在探究學習中提高數學核心素養

夏洪

[摘? 要] 《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》指出“數學在形成人的理性思維、科學精神和促進個人智力發展的過程中發揮著不可替代的作用.數學素養是現代社會每一個人應該具備的基本素養.” 數學核心素養綜合體現在“發現與提出問題，分析與解決問題”的過程中，核心素養的培養是需要教師以知識發展為線索的學習活動，知識發展是需要以知識深入探究為原則的學習活動，知識探究是需要以學生為主體的學習活動.文章以一道橢圓習題的探究教學為例，探討在探究學習中如何提高學生的數學核心素養.

[關鍵詞] 核心素養;探究學習;橢圓

數學學習不只是讓學生背誦一些重要公式，記住一些定理、結論，更重要的是要讓學生形成數學思維，形成用數學眼光觀察世界、感悟世界，并從中形成自己的世界觀、價值觀. 數學更重要的是讓學生形成嚴謹的治學態度、一切從實際出發的人生理念.數學學科的特點是高度抽象，這就需要學生有主動探索的動力，需要有適合不同學習內容的學習方法.高中數學課程應力求通過各種不同形式的自主學習、探究活動，讓學生體驗數學發現和創造的歷程.探究活動的根本在于學生的主動參與，學生根據學科知識的發展，在老師的指導下，或者在自學產生困惑的引領下，用學科的思維、學科的眼光、學科的方法對問題進行研究，在研究過程中獲得新的知識，發散新的思維，升華學科知識，提升自身能力.數學探究學習是提高學生學習主動性的有效措施.其具體操作過程是創設數學情境、精心設計變式，側重于學生的自主探究、合作探究，讓學生在活動中、變式中、運算中、推理論證中去獲取數學知識，由此體現新課程所提倡的“做數學”.

解析幾何是高中數學重要的研究內容，其中橢圓又是歷年高考的必考知識.橢圓問題的解決多是將幾何問題代數化，在橢圓題目教學中，我們可以通過改變題目的條件，發展題目的外延，從而探究橢圓的本質，培養學生的探究能力，可以有效提升學生的數學抽象、邏輯推理和數學運算等核心素養.

[?]原題及解法

人教版（A版）高中《數學》選修2-1 49頁，習題2.2A組第6題：已知點P是橢圓+=1上的點，且以點P及焦點F，F為頂點的三角形面積等于1，求點P的坐標.

分析：此題是對橢圓焦點三角形的考查. 我們稱以橢圓上任意一點P與橢圓兩焦點F，F為頂點組成的三角形為橢圓的焦點三角形.解答本題將用到三角形的一個面積公式，三角形的面積=.

解析：由已知，橢圓焦點F（-1，0），F（1，0），設P（x，y），則S=

F

F·y=1. 解得y=±1，代入橢圓方程得x= ±，所以滿足題意的點為：P

，1

或P

，-1

或P

-，1

或P

-，-1

.

[?]變式及應用

變式1：已知點P是橢圓+=1上的點，左、右焦點分別為F，F，若PF所在直線斜率為-2，求△PFF的面積.

變式2：已知點P是橢圓+=1上的點，左、右焦點分別為F，F，若PF所在直線的傾斜角為30°，求△PFF的面積.

變式3：已知點P是橢圓+=1上的點，左、右焦點分別為F，F，若∠F1PF2=30°，求△PFF的面積.

解答本變式將用到三角形的另一個面積公式，三角形面積=兩夾邊之積乘夾角的正弦值的一半.通過引導學生對原題的變式，使學生掌握了橢圓焦點三角形更全面的基本知識，并能通過變式拓寬其數學視野.

在此，通過利用類比的數學思想，由特殊推廣到一般，引導學生探究出橢圓焦點三角形面積的一般結論.

已知點P是橢圓+=1上的點，左、右焦點分別為F，F，若∠FPF=θ，求△PFF的面積.

