人工智能時代的初等數學研究

彭翕成 曹洪洋

【摘 要】基于使用工具的不同，文章將初等數學研究劃分為“石器時代”“農業時代”“智能時代”三個階段，智能時代需要智能工具，智能工具的產生取決于數學現代化的實現，其中數學機械化研究是實現數學現代化的關鍵。基于目前的數學機械化研究成果，結合中學數學的實際需求，文章列舉了豐富的實例，涉及平面幾何、不等式、三角函數等內容，充分展示人工智能在探索數學結論、自動命題等方面的應用。

【關鍵詞】人工智能;初等數學;數學機械化;自動命題

【作者簡介】彭翕成，博士，數學科普作家，主要從事數學文化傳播和數學教育技術的普及;曹洪洋，主要從事計算機輔助數學探索研究。

一、研究背景

1950年，圖靈在論文《計算機器與智能》中提出“機器能否像人一樣思考？”的問題[1]，引起較大反響。1956年，麥卡錫、香農、明斯基等科學家在美國發起舉行達特茅斯會議，首次提出“人工智能”，希望能模仿或擴展人類學習以及其他方面的智能，發展類人智能機器，標志著一門新興學科正式誕生[2]。之后幾十年，人工智能發展起起落落[3]，有過發展繁榮，也曾遭遇瓶頸，但最終于近年大放異彩。繼1997年超級計算機深藍戰勝國際象棋世界冠軍之后，2016年，阿爾法圍棋（AlphaGo）擊敗人類圍棋世界冠軍，人機博弈舉世矚目。因此，有專家稱，人工智能時代已經到來。

2017年至2019年，人工智能連續三年被寫入我國《政府工作報告》。為抓住人工智能發展機遇，國務院印發《新一代人工智能發展規劃》，系統部署了我國人工智能發展的總體思路、戰略目標、主要任務及保障措施，在2030年搶占人工智能全球制高點。不僅在中國，美國、英國、日本、德國、韓國等國家也將人工智能上升為國家戰略，出臺了相關戰略、計劃[4-5]。

人工智能包含但不限于以下課題：自然語言理解、數據庫的智能檢索、博弈、機器人學、自動程序設計、智能解答等。本文研究屬于智能解答領域的分支，主要研究利用計算機自動命題以及解題。

解題研究是數學教學中重要的組成部分。現在的考試繁多，題目需求量大，而且要求試題要有新意，對命題人要求很高，如果用計算機自動命題，可不受已有題目的干擾，創新性強。用計算機解題還可以與已有題庫網站形成互補，能解決題庫中沒有的題目。對于題庫已有的題目，計算機解答系統也可生成解答，通過對照檢驗，檢測原有解答是否正確，還可以給學習者提供多種解答思路。這一研究成果如果能應用推廣，必將為教師教學提供有效的幫助，同時也為智能批改、學習診斷等研究打好基礎。

目前人工智能的研究力量主要來自高校、科研院所及一些大的計算機企業，而初等數學的研究力量主要是中學數學教師，這兩者交集較少，因此有必要在這兩者之間搭建溝通的橋梁，使得先進成果得到更好的應用。

二、初等數學研究的三個時代

初等數學研究歷史漫長，但從研究手段來說，卻沒有太大變化。隨著計算機的出現，特別是近年來智能技術的發展，研究手段也得到了很大的發展。根據研究手段的變化，筆者認為，可將初等數學研究的歷史分為三個時代，或者是三個階段。

（一）赤手空拳的“石器時代”

在很長的一段時間，數學研究被認為只需一張紙、一支筆就夠了，能不能做出有用的科研成果，關鍵取決于研究者下了多少功夫。由于使用的工具十分有限，因此創新極不容易。這一階段我們稱為 “石器時代”，其特點是幾乎沒有工具輔助。

（二）機器輔助的“農業時代”

計算機出現后，自然被用于數學研究。在初等數學研究中，幾何畫板、超級畫板、網絡畫板、Geogebra等工具的應用越來越普遍。繪制幾何圖形是這些軟件的基本功能之一，其通過繪制圖形測量相關數據，拖動點或參數發現變化中的不變量，從而得出結論。實踐表明，類似動態幾何軟件的出現，較之前的研究效率得到很大的提高，發現一些新結論也比以前更容易[6]。這一階段我們稱為 “農業時代”，其特點是應用了一些輔助工具幫助人們進行數學研究，但研究的效率還不是很高，成果出產較慢。

（三）批量生產的“智能時代”

科技的發展日新月異，特別是以阿爾法圍棋（AlphaGo）為代表的智能技術舉世矚目[7]。能不能將這些新技術應用于中學數學研究成為人們關注的焦點。這一新的階段我們稱為“智能時代”，其特點是使用智能工具，提高了研究效率，擴展了研究深度和廣度。而要真正實現這一目標，智能工具只是負責具體執行，根本原動力在于努力實現數學現代化。

