淺析高中數學中平面向量的應用

【摘 要】平面向量不管是在數學還是科學領域中都有著廣泛的應用，其不僅是連接三角、幾何與代數的重要橋梁，還是研究力學、電學和相關自然學科的關鍵工具。近幾年來，平面向量已經成為數學高考的重點考查知識。筆者就高中數學中平面向量的應用問題進行簡要分析，旨在探索向量在各種題型解題中的有效應用。

【關鍵詞】高中數學;平面向量;應用

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2021）28-0014-03

平面向量已經成為高考數學的重要考點。相關題型的考查方向主要為平面向量的綜合應用，這就為教師日常教學提供了方向，即要高度重視平面向量的工具性，及其與其他知識點的交融性。研究平面向量命題規律的過程其實就是探索平面向量綜合應用的過程。

1? ?向量在現代教學中的重要性

從19世紀開始，數學家和物理學家就將向量作為了重點研究內容，其被引入中學數學的時間是20世紀初，高中數學教學大綱中正式引入向量是在1996年，當下新課標中也反復強調了向量教學的要求。向量知識的重要性不單單體現于數學領域中，在其他學科中也有廣泛的應用。很多數學難題通過向量都能夠很快地解決，在具體使用過程中，向量幾乎不受其他因素限制，是重要的代數運算工具與幾何解題工具[1]。除了在數學難題計算上的優勢，向量還能直觀且精準地表示空間立體圖形體積與幾何法線，甚至還能應用到叉乘和點乘方面。物理學科中將向量稱之為“矢量”，其在具體的公式計算中往往表示速度、位移和力。

2? ?高中數學中向量的應用

2.1? 平面向量與平面幾何的綜合應用

就幾何角度來說，高中階段的平面向量概念知識以及平面向量運算知識都有明顯的幾何特征。所以，綜合平面向量和平面幾何屬于常見的數學問題，這類題型一方面能考查學生對向量幾何意義的掌握與理解，還能考查學生靈活運用平面向量解決問題的能力[2]。

例1：已知?ABC平面中的一個點O，且該點滿足=，則?ABC為（ ）。

A.等腰三角形? ? B.等邊三角形

C.直角三角形? ? D.等腰直角三角形

解析：此題的解答需要運用向量的減法法則，進一步簡化題中的等式，得出=，然后再得出等式=，由此可判斷出，以AB、AC為鄰邊的平行四邊形是矩形，推理出?ABC的形狀是直角三角形，因此選擇C。

點評：題中給出了向量等式，考查的重點放在了平面向量的減法法則、加法法則以及模的幾何意義上，整個命題的重點偏向向量和向量運算。

2.2? 平面向量與解析幾何的綜合應用

平面向量本身還有一個明顯的坐標形式特征，所以在幾何問題解析中也適用。很多時候通過向量能夠更加簡潔地表達幾何問題中的條件，將幾何問題的解析過程轉換成運算向量坐標。

例2：已知橢圓C：（a>b>0）的短軸長等于，的離心率，A、B是分別位于橢圓C上的上、下頂點。

（1）求解橢圓C的方程。

（2）設P為直線 y=4上不同于點（0，4）的任意一點，若直線AP、BP分別和橢圓相交異于A、B的點M、N，請證明∠MAN為鈍角。

解析：

（1）先根據已知的條件將有關a、b、c的方程列出來，通過解方程組來得到橢圓C的方程：。

（2）設P（t，4）（t≠0），求出=，

，再基于=>0，得出∠PAN為銳角，又因為∠MAN與∠PAN屬于互補關系，因此∠MAN為鈍角。

點評：就分析本題的題干而言，其中并未有任何向量的標記，但是向量夾角計算公式卻適用于本題，簡化了解題環節，在幾何運算中充分體現了向量法的作用與魅力。從本題中不難得知，合理利用向量法能大大減少解析幾何運算量。所以一定要在幾何問題解析中提高對向量應用的重視度。

2.3? 平面向量與三角函數的綜合應用

教材必修4中不僅包含了函數知識點，也涉及很多平面向量內容，關于兩角和余弦公式的推導就借助了平面向量運算。由此可以看出三角函數和平面向量之間有著密切的聯系[3]。這兩者之間的關系在歷年高考中都是以解答題的形式考查的，往往還會延伸性地涉及三角函數性質、三角恒等變、平面向量運算以及解三角形的知識點，屬于綜合性較高的解答題題型。

