基于APOS理論下指數函數概念教學策略

從建華 王芳

摘 要：概念教學其實就是學生了解和學習數學知識的起步階段，就好比在生活中我們新認識一位朋友，首先我們需要對這位朋友的基本情況進行了解，譬如性格特點、家庭情況等，這樣才能使我們對這位朋友進行合理的判斷。學習數學知識也與之相同，因此在數學課堂教學過程中，數學概念知識教學不僅是教學內容中的重要組成部分，也是開展課堂教學的主要內容。學生只有真正了解及掌握概念知識后，才能更深層地學習數學知識及形成數學技能。

關鍵詞：APOS理論;數學概念教學;教學策略

函數知識在高中階段數學學科教學中不僅是重要教學內容，也是培養學生思維能力的重要教學依據。但是，由于函數概念知識的抽象、深奧，導致學生在學習過程中遇到種種困難，并且也不能較好地理解函數相關知識。“指數函數”在高中階段是學生接觸函數的第一步，為在起步階段就為學生奠定堅實的基礎，為后續函數知識學習提供方法和思路。教師和學生都應當高度重視，但是實際情況卻并不理想。學習過程中出現系數、指數、概念、圖像等知識不能深刻理解的問題，基于以上情況，就可以應用美國數學家杜賓斯基創立的APOS理論為高中指數函數概念教學提供新的理論支持，以及為教師提供全新的教學策略。

一、APOS理論概述

APOS理論是由美國數學家杜賓斯基創立的，在APOS理論中其主要分為四個階段，并且理論組成是由四個階段的首字母組合形成的。第一個階段是操作階段（action），第二個階段是過程階段（process），第三個階段是對象階段（object），第四個階段是圖式階段（schema）。雖然，APOS理論是以上四個階段整合形成的，但構建這四個階段是需要具有一定思維基礎的。此時，就可聯想到皮亞杰的反抽象思維能力，反抽象思維方式與我們現有的經驗思維方式屬于對立面，并且實際獲得途徑和來源也并不相同。通常情況下人們在參與課堂學習、實踐活動等，都會根據活動中呈現的事物或參與收獲經驗進而形成抽象思維，但反抽象思維卻與之相反，它主要是由人們參與活動并對實際參與情況、任務、目的等方面結合于一體后進行反思后形成的一種抽象思維方式。

將APOS理論與其他教學理論對比分析顯示，其在教學方式方面存在一定區別，它其實是為了數學概念學習而創造的理論，因數學這門課程具有一定神秘性和深奧性，自然數學中的大部分概念知識也都是抽象、深奧的。在實際課堂教學過程中若直接呈現教材中的數學概念知識，學生學習起來確實非常困難，且學生參與學習的興趣也并不高。基于數學概念的三個特點——發展過程、呈現方式、概念理解等抽象性特點，使得高中數學函數概念課堂教學效率和效果一直呈下滑趨勢發展。而將APOS理論應用于高中數學課堂，就可針對性解決這一問題。

二、基于APOS理論下指數函數概念教學原則與思路

（一）教學設計原則

根據指數函數概念這部分知識的特點，以及綜合各方面的因素在實施APOS理論時課堂教學設計需要以下三方面為主要核心：“教學設計要具有整體性、教學目標設計要具有明確性、教學設計要注重培養學生自主探究意識。”首先，指數函數概念教學設計應具有整體性，因APOS理論將教學設計分為四個階段，但是這四個階段卻不是互相關聯的[1]。這四個階段知識會在教學設計初期根據數學內容進行合理劃分，指數函數的定義、圖像、性質、應用等，然后在具體教學過程中仍然會依照知識本身的發展順序和學生的身心發展規律進行授課，同時也要注意各個教學環節的有機結合與統一。由此可見，教學設計過程對于整節課堂教學過程的完整性具有重要作用。其次，在教學設計時需要將本節新知內容與APOS理論的四個階段進行一一對應，并根據實際內容及學生學習情況明確制訂教學目標及任務，進而有效改善學生學習概念性知識比較困難的情況。最后，在指數函數概念教學這節課中，不僅要注重傳授知識和提高課堂教學效率和質量，還要注重凸顯學生課堂主體地位，并對學生自主探究能力方面進行培養與增強，使學生在參與學習過程中可在原有知識基礎上收獲更多。此外，因指數函數概念知識具有一定抽象特點，在設置教學例題時還要從易到難進行合理過渡。

基于以上幾點原則，教師還可為學生設置促進提高創新思維和創造性的瞬間活動，來提升學生的創造性和創新思維能力。同時，活動設置也要貼近日常實際生活，這樣既有助于學生理解數學知識，也可以幫助學生在日常生活中進行實踐應用。

（二）教學設計思路

例如：教師在講解“指數函數性質”這部分內容時，教師首先需要對學生實際情況進行了解分析，然后根據教材內容的教學目標和重難點與學生實際情況進行對比分析，再進行有機整合教學設計。根據APOS理論這部分知識教學設計會分為四個階段：第一階段自然是操作階段，教師依照教學內容為學生設計問題情境，引導學生在情境中實現操作。情境創設時要注重與日常生活實際進行有機結合，這樣既可以簡化教學語言的神秘性，也可增進數學知識與生活的緊密聯系。這一階段的主要教學目標是根據學生參與實踐應用可以寫出函數關系式，以及通過對問題的分析與思考學生掌握定義域相關知識。第二階段，當學生在參與操作階段后仍然保持著較高的學習興趣，教師可通過引導的方式讓學生將指數函數的定義進行抽象處理，進而可以根據所學知識來區分指數函數概念知識和函數概念知識。第三階段，主要是引導學生將指數函數的圖形和性質作為對象進行學習及掌握，在這一階段教師需要借助信息技術與教學內容進行有機結合。教師在教會學生自己去描繪函數圖像的同時，還要利用指數函數圖像來進行比較大小，為學生講解指數函數定義域相關知識點。學生在進行此部分知識學習時，大部分學生都會出現無法理解的情況，根據學生的問題教師就可引導學生將函數看作獨立的對象，然后再對指數函數圖形與性質進行探究分析，繼而使學生在探究分析過后真正理解定義域和值域這部分知識[2]。第四階段，這一階段也是指數函數教學的整體把控階段。主要教學重點是指數函數知識的實際應用，將其應用于日常生活中便于解決實際生活中存在的數學函數問題。其次，是學生在學習指數函數這部分知識后，還可以為后續學習函數概念知識奠定堅實的基礎。