三、數學機械化或算法數學

什么是數學現代化，怎樣實現數學現代化，這是每個數學工作者應該關注的問題。數學家吳文俊院士曾提出一個令人深思的問題：農業和工業這樣的體力勞動能機械化，數學研究這樣的腦力勞動，能否機械化？[8]所謂機械化，吳文俊院士認為無非就是刻板化和規格化。由于簡單刻板，因而可以讓機器來實現，又由于往往需要反復千百萬次，超出了人力的可能，因而又必須借助機器來實現。

吳文俊院士進一步指出，數學機械化在中小學課堂就接觸過，在小學用紙筆進行的加減乘除四則運算，就完全是機械化的，正因為如此，才有可能在17世紀巴斯喀利用齒輪轉動制造成加法機器，之后萊布尼茨又把它改進成乘法機器。而到現代，四則運算已可以在電子計算機上實現。如果沒有小學那種已經成為機械化的算法，這些都是不可能實現的。又如幾何定理證明，添加輔助線往往是一種很高超的藝術，但出現了解析幾何，證明定理就有些機械化而容易入手。雖然這些都還算不上真正的機械化或半機械化，但提高了機械化的程度，在機械化的道路上邁進了一大步，在歷史上成為數學進展的劃時代標志[8]。

吳文俊院士認為，貫穿在整個數學發展歷史過程中有兩個中心思想，一是公理化思想，另一是機械化思想[8]。著名數學教育家弗賴登塔爾也有類似的觀點，他認為，對于數學教育說來，數學可分為思辨數學和算法數學。算法中有思辨，思辨中有算法，但兩者又各有特點和不同。在算法數學中，問題解決有較明確的步驟和法則可循;而在思辨數學中，解決問題只能根據一般的邏輯法則對問題中出現的數量關系與空間形式的特點去做具體的分析。例如用算術方法解四則應用題是思辨數學，而用列方程解四則應用題是算法數學;用綜合法解平面幾何是思辨數學，而解析幾何與向量幾何是算法數學。思辨數學更富有技巧，學習它需要更高的機智，從而也培養機智;算法數學是思辨數學的結晶，是從反復的技巧使用中凝成的法則（這種凝成，往往是一種高超的數學思想的產物），使用這些法則可以少花腦力，因而也容易為更多的人所掌握，同時解決問題更具有普遍性。一般地說，算法數學一旦形成，相關的思辨數學便被拋棄。例如一個人一旦掌握了代數法解應用題的方法后，相應的算術法自然被拋棄[9]。目前，數學機械化的研究已經取得一些成果，上文提到的超級畫板便是其中的成果之一。下面筆者通過例子說明智能技術在初等數學教學中的應用。

四、智能技術在初等數學教學中的應用

初等數學分支很多，下文將從平面幾何、代數恒等式（含不等式）、三角幾何公式、三角不等式等方面分別舉例介紹智能技術的應用。具體來說，就是面對若干已知條件，如何深入挖掘信息，推理出更深層的結論;或者面對已有命題，能否仿照其形式，構造出更多類似結論，再從中選取正確命題輸出。

（一）深入挖掘已有條件得出新結論

例1 （2002年四川省初中數學競賽題）如圖1，圓O是△ABC的外接圓，過A的切線與直線BC交于P，過A作AD⊥PO于D。求證：BD·CP=BP·CD。

該題難度不大，圖形也簡單，可看作是兩個常見基本模型的組合：直角三角形斜邊高線模型、切割線模型。但組合起來內涵豐富，遠不是兩個基本模型性質的簡單相加。

如果將BD·CP=BP·CD看成一條線段比例信息，排除AD·OA=AD·OB（化簡后是OA=OB，此類信息應歸于線段相等信息），那么圖中大概有多少條比例信息？估計很少有人會選擇20條以上。

需要指出的是，超級畫板具備智能解答功能，只不過知道的人不多，應用較少。而網絡畫板、Geogebra等工具也在不斷地增加智能推理功能。在吳文俊、張景中兩位院士的帶領下，我國在幾何定理機器證明領域處于世界領先位置。筆者在廣泛吸收已有成果的基礎上，開發了一款能夠自動發現幾何結論的軟件——幾何神算。使用幾何神算搜索，不到一秒鐘就能得到幾十條信息，列舉如下。