解析：由橢圓的定義知，

PF+

PF=2a，平方得：

PF2+

PF2+2

PF·

PF=（2a）2（1）. 在△PFF中，由余弦定理得：

F

F2=

PF2+

PF2-2

PF·

PFcos∠FPF，即

PF2+

PF2-2

PF·

PFcosθ=（2c）2（2）. 由（1）-（2）得：

PF·

PF==，所以S=

PF·

PF·sin∠FPF=. 由三角函數二倍角公式sinθ=2sin·cos，cosθ=2cos2-1可得：S=b2·tan.

以上過程，讓學生經歷一次完整的探究過程，從一個簡單的例題著手，得出一般的結論，教師給學生搭建合理的認知，讓學生感受和體驗了知識的發生、發展、應用過程，讓學生學會從特殊問題，總結提煉出數學的一般結論，也就體現了由特殊到一般的數學思想.這一過程提高了學生從數學角度去發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力，提升了學生的數學運算能力和歸納總結能力.

[?]探究及推廣

在這里出現了“”，其表示∠FPF的一半，也就由此聯系到∠FPF的角平分線問題.

探究1：已知點P是橢圓+=1上的點，左、右焦點分別為F，F，若∠FPF的角平分線PM交x軸于點M（m，0），求m的取值范圍.

解析：由三角形的角平分線定理“三角形一個角的平分線與其對邊所成的兩條線段與這個角的兩邊對應成比例”得=，

PF=2a-

PF=2-

PF，

MF=m+1，

MF=1-m ，所以

PF=（1-m）. 又-1<

PF<+1，所以-1<（1-m）<+1，所以-

我們研究了內角平分線，可以再探究一下外角平分線.

探究2：已知點P是橢圓+=1上的點，左、右焦點分別為F，F，若∠FPF的外角平分線為l，求證：直線l為橢圓在點P處的切線.

證明：用定義法. 在FP的延長線上取一點N，使PN=

PF，在l上任取一點M（不同于點P），連接MN，MF，MF，由此得△PMN≌△PMF，則有MN=

MF.在△FMN中，

MF+MN>

FN，即

MF+

MF>2a，點M在橢圓外，由此得出直線l與橢圓有交點，并且只有一個交點. 這就得出結論：直線l為橢圓的切線.

變式1：已知點P是橢圓+=1上的點，左、右焦點分別為F，F，若∠FPF的角平分線為l，求證：直線l與橢圓在點P處的切線垂直.

探究3：已知點P是橢圓+=1上的點，左、右焦點分別為F，F，作△PFF的旁切圓T（與邊FP相切），求旁切圓的圓心T的軌跡方程.

解析：設圓T與FP相切于點A，圓T與FP相切于點B，圓T與x軸相切于點C，由切線定理知

FA=

FC，

FB=

FC，PB=PA，點P在橢圓上，所以

PF+

PF=2a=2，則

FA-PA+PB+

BF=

FC+

FC=2. 由橢圓的定義知，點C在橢圓上，則點C（，0）且CT與x軸垂直，所以x=. 綜上，圓心T的軌跡方程為x=（y≠0）.

本節課從橢圓焦點三角形面積出發，探究了橢圓上的點與焦點連線所成角以及斜率之間的數量或位置關系，步步深入，引人入勝. 通過探究，將學生的能力從一個水平延伸至另一個更高的水平.

通過更深層次的探究，引導學生深入思考，培養學生的研究能力. 讓學生在探究過程中，體會橢圓知識的發生發展過程，感受橢圓知識的脈絡，感悟橢圓知識中蘊含的數學深度，提升學生的邏輯推理、數學運算等數學核心素養.

對學生數學核心素養的提升貫穿于整個教學活動中，通過引導學生對課本習題的探究，讓學生有了數學基本活動的經驗，讓學生親身經歷知識的發展過程. 數學探究活動發揮學生學習的主動性，由“教師教”轉變為“學生學”，突出以生為本的教學理念，突出學生的自主學習、自主思考，并逐步將知識內化.數學探究活動更是將學生置身其中，讓學生主動參與，做學習的主人，在快樂學習中提升數學思維. 學生在數學活動中不斷積累，在積累中所獲得的豐富而有價值的經驗往往是孕育素養、形成智慧、進行創新的重要基礎，是學生學科核心素養得以提升的保障.