直觀想象素養下的試題命制
——一道圖形變換試題的命制與思考

福建省廈門外國語學校海滄附屬學校(361026) 王 晴

“圖形全等變換”既是一種數學知識,也是研究圖形的一種方法,還是幾何推理的依據.圖形的全等變換的本質特征是只改變圖形的位置,不改變圖形的形狀和大小,即變換前后的圖形是全等關系.近4年福建中考數學試卷中均考查了圖形全等變換的相關知識,因此本次區質檢我們決定以圖形全等變換為背景命制一道試題.

課標指出應注重發展學生的幾何直觀.幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數學,探尋解題方向.本道質檢題正是基于直觀想象素養,在圖象中提出問題,從而命制試題.

1 命制過程

1.1 試題初稿

如圖1,已知ΔABC,點E,F分別為BC,AC上一點,ΔABF沿BF折疊,使得點A剛好落在點E,AD//EF.

(1)求證: 四邊形ADEF為菱形;

(2)如果∠ABC= ∠FAD,AB= 6,AD= 3,FC= 5,求CE.

圖1

圖2

本道題考查的背景是圖形的全等變換中的軸對稱.延續近幾年中考命題的特點,此類問題通常有兩問,并且與幾何推理,圖形邊角計算相結合.在圖2 中由于翻折,直線BF所在的直線為AE的垂直平分線, 這個時候如果在BF上找到一個點D, 四邊形ADEF就是對角線互相垂直, 因此補上了一個條件AD//EF.第一問設計為菱形的判定.在圖1 中,有兩個圖形ΔEFC,ΔABC直觀上讓人覺得相似,所以第二問就朝著這個方向設計,證相似求線段.已知∠C是公共角, 要相似只需∠ABC= ∠EFC, 因為AD//EF,∠DAC= ∠EFC,所以第二小題在主題干的基礎是補上了條件∠ABC=∠FAD,到此為止整個題目的雛形基本呈現.

1.2 試題打磨

考慮到本題在試卷中的位置是第22 題(總題數25 題),定位應該是考查內容由基本技能向能力過渡,并且具有一定的區分度.在邏輯推理方面, 要求學生經過更多的觀察、推理、分析來探求解題的方向.基于此,筆者將試題做了以下修改:

第一步: 將ΔABF沿BF折疊這個條件改為點E,F分別在ΔABC的邊BC和AC上,點A、E關于BF對稱.原先折疊的情境是圖形變換問題中學生所熟悉的,修改為點與點對稱,可以考查對稱問題,也能夠進一步考查學生對圖形變換的本質就是點的變換的理解.原有條件折疊,學生直接可以得到ΔABF∽= ΔEBF,而如果改為點對稱,需要推理才能得到圖形的全等關系.

第二步: 觀察本題的圖形特征, 菱形的對角線平分一組對角, 而折疊使得BF也是對角線, 圖3 中可以推出∠2+∠3=90°,∠1=∠2,所以∠1+∠3=90°,題目中其實隱藏著兩個直角,∠BAC= ∠EFC= 90°.而原先的第二小問所給的數據,學生只需由相似的比例關系就可以求出CE,無需用到直角.為了在試題中體現考查直觀素養這一命題意圖,接下來筆者將所給的線段長度進行修改,由已知3 個量變為已知2 個量,要求學生能夠運用幾何直觀發現隱藏直角,進而探尋解題方向.

圖3

圖4

第三步: 條件∠ABC= ∠FAD, 再由∠C= ∠C, 學生得到相似基本沒有太大的困難.經過斟酌后將條件改為∠ABC= 2∠DAE.首先學生要理解2∠DAE的意思,然后還要結合菱形的對角線平分一組對角, 利用這個倍數關系,推出直角以及∠ABC=∠EFC這兩個數量關系.相比于原條件,邏輯推理的難度明顯加大.

1.3 試題終稿

如圖4,點E,F分別在ΔABC的邊BC和AC上,點A,E關于BF對稱.點D在BF上,且AD//EF.

(1)求證: 四邊形ADEF為菱形;

(2)如果∠ABC=2∠DAE,AD=3,FC=5,求AB.