例3：已知A、B、C是?ABC的三個內角，向量=（cosB，sinB?2sinC），=（2cosC+cosB，sinB），且

⊥。

（1）求A。

（2）若BC=，求AB+AC的取值范圍。

解析：

（1）由⊥，得出·=0，

則cosB（2cosC+cosB）+（sinB?2sinC）sinB=0，

則2（cosBcosC?sinBsinC）+（cos2B+sin2B）=0，

即2cos（B+C）+1=0，故cos（B+C）=?。

又B+C∈（0，π），所以B+C=，所以A=。

（2）由于A=，BC=，因此通過正弦定理可得出===2。

所以AB=2sinC，AC=2sinB=2sin（?C）。

所以AB+AC=2sinC+2sin（?C）

=2sinC+2（cosC+sinC）

=3sinC+cosC

=（sinC+cosC）

=（C+）。

其中C∈（0，），則C+∈（，），

所以sin（C+）∈（，1]，sin（C+）∈（，]。

所以AB+AC的取值范圍是（，]。

點評：該題的解題背景主要是平面向量的數量積運算，考查三角形綜合問題、正弦定理、向量垂直條件、三角函數性質等。就本質而言，解三角形、三角函數和平面向量這三個知識點之間存在緊密的聯系[4]。這類題型只是將平面向量用作一種“外包裝”，其考查重點還是三角問題。

2.4? 向量在不等式證明中的應用

不等式證明一直以來就是高中數學中有一定難度的基礎性知識，常常讓很多學生感到頭疼。如若將向量知識巧妙引入其中進行輔助證明，就可以化難為簡。

例4：假設a、b、c、d∈R，求證（a3c+b3）2<（a6+b6）（c2+d2）。

證明過程如下：

首先設向量和，其中=（a3+b3），=（c，d），再將和這兩個向量的夾角設為θ，

則（·）2

=[（a3+b3）·（c，d）]2

=（a3c+b3d）2

=（）2<（）2

=

=[（a3）2+（b3）2][（c2+d2）]，

即可表明（a3c+b3）2<（a6+b6）（c2+d2）。

點評：關于不等式的證明，常用的解題技巧包含了綜合法、分析法和作差法等，相對而言證明過程復雜[5]。向量中數量積定義的合理應用即可有效簡化整個證明過程，大大提高解題效率。

2.5? 平面向量在最值中的應用

幾何與代數之間重要的聯系紐帶就是向量坐標，這是平面向量中最為關鍵的要素，在求解函數最值問題中以向量坐標來表示具體內容會取得意想不到的效果[6]。

例5：有函數，求其最大值。

解析：設置向量和，其分別為（3，4）和（，）。

·

=3+4≤

=

=5。

取等號的情況存在且只存在于與平行時，即=（k>0）

由此解得x==4.36（滿足4≤x≤5）。

因此這一函數的最大值為5。

點評：針對本題的解答，如若使用三角函數設元或者柯西不等式等傳統且常規的方法，其實是不適用于全體學生的，尤其是對一些基礎水平相對較差的學生來說難度較大。但易懂、易上手的向量坐標法就能讓問題變得簡潔明了，從而讓學生快速得出答案。

作為一種探索和解答數學問題的工具，平面向量的有效應用能讓很多數學問題得以簡化處理。本文通過總結平面向量在數學中的應用，展示解題思路的形成過程，引導學生一步步地掌握解題方法，提升學生分析和解決問題的能力。

【參考文獻】

[1]張鑫，于興江.探究式教學在高中數學課堂中的應用研究——以一道平面向量數量積試題為例[J].中學數學研究，

2019（4）.

[2]金貴燕，劉詠梅.基于“學—思—行”的高中平面向量教學思考[J].中學數學研究，2019（1）.

[3]李煒，張玉輝.平面向量等和線在高中數學解題中的應用[J].語數外學習：數學教育，2019（5）.

[4]王建宇.高中數學解題中平面向量方法的應用分析[J].當代家庭教育，2019（18）.

[5]姚洪兵.高中數學解題中平面向量方法運用探究[J].名師在線，2020（11）.

[6]方志平.數學競賽中含雙參數的平面向量問題求解策略[J].數學通訊，2019（3）.

【作者簡介】

劉兆磊（1987～），男，漢族，山東淄博人，本科，初級教師。研究方向：高中數學教學。