線段比例信息：

DOAO=BDBP=ADAP=AOOP=CDCP，

BDAD=ADCD=ABAC=BPAP=APCP，DOCD=BDDP=AOCP，

DOAD=ADDP=AOAP，

DOBD=AOBP=CDDP，

BDAO=BPOP=DPCP，

AOCD=BPDP=OPCP，

ADAO=DPAP=APOP。

角度相等信息：

∠DPB=∠DCO=∠DBO，

∠OCA=∠CAO，

∠OAD=∠APD，

∠DCA=∠DAB，

∠BOD=∠BCD，

∠CAD=∠ABD，

∠ODC=∠OBC=∠BDP=∠BCO，

∠OAB=∠ABO，

∠BCA=∠BAP，

∠DOA=∠DAP，

90°=∠PDA=∠OAP=∠ADO，

∠PBA=∠CAP，

∠COB=∠CDB，

∠BDA=∠ADC，

∠PBD=∠COD，

∠PBO=∠ODB=∠CDP。

三角形相似信息：

△ADB∽△CDA，

△BAP∽△ACP，

△OAD∽△APD∽△OPA，

△OCP∽△ODC∽△BDP，

△CDP∽△OBP∽△ODB。

該題中的結論，例如線段比例、角度相等、三角形相似信息數量之多，遠遠超出我們的想象。因此，這是一道較好的開放題，教師可讓學生自己探索。特別是近年來，考試題型提倡多選題、多空題，由于受到思維的限制，有時候人們很難對問題有全面的認識，因此有必要借助智能技術進行教學和學習。該題簡略分析如下。

由OC2=OA2=OD·OP，即OCOD=OPOC，∠DOC=∠COP，于是△DOC∽△COP，∠OCD=∠OPC。

由PB·PC=PA2=PD·PO，得B、C、O、D四點共圓，于是△PBD∽△POC;

由△PBD∽△POC，得∠DBP=∠DOC，結合∠OCD=∠BPD，于是△DBP∽△DOC，得DBDO=DPDC，即DB·DC=DO·DP=AD2，ADDB=DCAD。

由△PBD∽△POC，得∠DBP=∠DOC，∠BDA=∠ADC，結合ADDB=DCAD，于是△ADB∽△CDA。

由∠POB=∠BOD，∠OPB=∠OBD，得△OPB∽△OBD。

根據以上所得的相似關系，以及角度相等、相等比例線段，不難得出△BAP∽△ACP，△OAD∽△APD∽△OPA，△OCP∽△ODC∽△BDP，△CDP∽△OBP∽△ODB。根據相似關系，可寫出大量線段成比例。

例1是基于已有條件生成結論。幾何題如此，代數題能否實行？下面筆者通過例2繼續進行研究。

例2 已知a+b+c=1，a2+b2+c2=1，你能探索出哪些結論？

分析：不妨設abc=k1，ab+ac+bc=k2，a3+b3+c3=k3，a4+b4+c4=k4，a5+b5+c5=k5，a6+b6+c6=k6，a2（b+c）+b2（c+a）+c2（a+b）=k7，a3b2+b3c2+c3a2=k8，使用符號計算中的消元算法，能得到以下結論。

{k2，-5k4+4k5+1，k4+4k8-1，4k3-3k4-1，4k1-k4+1，3k8-k7，3k1+k7，

3k5+5k7-3，-3k12-6k1+k6-1，-3k1+k3-1，3k4+4k7-3}=0。

其中k2=0，意味著ab+ac+bc=0，以此類推。

計算機得出這些結論之后，還能進一步給出以下解釋。

2（ab+bc+ca）+（a2+b2+c2-1）-（a+b+c-1）（1+a+b+c）=0（1），

2[4abc-（a4+b4+c4）+1]-（-2-a-a2-b-b2-2c+ac+bc）（a2+b2+c2-1）-（a+b+c-1）（a-a3+b+2ab+a2b+ab2-b3+2c+2ac+2bc-2abc+ac2+bc2-2c3）=0……（2），

基于上述恒等式，得出ab+bc+ca=0，4abc-（a4+b4+c4）+1=0。如果說（2）式太長，人們難以理解，那么（1）式可以幫助我們更好地理解。

例3 （2017年全國高考文科試題）已知a>0，b>0，a3+b3=2，證明：a+b≤2。

分析：因為（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab·（a+b）≤2+3（a+b）24（a+b）=2+3（a+b）34，所以（a+b）3≤8，a+b≤2。

機器生成恒等式：3（2-a-b）=（a-1）2（2+a）+（b-1）2（2+b）+（2-a3-b3）。

因為3（2-a-b）表示為若干非負項相加，所以所得結果必為非負，命題得證。恒等式證明簡便快捷，為該題的解答帶來新的啟發。事實上，當學生給出恒等式證明時，其已經不自覺地運用了“多項式理想”“零點集”這些知識點，而不是簡單地運用代數變形或者套用不等式定理。

