加強審題　培養素養

摘要：新課程強調關注核心素養的形成和發展，注重思維的培養與提升.針對數學問題的審題和分析是培養良好思維品質，提升思維能力和提升核心素養的必要過程和優良載體.本文結合具體數學問題，介紹八種常用的審題方向.

關鍵詞：數學概念;公式;法則;性質;特點;原理

中圖分類號：G632文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2021）28-0068-05

審題是解題的基礎，是解題的必備工作.審得清楚，才不會犯不必要的失誤或誤入歧途.審得深入，才能把握問題的實質，挖掘隱含的條件;才能理清條件與結論的關系，準確找到解決的切入點.審得認真，才能記憶深刻，形成以后解題的借鑒，形成能力.加強審題教學，有利于培養學生良好的學習習慣，提升思維品質，形成良好的數學素養，提高解題能力.下面介紹幾種常用的審題方法與方向.

一、往概念上審

分析要解決球的問題，肯定是解決球心和球的半徑.尋找球心，必須考慮球的概念：球心到球面上任一點的距離都等于球的半徑.本題由已知條件易得ΔABP是以AB為斜邊的直角三角形，AB中點D是ΔABP的外心，則過D作平面PAB的垂線l，可得l上任一點到P、A、B的距離相等，同理過正ΔABC的外心作平面ABC的垂線l，可得l上任一點到A、B、C的距離相等，則三棱錐P-ABC的外接球的球心是l與l的交點.

分析本題三棱錐P-ABC的外接球球心O不容易利用已知條件直接找出，可以考慮利用長方體和正方體的特性：它們的對角線的中點到各個頂多距離相等，對角線就是其外接球的直徑.通過補形解決.

評注1. 概念是解決數學問題的基礎，外接球問題首先要想到的是球心到球面上點的距離都等于半徑.然后再考慮是直接找到球心，求出半徑;還是補形求出半徑，還是通過建立空間直角坐標系，算出球心坐標，求出半徑.

二、往基本模型審

分析題中已知條件含有平面平行，線線垂直，線面角和線線角的大小，然后求異面直線角的大小.如果單純作平面和直線圖形，不容易理清線面和線線的位置關系，但如果利用已知條件，以熟悉的多面體或旋轉體模型為載體幫助分析，問題將變得直觀明了.

解答因為AB與α所成的角為π4，所以當點B固定時，點A在平面α的軌跡是圓圖4錐的底面.作如圖4，其中圓柱的高與底面半徑相同，圓柱的兩個底面分別在平面α，β上，點B，O1分別為圓柱的上下底面圓心，點A在下底面的圓上.由m⊥AB得：m⊥AO1，設點C在下底面的圓上，且CO1⊥AO1，則直線CO1與直線m平行或重合.連接CA，可得ΔABC是正三角形，所以AC與AB所成的角為π3，又由α∥β，n與AB所成的角為π3，得直線AC與直線n平行或重合.顯然∠ACO1=π4，所以m與n所成的角為π4.

點評培養空間想像能力是立體幾何的主要任務，把抽象知識或已知條件轉變成具體圖形，本身就是對空間想像能力的培養和體現，因此新課程強調運用幾何體的模型理解、掌握和運用知識.教材中體現比較多的是多面體模型，平時的解題還需關注和重視旋轉體模型的應用，提高想像和化歸能力.

點評運用基本不等式和絕對值的三角形不等式求最值，或者證明不等式，是高考常見的命題模式.也是考查的熱點知識.考試時不一定會那么直接，需要認真審題，大膽設想，準確變形，才能達到目的.

四、往基本原理審

分析 看到含兩個參數的最小值問題，很容易想到運用基本不等式解決，但本題并不能夠構造出符合一正二定三相等的條件，所以需要另辟蹊徑，回歸到最基本的原理，利用條件，化兩個變量為單個變量去探尋.

點評關于含有兩個正數的代數式最值問題，通常會想到運用基本不等式，但有些問題不容易變形出符合求最值的條件，或者不能運用這種方法，這時的解決策略需要回歸到基本原理，利用條件化兩變量為單變量，然后考慮運用函數性質解決.本題的解決還需要觀察分析能力，運算與變形能力，換元思想，函數思想.

五、往條件和結論的特點審

點評本題是常見題型，條件中含有向量共線的表達形式，一定要認真審題，恰當引入參數和選擇直線方程的形式，以便在方程聯立消元時能使向量共線以簡潔的坐標關系結合韋達定理.因為直線方程上橫坐標與縱坐標是一一對應關系，選橫坐標和選縱坐標體現是等價的.求解本題的易錯點：①漏掉直線MN的斜率不存在的情況;②忽視直線與圓錐曲線相交，判別式大于零.

六、往基本法則審

分析本題第二問牽涉直線與圓錐曲線交點和斜率的差的比值，運算量肯定不小，如何減少運算量，除了考慮幾何性質的挖掘利用外，還需要考慮利用條件和結論的特點，巧設參數，快速找到未知數量的關系.題中點C和點Q的橫坐標相同，因此引進直線l的斜率作為參數，還是引進斜率的倒數作為參數，將對問題求解的復雜度有所影響.

七、往幾何性質審

分析關于圓的弦中點的軌跡問題，如果按純代數運算的方法，運算量不小;第（2）小問因為牽涉到三個變量，不僅運算量很大，而且會很復雜，不容易求出，但如果運用圓的幾何性質，問題的解決可能會變得簡單很多.

圖7

點評數形結合是重要的數學思想和方法，它對問題的解決有極大的幫助，有時是捷徑，有時是必需.幾何性質的應用，是數形結合后解決幾何問題的捷徑.遇到有關圓的問題，一定要關注圓的相關性質：垂徑分弦定理，弧所對的圓周角是圓心角的一半，直徑所對的圓周角是直角等.

八、往題型特點審

分析本題函數式中含有絕對值和超越函數，運用分段去絕對號不容易求出正確結論.作為選擇題，依據題型特點，可以運用選擇題的結果驗證和排除，從而得到正確選擇.在驗證排查時還要注意衡量，選哪些端點值會比較快.

點評不同的題型有不同的考查功能，相應地有不同的解題方法和解題策略.對一些高難度的選擇題，應考慮它的題型特性，運用排除法、特殊值法、數形結合等非常規方法，避免小題大做，培養思維的靈活性和發散性，優化思維品質.

“萬丈高樓平地起”.學生思維品質的優化與能力提升，核心素養的培養，不可一蹴而就，也不可拔苗助長，只能遵循教育規律，腳踏實地，循序漸進，充分挖掘每個知識點，每個例習題的培養價值.加強審題教學，是達成教育目標的有效途徑.

參考文獻：

[1]許銀伙.峰回路轉 天塹通途[J].數理化解題研究，2020（31）：25-26.

[2]許銀伙.投石問路，巧解難題[J].福建中學數學，2011（12）：30-32.

[責任編輯：李璟]

作者簡介：許銀伙（1963.9-），男，福建省惠安人，本科，中學高級教師，從事中學數學教學研究.