于感性課堂培養(yǎng)理性精神

徐淑琴 周龍虎

【摘 要】為達到既定的教學和教育目的，教師需要對教學過程進行優(yōu)化，使學生積極的學習態(tài)度成為教學過程的有機部分。數(shù)學講邏輯、重推理，但數(shù)學思考與探究需要感性指引，才能使學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學的美。研究者通過對“獨立性檢驗的基本思想及其初步應用”課例的開發(fā)、實踐與反思，詮釋“從感性出發(fā)，將理性引向深處”的內涵，旨在達成有價值的“教”與有效的“學”。

【關鍵詞】感性課堂;理性精神;獨立性檢驗

【作者簡介】徐淑琴，一級教師，主要從事數(shù)學教育研究;周龍虎，一級教師，華中師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學學院在讀博士研究生，新青年數(shù)學教師工作室成員，主要從事數(shù)學教育研究。

建構主義學習理論指出，基于原有基本活動經驗的學習才是有意義的學習，對知識的建構理解是在與社會文化互動中完成的，因而創(chuàng)設與學科內容相符的情境就顯得尤為重要。關于問題情境是否一定是真實性情境，還是要與數(shù)學的內部知識演化相關的問題，成為大家爭論的焦點。特別是在中學數(shù)學教育和小學數(shù)學教育的問題上，鄭毓信先生也指出這是一種不應有的“兩極分化”：中學的數(shù)學教育常常被認為附屬于數(shù)學（傾向后者），小學的數(shù)學教育則更明顯地表現(xiàn)出受到一般教育學與心理學的影響（傾向前者）。殊不知，我們無論是采用支架式教學模式，還是拋錨式或隨機進入，都依賴于情境的作用。情境是一個促進知識理解、遷移的手段，若都可以達成預期的教學目標，我們希望花費在對情境的翻譯與轉化上的功夫要小一些，畢竟數(shù)學學習的重點不能也不應總是數(shù)學化的過程。眾多數(shù)學教育家疾呼“不指望更多的人愛上數(shù)學，但至少不能生厭”，或者“盡管他們未必是數(shù)學學習中的失敗者，但卻仍然不喜歡數(shù)學”，可見一味苛求學生“耐心、服從、韌性和承受挫折”會給學生的成長帶來負面影響。教師的工作應有所創(chuàng)新，學生的學習方式才能有所改善。數(shù)學可以用數(shù)學的方式以“意”會“理”，于感性處培養(yǎng)理性精神，而不是一味的以理講理。筆者以“獨立性檢驗的基本思想及其初步應用”的教學設計為例，談談一些想法。

一、教學內容解析

“獨立性檢驗的基本思想及其初步應用”是人教A版高中數(shù)學選修2-3》第三章“統(tǒng)計案例”第二小節(jié)的內容。本節(jié)課上承必修模塊的概率統(tǒng)計知識，以對典型案例的分析再次強化課程標準所要求的隨機性教學思想，并讓學生認識到統(tǒng)計方法在決策中的作用;下啟概率論與數(shù)理統(tǒng)計中的假設檢驗理論，從假設檢驗的特殊典范——“獨立性檢驗”的基本思想、方法和初步應用到一般假設檢驗的理論與方法的學習，實現(xiàn)中學數(shù)學與大學數(shù)學知識經驗的完美對接。

獨立性檢驗與回歸分析，均是適合學生知識背景的統(tǒng)計方法，但獨立性檢驗—相關分析的目的是檢驗兩個隨機變量的共變趨勢（即共同變化的程度），故適用的范圍更廣一些，現(xiàn)實意義也更大一些，即找到了一種實際生活中不確定問題的科學化處理方式，并提供可信的解釋依據。對獨立性檢驗思想的理解和領悟能培養(yǎng)學生的辯證思維、批判精神，并進一步提升學生的理性精神[1]。

由于獨立性檢驗的基本思想內隱于其基本步驟中，從而教學的重點應放在獨立性檢驗的統(tǒng)計學原理的理解上，只有掌握基本步驟的操作性、規(guī)則性的知識才能自然“產出”。做獨立性檢驗時，對數(shù)據的收集整理及分析基于概率的視角、統(tǒng)計的方法及推理的邏輯，對培養(yǎng)學生的直觀想象、邏輯推理及數(shù)據分析等核心素養(yǎng)有較大的幫助。

