探究極點極線，應用強化思考

顧芳芳

[摘? 要] 極點極線定理定義在圓錐曲線問題中有著廣泛的應用，該定理對于學生而言相對較為陌生，但深刻理解，靈活應用，可顯著提升解題效率，因此深入探究有著現實的意義. 文章從問題背景、知識定義、定理規律、應用強化等方面深入探究，并提出相應的教學建議.

[關鍵詞] 極點;極線;圓錐曲線;定理;定義;應用

極點極線結論是研究圓錐曲線內在性質的基本理論，雖然在高中教材中體現得并不突出，但其作為圓錐曲線的基本特征，在高考解題中有著廣泛的應用，利用該結論可挖掘問題本質，快速確定解題方向，提高解題效率. 該結論備受命題人青睞的原因有兩點：一是具有高等數學的背景，拓展性強;二是可以全面考查學生的數學思維，以及推理運算能力，下面對該結論深入探究.

[?]提出問題

問題：已知過拋物線C：y2=4x的焦點的直線與拋物線相交于點A和B，拋物線在點A和B的切線交于點P，則點P的軌跡為________.

解析：探究拋物線切線交點的軌跡，方法有很多，下面探究其中的兩種.

傳統方法：設直線AB的方程為x=my+1，交點A（x，y），B（x，y）（y>0，y<0），聯立直線AB與拋物線的解析式，整理可得y2-4my-4=0. 由韋達定理可得y+y=4m，yy=-4，則有y=2，y′=，可知拋物線在點A的切線方程為y=x+①，同理可求出拋物線在點B處的切線方程為y=x+②，聯合①②可得

-

x=-，從而有x==-1，所以點P的軌跡方程為x=-1.

通性通法：可直接設A（x，y），B（x，y），P（x，y），則拋物線在點A處的切線方程為yy=2x+2x，因為點P在該切線上，故可得yy=2x+2x. 分析可知點A和B均滿足方程：yy=2x+2x，即該方程就為直線AB. 又知直線AB過拋物線焦點F（1，0），所以2x+2=0，可得x0=-1，從而可知點P的軌跡方程為x0=-1.

[?]問題探究

另外，上述關于點P的軌跡，由軌跡方程可知其軌跡實則為拋物線的準線，利用該方法探究橢圓問題也可得到類似的結論，實際上問題中隱含了圓錐曲線的極點與極線知識，利用該知識可高效解決問題，下面深入探究.

1. 關于極點與極線的定義

視角一：幾何定義

如圖1所示，點P是圓錐曲線外的一點，過點P引出兩條割線，與圓錐曲線依次相交于點E，F，G，H四點，連接EH，FG，兩線交點設為點N;再連接EG和FH，兩線交點設為點M，其中直線MN就為點P對應的極線. 如果點P位于圓錐曲線上，則過點P的切線就為該點的極線.

同理可知PM為點N對應的極線，點M對應的極線則為PN，所以MNP可稱為自極三點形. 若連接MN，與圓錐曲線相交于點A和B，則PA和PB就為圓錐曲線的兩條切線. 同時上述作圖過程也是兩切線交點P對應極線的作法.

視角二：代數定義

已知圓錐曲線Γ：Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0（A，C不全為0），則稱點P（x，y）和直線l：Axx+Cyy+D（x+x）+E（y+y）+F=0是圓錐曲線Γ的一對極點和極線. 對于上述方程，在圓錐曲線中可用xx替換其中的x2，用替換x;同時用yy替換其中的y2，用替換y，可得到點P（x，y）的極線方程. 以橢圓標準方程+=1為例，點P（x，y）對應的極線方程為+=1.

2. 關于極點與極線的結論

極點與極線有一些常用的定理結論，合理利用可簡化解題過程，具體如下.

定理1：當點P位于圓錐曲線Γ上時，則極線l是曲線Γ在點P處的切線;當點P位于Γ外時，則極線l是曲線Γ從點P引出的兩條切線的切點連線所確定的直線;當點P在Γ內部時，則極線l是曲線Γ過點P的弦線兩端點處的切線交點的軌跡.

定理2：如果圓錐曲線中存在一些極線共點于點P，則這些極線相應的極點共線于點P對應的切線，逆推同樣適用.

【教材回顧】

極點和極線充分反映了圓錐曲線的基本性質，雖然教材中沒有對極點和極線進行鮮明的定義，但在教材的解析幾何問題中有一定的體現. 如下面一道例題，利用極點與極線的定理結論可較為簡捷地完成證明.