（二）模仿已有命題得出新結論

S=12absinC是我們熟悉的三角形面積公式。該公式可看成由三個部分組成：系數12，線段的二次方ab，角度的函數sinC。能不能讓計算機根據這些特征，嘗試生成另外的三角形面積公式？經過研究發現，這完全可以實現。憑借計算機高速的計算能力，在一兩分鐘內可嘗試百萬次，計算機輸出結果如下。其中設△ABC的面積為S，三邊長為a、b、c，三個角為A、B、C，外接圓半徑為R，內切圓半徑為r。

（1）S=ab+bc+ca2（1sinA+1sinB+1sinC）;

（2）S=（a+b+c2）2tanA2tanB2tanC2;

（3）S=2ab+2bc+2ca-a2-b2-c24（tanA2+tanB2+tanC2）;

（4）S=a2+b2+c24（cotA+cotB+cotC）;

（5）S=a（b+c）sinBsinC2（sinB+sinC）;

（6）S=14（b2sin2A+a2sin2B）;

（7）S=18（a+b-c）（a-b+c）（-1+cotA4）（1+cotA4）tanA4;

（8）S=14（a+b-c）（a-b+c）cotA2;

（9）S=-14（a2-b2-c2）tanA;

（10）S=12（a+b+c）r（cot2Acot2B+cot2Bcot2C+cot2Ccot2A）;

（11）S=R（acosA+bcosB-ccosAcosB）;

（12）S=rR（sinA+sinB+sinC）;

（13）S=12R2（sin2A+sin2B+sin2C）;

（14）S=r2cotA2cotB2cotC2;

（15）S=r2（cotA2+cotB2+cotC2）。

以上關系式的證明并不難，但要是在沒有提示的情況下，讓學生獨立發現，也不容易。即便能發現一兩個關系式，也很難發現這么多。也就是說，在不借助計算機的情況下，一次性得到這么多式子是不容易的。在這些面積關系式中，還有其他關系，譬如結合第（14）和（15）式子，可得cotA2cotB2cotC2=cotA2+cotB2+cotC2。

能仿寫得到等式，能否仿寫得到不等式？以下通過例4進行研究。

例4（《數學通訊》2020年第8期問題征解459）在△ABC中，證明：sinA2cosB-C2+sinB2cosC-A2+sinC2cosA-B2≥32。

計算機模仿題目可自動生成若干表達式，并從中選取11個表達式，分別設為ti，并根據大小生成如圖2所示的關系圖。圖中的箭頭是表示較小者指向較大者（含相等），譬如例4就是32→t4≤sinA2secB-C2+sinB2secC-A2+sinC2secA-B2→t5。其中，

sinA2tanB-C2+sinB2tanC-A2+sinC2tanA-B2→t1，

tanA2tanB-C2+tanA-B2tanC2+tanB2tanC-A2→t2，

0→t3，

32→t4，

sinA2secB-C2+sinB2secC-A2+sinC2secA-B2→t5，

2→t6，

cosA2tanB-C2+cosB2tanC-A2+cosC2tanA-B2→t7，

tanA2secB-C2+tanB2secC-A2+tanC2secA-B2→t8，

cosA2secB-C2+cosB2secC-A2+cosC2secA-B2→t9，

cotA2tanB-C2+cotB2tanC-A2+cotC2tanA-B2→t10，

cotA2secB-C2+cotB2secC-A2+cotC2secA-B2→t11。

五、結語

隨著計算機的發展，人工智能在某些領域產生了深刻的影響。但人工智能應用于中小學教育，仍處于起步階段，有待于進一步探索。

從宏觀上來說，隨著教育部相關課程標準的制定，全國各地也出版了人工智能與教育應用的教材，其內容五花八門。在中小學階段，進行人工智能相關研究，有助于學生應對智能時代的變革和挑戰，也是國家培養高科技人才的迫切需要。筆者認為，對于條件比較好的學校，可以嘗試開設機器人、無人機等課程。而對于條件一般的學校，考慮到師資力量、學生課時、升學壓力等因素，建議學校可將人工智能的研究與具體的中小學學科教學研究結合起來，譬如嘗試與數學學科結合起來，有助于培養學生的計算思維，這樣花費的時間少，但取得的效果可能更加明顯。

從微觀上說，人工智能教育應用的時代還沒有真正來臨。雖然人工智能已經有一些研究，也有希望應用于教學，但離實際落地還有一定距離。以應用于初等數學研究而言，本文所述只是眾多應用中的幾個小案例而已，所述智能技術只是統稱，目前大多數還是以算法形式散落在學術期刊，并沒有形成可直接使用的軟件。要將這些算法一個個編程實現，開發為可供中小學老師簡單操作的軟件，還有很長的路要走。如果能將人工智能數學應用做成

典型，加強科學規范管理，形成體系化、結構化的案例集和資源庫，然后以點帶面，帶動其他學科，將有助于推進人工智能在中小學教育應用和發展。

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（責任編輯：陸順演）