二、教學目標設置

高中數(shù)學課程目標指出，學生通過學習應初步認識數(shù)學的應用價值、科學價值和文化價值，逐步形成批判性的思維習慣，崇尚數(shù)學的理性精神，從而進一步樹立辯證唯物主義世界觀。《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》關于“統(tǒng)計”部分的教學也給出了說明與建議：統(tǒng)計教學必須通過案例來進行。在教學中，教師應通過對一些典型案例的處理，使學生經歷較為系統(tǒng)的數(shù)據處理全過程，培養(yǎng)他們對數(shù)據的直觀感覺，認識統(tǒng)計方法的特點（如統(tǒng)計推斷可能犯錯誤，估計結果的隨機性），體會統(tǒng)計方法應用的廣泛性，并在此過程中學習一些數(shù)據處理的方法，并運用所學知識、方法去解決實際問題。人教A版和B版的高中數(shù)學教材中都舉了“隱私問題調查”的例子，很好地體現(xiàn)了統(tǒng)計的思想——提取信息[2]。選修模塊更是濃墨重彩的用一個章節(jié)對體現(xiàn)統(tǒng)計思想的典例案例進行討論，揭示了實際生活中經常會面臨的預測與推斷的問題：在探索更好的統(tǒng)計方法的過程中雖然能給出合理的解釋，但終究都會承擔犯錯誤的風險，這是統(tǒng)計的本質。通過對生活中新聞案例的探究，激發(fā)學生使用科學化的研究手段分析問題、解決問題的興趣;通過對典型案例的探究，引導學生直觀感受兩分類變量可能具有相關性，會自覺運用統(tǒng)計的方法整理數(shù)據（嘗試多種數(shù)據直觀化呈現(xiàn)方法，如制2×2列聯(lián)表或畫等高條形圖法），理解構造隨機變量K2的必要性，掌握獨立性檢驗的一般方法（提出假設檢驗問題—選擇檢驗的指標—比較指標觀測值與臨界值的大小關系—給出推斷結果及解釋），并能初步應用其解決生活中需要判斷兩個分類變量間關系強弱的問題，加深對統(tǒng)計方法的有效性、局限性及可優(yōu)化性的認識。但囿于教材事先沒有介紹假設檢驗知識，故獨立性檢驗基本思想的完美呈現(xiàn)將會是一個挑戰(zhàn)[3]。

三、學生學情分析

學生已系統(tǒng)學習了統(tǒng)計、變量回歸分析等基礎知識，具備一定的“重直觀、重操作、重優(yōu)化”基本經驗活動。盡管筆者所教授的班級學生具有較強的直觀想象、邏輯推理及數(shù)據分析的能力，但他們對統(tǒng)計思想特別是統(tǒng)計思維與確定性思維的區(qū)別的理解依然是不透徹的，對參與統(tǒng)計全過程的學習機會是欠缺的，因而對典型案例（包括教師選取的、學生自主提出的）的討論就顯得尤為重要。如何引入并建構K2的結構，怎樣準確理解獨立性檢驗的基本思想及背后的理據，給出判定時為什么要說明“在犯錯誤的概率不超過××的前提下”或“有超過××的把握認為”等一系列問題都是學生可能會感到困惑的[4]。根據以上分析，本節(jié)課的教學難點確定為理解獨立性檢驗的基本思想，了解隨機變量K2的含義。

四、教學策略分析

本節(jié)課以問題解決為導向，按照“建構概念—制定規(guī)則—實施操作—精致思想—加強應用”遞進式的研究思路展開，通過對實例的探究，讓學生進一步明確獨立性檢驗的功用、適用范圍及背后的統(tǒng)計學原理，提升隨機性思想的意識，體會統(tǒng)計方法在決策中的作用。數(shù)學源于生活并與之密切相關，為了落實這一課標理念，本節(jié)課通過新聞情景的引入，激發(fā)學生的探索欲望，讓學生體會到所學知識的研究意義與應用價值。為遵循學生由感性到理性，由模糊到精確的認知發(fā)展規(guī)律，本節(jié)課采用從衡量兩變量關系的隨機變量的直觀猜想到合乎情理的科學化論證的研究路徑。本節(jié)課通過激活直觀經驗，為學生呈現(xiàn)一系列與獨立性檢驗有關的“小概率反證法”生活實例，自然地引導學生做出兩變量無關的原假設。“能否發(fā)現(xiàn)足夠的證據拒絕或接受原假設”的質疑突顯制訂判定規(guī)則的必要性，進而概括提煉出獨立性檢驗的基本步驟及思想。

