,也是研究數學的必備技能.

4.2.2 逆向思維是探索發(fā)現(xiàn)的源頭