例題：過拋物線y2=2px的焦點的一條直線與此拋物線相交于兩點，若兩個交點的縱坐標分別為y，y，證明：yy=-p2.

證明：由拋物線解析式可得焦點F

，0

，直線l與拋物線的交點可設為點A

，y

，B

，y

，三點對應的極線方程分別為x=-，yy=p

+x

，yy=p

+x

. 由于點A，F，B三點共線，根據極點與極線的定理2可知，三點對應的三條極線共點，將x=-代入后兩式中，可得yy=y-，yy=y-，兩式相除可得=，整理可得yy= -p2，得證.

評析：例題是一道關于拋物線與直線相交的證明題，可以采用傳統的方程聯立的方法，也可利用極點極線的知識來求解. 上述充分利用了極點與極線的定義，求出所涉點的極線，并利用對應的定理結論，直接推理出關鍵三點所對的極線共點，進而簡化變形證明結論.

【應用探究】

極點與極線的知識結論雖然不是高中課標的教學內容，也不是高考大綱的重點考查點，但是作為圓錐曲線重要的基本特征，在實際考題中有著一定的應用，也常作為高考命題背景出現在解析幾何壓軸題中，下面對其知識應用進行深入探究.

問題：已知橢圓M的方程為：+=1（a>b>0），其離心率為，焦距為2，若斜率為k的直線與橢圓M相交于A，B兩點，試回答下列問題.

（1）求橢圓M的方程;

（2）若k=1，求AB的最大值;

（3）已知點P（-2，0），直線PA與橢圓M的另一交點為C，直線PB與橢圓的另一交點為D，若點C，D和Q

-，

共線，試求k的值.

解析：（1）M的標準方程為+y2=1.

（2）設直線AB的方程為y=x+m，聯立直線與橢圓的方程，整理可得4x2+6mx+3m2-3=0. 由Δ>0可得m2<4，設交點A（x，y），B（x，y），由韋達定理可得x+x= -，xx=，則AB=·

x

-x=，易得當m=0時，AB可取得最大值，且最大值為.

（3）過點P作橢圓M的兩條切線，設切點分別為點G和H，連接GH，設與AC的交點為S，與BD的交點為T，再設直線AB與CD的交點為點R，如圖3所示.

由極點與極線的定理可知，點P關于橢圓M的極線為GH. 將點P（-2，0）代入+=1中，可求得直線GH的方程為x=-，與橢圓M方程聯立，可解得點G的坐標為

-，

，從而可求得直線PG的斜率為k=1. 根據極點與極線的性質可知（PS，CA）=-1，又因點Q

-，

，點P（-2，0），可知點Q為線段PG的中點. 設點E是直線PG的無窮遠點，結合相關知識可得（PG，QE）=-1，即有（PS，CA）=-1=（PG，QE），于是直線GS，QC，AE共點. 由于直線GS，QC相交于點R，因此直線AR的無窮遠點也是點E，所以可證AB∥PG，即k=k=1.

極點與極線在圓錐曲線問題中有著廣泛的應用，上述充分探究了知識定義、定理，并結合考題展示了極點與極線的知識應用，從而可感知到極點與極線知識內容的豐富性，深入探究極點與極線知識，不僅可以拓寬學生的知識維度，還可以拓展學生的思維，培養學生分析數學內在關系、挖掘定理關聯的思維習慣.

隨著課改的推行，命題教師越發注重初、高中數學的銜接，關注高等數學的知識素材，高考試題中出現了一些拓展性極強的綜合性試題，問題難度雖大，但解法的拓展性極強. 高觀點的角度看待問題，深入研究問題的本質，挖掘其中的知識規律，才能真正理解問題內涵，找到解決問題的本源解法，這也是考題探究、定理探究的目的所在.

而在實際教學中，提出以下幾點建議：采用知識探究的方式，引導學生循序漸進地了解定理背景，理解定理定義，總結知識規律，強化定理應用，形成一個系統的閉環探究過程;教學中要注重學生的思維培養，關注學生的思維活動，以學生為主體，充分發揮教師的引導作用，讓學生充分思考，形成獨立的思維習慣;合理變式探究，定理探究應注重應用理解，立足定理開展應用強化，讓學生掌握定理的應用方法、步驟，同時可對比考題的傳統解法，讓學生感知定理規律的價值.