五、教學媒體支持

考慮到本節(jié)課的教學容量較大及圖表、文字等內容較豐富，使用PPT演示文稿輔助教學非常有必要。為直觀體現(xiàn)“吸煙”與“患肺癌”的關聯(lián)性，教師需要演示用EXCEL軟件制作等高條形圖的步驟。教師在引導學生梳理獨立性檢驗的步驟后，為促使他們進一步理解其基本思想與背后理據，可以通過SPSS統(tǒng)計軟件演示獨立性檢驗的整個過程，并請學生操作該軟件，讓學生真正做到“做中學”“學中悟”。

六、教學過程設計

（一）創(chuàng)設情境，激發(fā)興趣

據新聞報道，美國佛羅里達州一名煙民遺孀將美國一煙草公司告上法庭。原告Cynthia Robinson的丈夫Michael Johnson在1996年因肺癌去世，死時年僅36歲。Robinson的律師表示，Johnson從13歲起就每天抽一至三支煙，抽了20多年，“他根本戒不掉，到臨死的那天還在抽”。你認為Robinson能勝訴嗎？[5]

問題1：根據你的分析，你認為Robinson能勝訴嗎？

生1：我認為能勝訴，因為吸煙有害健康，吸煙會減少人的壽命，長期吸煙會增加患肺癌的概率。

師：有道理和醫(yī)學根據，但愛抽雪茄的英國前首相丘吉爾在醫(yī)療水平尚不發(fā)達的年代還能活到90多歲呢。

生2：樣本容量太小，也不具備隨機性，沒有說服力。

師：的確，個案往往不能代表整體，說明你有很好的統(tǒng)計意識。

生3：不一定勝訴。吸煙雖有害健康，但得肺癌的因素很多，不一定是吸煙引起的。

師：事實勝于雄辯，我們需要用數(shù)據說話。為了使調查數(shù)據更形象直觀，我們常通過什么方式呈現(xiàn)呢？

生：列表格。

【設計意圖】以現(xiàn)實生活問題開啟探究之旅，寄寓理性的探究往往源自感性的認識，且是感性的升華。有效的數(shù)學課堂問題情境創(chuàng)設有利于提高學生數(shù)學學習的專注力，使學生保持積極的思維狀態(tài)，進而可以有效激發(fā)學生的學習潛力。同時使學生體會數(shù)學的應用價值，感受使用統(tǒng)計方法研究的必要性。

（二）操作確認，直觀驗證

問題2：假如我們想通過調查，考察吸煙是否與患肺癌有關，那我們需要用到什么樣的數(shù)據？

生：我們需要患肺癌人群中吸煙人群的比例與不患肺癌人群中吸煙人群的比例，并研究它們之間的差距。

師：不錯，我們要收集必要的特征數(shù)據，像這樣是否吸煙、是否患肺癌能有不同的“取值”，如吸煙與不吸煙、患肺癌與不患肺癌，我們稱之為分類變量，兩變量間的相關關系是我們所要研究的。如數(shù)學成績優(yōu)秀與否與物理成績優(yōu)秀與否的相關關系等。

問題3：為研究吸煙是否對患肺癌有影響，某腫瘤研究所隨機調查了9 965人，得到如下結果（見表1），那么吸煙是否對患肺癌有影響？

師：類似于表1，我們稱分類變量的匯總統(tǒng)計表為列聯(lián)表，一般我們研究兩個分類變量只取兩個值，這樣的列聯(lián)表稱作2×2列聯(lián)表。