三、基于APOS理論視角下的指數函數教學設計對策

（一）活動階段

首先，在參與活動過程中要積極引導學生參與，熟悉具體操作步驟，深刻體會整個發展過程，進而對學生探究分析和抽象概括能力方面進行培養，以指數函數的概念為實例，教師可借助日常生活實際案例，通過折紙的方式將一張面積為1正方形的紙進行平分，并根據折紙情況提出問題，面積與折紙次數之間有聯系嗎？教師設置此類活動，會促進學生理解在日常實際生活中到處都是函數知識，同時也會對學生學習興趣和求知欲進行有效激發。

（二）過程階段

在參與實踐過程這一階段，也可以說是學生實操階段。在學生參與活動時教師可根據實操情況設置相應問題，來促進學生及時根據實際情況進行反思總結，這樣也有助于學生深刻理解概念的精髓所在[3]。進而，促使學生通過實踐反思后，也可將反思抽象性思維方法應用于函數概念學習中。

（三）對象階段

APOS理論中的對象階段，這一階段主要引導學生將某一概念性知識從心理層面進行合理內化，將其視為心理對象繼而進行整體操作。比如：在學習指數函數概念知識時主要是引導學生學會辨別哪些是指數函數，需要引導學生根據單調性，最大（小）值、奇偶性等進行合理區分，以及求知與之對應的函數值。

（四）圖式階段

在圖式階段，大部分學生都已經對函數概念知識形成一個整體學習框架，對概念知識的形成、發展、運用及應用過程與其他概念知識的聯系和區別，大致都具有基本范圍。如在指數函數概念這部分知識講解時，大部分學生對指數函數的相關定義、圖像、性質等都有一定了解，但是在學習圖式階段卻需要一定的時間，此時就需要學生在日后學習過程中對數學知識有更深入的理解。

四、基于APOS理論下指數函數概念教學結果分析

經過實踐論證表明，在APOS理論下進行指數函數概念教學不僅可有效激發學生學習興趣，同時也能提高學生參與課堂活動的積極性，以及對學生自主探究能力方面進行強化等。

從學生在操作階段實際學習情況分析來看，學生一直保持著積極活躍的學習狀態，且在學習過程中學習知識都具有濃厚的學習興趣。大部分學生的知識接受情況比較好，但是因學生之間存在各種能力差異情況，當引導學生從日常實際生活建立數學模型這方面時就出現了較大差異。根據這一情況在日后教學過程中，若在設計指數函數模型相關內容時，教師可鼓勵學生到實際生活中進行探索發現指數函數。

在過程階段教學中，學生已經對概念性知識有初步了解，但是并沒有完全理解和掌握[4]。因此，教師會依照學生實際情況來為學生講解辨析指數函數概念知識，同時還要合理對指數函數概念知識進行合理延伸，只有這樣才能為學生提供既清晰又直觀的內容。此外，在日后教學設計鞏固復習階段，還需要增加學生反抽象思維的練習活動，進而夯實學生對指數函數概念產生更深入的理解。

第三階段，對象階段，主要是對所學知識進行實際應用，并根據所學知識繪制指數函數圖像等。若學生知識掌握并不扎實，在學生進行指數函數標點時就會出現問題，為了避免這一情況出現在教學中還要增多鞏固練習，使學生真正在理解和掌握的基礎上對指數函數進行處理。

第四階段，也是學生最不容易達到的階段，因為成功的背后都是需要付出辛苦努力的，圖式階段也是如此。因此在日后教學過程中教師可通過梳理知識結構的方式，幫助學生完成圖式階段的建構，進而增強學生創新思維能力。

結束語

在高中數學學科指數函數概念教學過程中，將APOS理論作為教學實施的核心依托，主要會將整個教學環節分為四個階段進行。基于此，在將其落實到具體課堂教學中是以活動階段為導入環節;然后通過鼓勵學生參與活動過程進而根據自身感官現象理解進行思考分析，當學生在教師多次引導下就會根據自身經驗，對學習和掌握的概念知識形成各個階段的不同思考范式。使學生在不同階段中既可以學習掌握數學知識，也可以對自身思維能力與水平進行升華。最終在圖式階段完成指數函數概念知識的學習，進而促進數學課堂教學效率和質量呈上升趨勢發展。

參考文獻

[1]鄧云春，邱吉，譚曉航.基于APOS理論的“指數函數概念”教學設計[J].中學數學研究（下半月），2020（2）：19-21.

[2]陳麗.基于APOS理論的指數函數概念教學設計[J].數學學習與研究：教研版，2020（10）：16-17.

[3]劉祥.基于APOS理論下的小學數學概念教學的研究：以俞正強教師教學“分數的初步認識”一課為例[J].小學教學參考，2020（11）：22-24.

[4]吳統勝.基于APOS理論的概念教學設計研究與實踐：以“分層抽樣”教學設計為例[J].中學數學研究（下半月），2020（8）：6-10.