從一道模擬題的多解談解三角形的一輪復習

摘要：本文通過對一道高考模擬題的解法進行探究，給出在進行解三角形這一章一輪復習時的三條建議.

關鍵詞：解三角形;正弦定理;余弦定理;一輪復習

中圖分類號：G632文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2021）28-0010-02

題目已知△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且2sinAcosB-sinBcosC=sinCcosB.

（1）若a，b，c成等比數列，試判斷△ABC的形狀;

（2）若a=2，c=3，點D在邊AC上，且BD平分∠ABC，求BD的長.

本題是我校2020屆高三第三次模擬考試的理科第17題，主要考查三角恒等變換、特殊角的三角函數值、等比數列的定義、正弦定理、余弦定理等多個知識點，對學生的邏輯推理能力和運算求解能力要求較高，要求學生具備扎實的邏輯推理素養和數學運算素養.

一、解法探究

點評解法1直接利用余弦定理并整理得到完全平方式;解法2利用重要不等式，巧用取等條件，將解三角形與重要不等式相結合，是我們常見的一個綜合點;解法3發現所給等式的兩邊均為二次，利用正弦定理，將邊化為角，再利用三角恒等變換，對學生的運算求解能力要求較高;解法4引入公比q，實際上是為了消元，將多元化為一元，體現了轉化與化歸思想.

點評解法1，2，3主要都是利用正弦定理和余弦定理，思路比較自然.根據已知條件，在△ABC中，已知兩邊及其夾角，該三角形是唯一確定的，所以其內角平分線的長也是唯一的.解法1中出現兩解，要注意取舍，而且整個計算過程比較繁瑣，不少學生應用了該解法，但算出來的不多;解法2的后面利用了正弦定理，效果比較好;解法3挖掘出隱藏條件∠ADB+∠CDB=π，要注意這個模型的應用.

二、復習建議

1.理清知識要點，正確選用定理

解三角形是每年高考的必考知識點，我們在復習過程中必須理清知識要點，弄清知識要點的來龍去脈.比如說正弦定理，我們知道它反映了同一三角形的邊角之間的等量關系，在一輪復習中可以設計如下的問題鏈：（1）正弦定理的具體內容是什么？（文字語言、圖形語言、符號語言等）

考試或作業時因時間有限，大部分學生解完題目就認為萬事大吉了，沒時間進一步思考，制約了學生的思維質量與思維層次，不利于學生思維的培養.于是要求老師在批閱試卷和作業時要注意搜集典型題目和解法，筆者在初次見到上面的題目時，感覺很平常的一道問題，但在批閱試卷時，驚喜連連，上面提供的解法基本上都是學生考試中運用的方法，只不過有的解法學生用的比較多，有的用的比較少.

3.精心組織微專題，提升復習效率

在一輪復習過程中，大部分老師都喜歡直接利用一輪復習用書，按照書上的要求進行講解，沒有自己的再加工，長此以往，學生對復習必將失去興趣，影響復習效果.微專題教學是時下比較流行的教學方式，特別在復習課中應用比較廣泛，微專題具有切口小、選題精、角度新、針對性強等特點，這樣可有效抓住熱點，突出重點，突破難點和易錯點，從而備受廣大一線教師的青睞.所以要求老師精心挑選組織微專題，微專題的選擇要“微”在定點突破，“微”在精心預設，“微”在互動生成.

參考文獻：

[1]洪汪寶.明確方向，分步求解[J].數理化解題研究，2020（8）：19-21.

[責任編輯：李璟]

作者簡介：洪汪寶（1977.1-），中學高級教師，從事高中數學教學研究.

基金項目：本文系安慶市2019年教育科學規劃研究課題“核心素養培養視角下高中數學集體備課有效性的實踐研究”（課題編號：AJKT2019-067）的階段成果.