生：列聯(lián)表可以粗略地估計出，在不吸煙樣本中，有0.54患肺癌;在吸煙樣本中，有2.28患肺癌。因此，直觀感知，吸煙對患肺癌可能有影響。

問題4：為了更直觀地反映兩者間是否相互影響，我們可以用一些特殊圖形如三維柱狀圖、等高條形圖法來展示，如圖1。（教師演示用EXCEL軟件作圖過程。）

【設計意圖】直觀形象的數(shù)據呈現(xiàn)為觀察數(shù)據特征帶來便利，用多種統(tǒng)計圖激發(fā)學生的直觀感知力，為選用更具科學性的統(tǒng)計手段研究兩個分類變量的相關關系做好鋪墊。

（三）啟發(fā)引導，理性構建

師：但事實真如我們的圖象所示嗎？為了使問題的討論更具一般性，我們使用初一學習過的“以字母代數(shù)”，得出2×2的列聯(lián)表（見表2），具體應如何討論呢？

生1：就是要看ba+b-dc+d的大小，該值越大，則說明吸煙與患肺癌關系越強，反之越弱。

生2：也可以看aa+b-cc+d的大小。

師：不錯，最終都是轉化為討論|ad-bc|的大小。實質上我們所說的“有多大的把握認為‘吸煙與患肺癌有關”是數(shù)學中的什么問題？

生：概率問題。

師：那好，我們不妨設事件“吸煙”為A，事件“患肺癌”為B，我們認為吸煙與患肺癌有關，即事件A與事件B有關，那么問題的另一面是什么？

生：事件A與事件B無關，也就是事件A與事件B相互獨立。

師：我們就可以得到一系列的相互獨立事件的概率公式，如P（AB）=P（A）·P（B）;P（A—B）=P（A—）·P（B）;

P（AB—）=P（A）·P（B—）;P（AB）=P（A—）·P（B—）。因此，我們就可以通過概率知識來討論“吸煙”與“患肺癌”兩事件的關聯(lián)性。

生：以事件的頻率代替概率，看四個概率公式的左右兩邊的差距的大小。若差距都很大，說明吸煙與患肺癌關系越強;若差距都很小，則說明關系越弱。

師：不錯，確切地，我們應判定哪個代數(shù)式的大小呢？

生：跟刻畫數(shù)據穩(wěn)定性的方差公式一樣，求四個差距的平方和，化簡整理后是n（ad-bc）2（a+b）（a+c）（c+d）（b+d），（n=a+b+c+d）。與之前的式子里都有相同的結構式|ad-bc|。

師：為了使不同樣本容量的數(shù)據有統(tǒng)一的評判標準，我們構造出了隨機變量：K2=n（ad-bc）2（a+b）（a+c）（c+d）（b+d），（n=a+b+c+d）。

【設計意圖】在教師引導下學生嘗試用多種方法推導刻畫兩分類變量關系強弱的隨機變量，加深了對其中相同結構“|ad-bc|”的理解，并借用反證法的思維模式實現(xiàn)了概率視角下事件獨立性與兩分類變量獨立的問題轉化，為辨析獨立性檢驗與反證法的基本思想做鋪墊。從對兩變量相關性的感性猜想到這一環(huán)節(jié)嚴謹縝密的理性推演的思維互動歷程，彰顯了數(shù)學思維的全面性。

（四）科學探究，歸納概括

問題5：若不清楚兩分類變量是否有關，但事件相互獨立的情形我們是可以研究的。不妨假設兩分類變量是否無關（相互獨立），看是否推出矛盾，即先假設H0：吸煙與患肺癌無關。用頻率近似代替概率，在H0成立的條件下，K2應該越大越好還是越小越好？為什么？

生：越小越好。

師：不錯。也就是K2越大，就拒絕原假設H0，也就是認為它們有關。那究竟多大才能認為它們有關，多小才能認為它們無關呢？

（學生沉默沒有回答。）

師：因此，這就需要一個臨界值，需要一個規(guī)則，臨界值在什么范圍內就認為它們關系強，在什么范圍內它們關系就弱，類似于這樣的臨界值，我們研究過嗎？

生（搶答）：這就是二分法，給出一個精確度，才是一個算法，否則可能無限做下去。

【設計意圖】建構知識網絡結構的主要方式是順應和同化。數(shù)學中的規(guī)定、統(tǒng)計學上的部分結論都是在內部發(fā)展中自然催生的，揭示其共性（或異性）特征及背后的規(guī)律是數(shù)學學習的重要內容。