2 試題分析

經過全區學生的實際檢測, 我們得到數據第一小題菱形的證明均分3.40(滿分5 分) , 第二小題求線段AB均分1.65(滿分5 分),實測難度0.505,基本達到了之前的預期.第二小題從學生答題情況來看,體現了較好的區分度.在圖2中,一般的學生,由∠ABC= 2∠DAE,得到∠1 = ∠2,但是不知道接下來要做什么.能力稍強的學生,能夠看出了題目中的相似,得到了比例式,但是關鍵的一條線段EC不知道如何求.得分高的學生, 較好地運用了幾何直觀, 以及數據AD= 3,FC= 5 的聯想,推斷發現圖中隱藏的90°,快速找到了解題的方向.

3 命題反思

3.1 命題應留足思維空間

0 分和滿分偏多的試題，筆者覺得設計是不太理想的,一個是區分度不夠明顯,二是限制了學生的思維.一道好的試題,入口應該要寬,能夠給予學生多個思考問題的角度,讓他們可以從不同的角度來解決這道題.這也與我們在教學中培養學生發散思維, 發展學生核心素養的教學理念是一致的.本道試題的命制就充分體現了這點,我們在改卷的過程中發現,學生在利用勾股定理得到EC= 4 之后,求線段AB的解法有很多的,主要有以下三種:

法一: (從相似角度) ∵∠BAC= ∠FEC= 90°, 又∠F= ∠F,∴ΔCEF∽ΔCAB.∴AB=6.

法二: (從勾股的角度) ∵AF=AD= 3, ∴AC=AF+CF= 3 + 5 = 8.在RtΔBAC中, ∠BAC=90°, ∴AB2+AC2=BC2, ∴AB2+ 82= (BE+CE)2,AB2+82=(AB+4)2,∴AB=6.

法三: (相似和勾股結合) ∵DE//AC, ∴∠DEB= ∠C,又∵∠DBE= ∠EAC,∴ΔDBE∽ΔEAC,∴BE= 6,BC= 10, 在RtΔBAC中,∠BAC=90°,∴AB2+AC2=BC2.∴AB=6.

3.2 命題離不開試題研究

本道題的設計用于區教學質量檢測中的一道試題,質檢卷不同于單元試卷,具有一定導向性.在福建省最近4年的中考題中,圖形變換的試題不僅考查了圖形直觀與合情推理,還考查圖形演繹推理及與其他相關知識的結合,圖形性質的理解與應用,綜合性較強.

本道試題,以圖形全等變換中的軸對稱作為背景進行命制,與中考試題的導向是一致的,能夠讓師生更加明確中考的方向,也作為中考前的一個檢測,較好地體現了命題的導向性.

3 命題來源于教學實踐

幾何直觀主要是利用圖形描述和分析問題,它雖然不是規范的解題步驟,卻可以幫助我們探尋解題的方向.在教學中我們一直重視對學生幾何直觀的培養,例如圖5,直線y=x+m與雙曲線相交于A,B兩點,BC//x軸,AC//y軸,則ΔABC面積的最小值為____.

圖5

本道題如果要用嚴格的推理來進行求解是很復雜的,但是如果借助幾何直觀不難猜想當AB過原點時面積是最小的,再利用反比例函數的對稱性,以及k的幾何意義,面積很快就出來了.所以幾何直觀是學生解決復雜數學問題的一種方法和手段,也是學生分析數學問題、解決數學問題必須具備的一種能力.

本道試題設計就是來源于以上教學實踐.試題中有幾個地方都考查了學生的直觀想象素養.圖中ΔABF∽= ΔBEF, 四邊形ADEF為菱形這兩個是最直接可以從圖中得到的信息.再更進一步, 可以發現圖中有一個子母型相似ΔEFC∽ΔABC, 最后一個就是∠FEC= 90°,這個是本道題設計的難點和關鍵點.本道命題充分考查了學生的直觀素養,只有學生具有一定的直觀想象能力,才能夠快速找到解題突破口.

命題是一項細致而復雜的勞動,一道好的試題就是一件好的藝術品.命題所選擇考查的知識,技能與能力,要突出學科的核心素養.命題的出發點和歸宿應該是促進學生的發展.在命題的同時,我們要掌握中考命題的基本理論和基本趨勢,才能命出好的試題,讓試題發揮應有的導向作用.