師：計算出隨機變量K2的觀測值k，并給定一個臨界值k0，就建立一個判斷H0是否成立的規(guī)則。若k≥k0，則判定H0不成立，即認為“吸煙與患肺癌有關系”;若k

師：請問統(tǒng)計值是怎么得來的？比如說6.635。

（學生陷入思考。）

師：好比正態(tài)分布中，若有一個隨機變量服從標準正態(tài)分布N（0，1），根據3σ原則，則落在區(qū)間（-3，3）外取值的概率的概率只有0.0026，這里的臨界值-3與3就是一樣的含義。一般地，如果K2≥6.635，就判定不成立，這種判斷出錯的可能性有多大？

生：出錯的可能性不會超過1。

師：像這種隨著隨機變量的卡方值來判斷在多大程度上認為兩個分類變量有關的方法叫作“獨立性檢驗”。通過以上研究，同學們能否總結出獨立性檢驗的步驟？

生：（1）提出假設：事件A與事件B無關（假設事件獨立）;（2）根據列聯(lián)表與公式計算卡方值;

（3）對照臨界值表，下結論。

【設計意圖】理解隨機變量K2是本節(jié)課的難點之一，利用概率知識解讀卡方臨界值表中數(shù)據的意義，有助于學生理解獨立性檢驗的基本思想。

（五）辨析對比，深化認識

問題6：獨立性檢驗的基本思想與數(shù)學中哪種方法類似？

生：反證法。

師：是的，小概率的反證法。“路邊苦李”就是運用反證法的典型例子。

（教師用課件展示“路邊苦李”的故事。）

師：那這兩種方式是否完全一樣呢？

生：數(shù)學中的反證法是證明命題正確的嚴格方法，而獨立性檢驗依賴于調查樣本數(shù)據，做出的判斷有可能是假的，就好比是頻率分布直方圖中的三數(shù)（平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)）也不一定是準確的。

（教師展示表4，并請學生完成。）

【設計意圖】對獨立性檢驗與反證法的目標、理據及操作步驟進行對比與辨析，有效地溝通新知與舊知，使學生進一步理解獨立性檢驗的基本思想，并學會用聯(lián)系的視角看待事物。

（六）學以致用，總結提升

師：讓我們回到課前的官司，煙民的遺孀能勝訴嗎？

生：能，計算出K2的觀測值k≈56.632，觀察臨界值表知P（K2≥6.635）≈0.01，故在犯錯不超過0.01的情形下認為吸煙與患肺癌有關系。

師：依我看，數(shù)學成績好的同學往往數(shù)學歸納整理得也好，也就是說它們是有關的，你同意這種說法嗎？怎樣用剛學習的知識進行研究？

生：我們認為應該從調查研究開始，分別統(tǒng)計樣本中數(shù)學成績好與數(shù)學成績不太好的同學中數(shù)學歸納整理做得好與不太好的人數(shù)。

師：很好，同學們能用統(tǒng)計思想解決生活中的實際問題。為便于統(tǒng)計數(shù)據，我們應首先從調查研究，收集數(shù)據做起，其次才是分析數(shù)據、處理數(shù)據，真正撬開“數(shù)據的嘴巴”。

【設計意圖】首尾呼應，利用習得的知識解決課前提出的問題，讓學生切實體會獨立性檢驗在決策中的作用，并構畫出“以情入理、由理入情、情理相融”的課堂探究藍圖。

師：看來大家對于獨立性檢驗的基本思想已經掌握得不錯了，接下來我們再看另一個具體的問題。

例1 某高校“統(tǒng)計初步”課程的教師隨機調查了選修該課程的一些學生的情況，具體數(shù)據見表5，請問是否有97.5以上的把握認為主修統(tǒng)計專業(yè)與性別有關？

生：為了檢驗主修統(tǒng)計專業(yè)是否與性別有關系，根據表5中的數(shù)據，得到K2=50×（13×20-10×7）223×27×20×30≈4.844<5.024，所以沒有97.5以上的把握認為主修統(tǒng)計專業(yè)與性別有關系。