基于有限元法的活動彎頭接觸特性分析*

安劭俠，簡曉輝，馬 利，霍軍周

(1.大連理工大學機械工程學院,遼寧 大連 116024;2.中國水利水電第八工程局有限公司工程設備公司，長沙 410004;3.中鐵隧道股份有限公司，新疆 阿勒泰 836100)

0 引言

活動彎頭是一種可靈活改變空間角度的管線接頭，實現高壓管匯360°旋轉以及局限空間管匯的連接，是非常規油氣開采行業的重要配件，廣泛應用于壓裂、酸化、固井等場合。活動彎頭由公母彎頭體、滾珠、由壬和密封件等組成，在高壓流體、高速運動固相粒子的沖刷、流體腐蝕等惡劣工況下進行工作。在極端的服役條件下，常常由于活動彎頭的硬度和耐磨性較差，致使彎頭內壁由于沖蝕磨損嚴重而被刺穿和滾道槽在擠壓作用下發生變形而導致彎頭轉動受阻。據統計活動彎頭失效事件占到總高壓管匯失效事件的25%，大大增加了工程成本[1]。針對活動彎頭的失效形式，對活動彎頭進行受力分析，并據此優化活動彎頭的結構，能夠有效減少活動彎頭關鍵承壓部件發生失效問題的可能性。

國內外有關活動彎頭的研究主要側重于流體對活動彎頭沖蝕磨損研究。文獻[2]研究了高壓管匯在受載下的應力分布規律，并應用低周疲勞理論對高壓管匯的直管、彎頭進行疲勞斷裂分析，為高壓管匯的損傷容限設計提供理論借鑒。文獻[3]探究了顆粒數量對彎頭的腐蝕-磨損作用，結果表明當顆粒數量増加時，彎頭的腐蝕反而減小，為延長彎頭壽命提供方法。文獻[4]分析了活動彎頭在不同壓裂工況下的沖蝕磨損機理，提出對彎頭進行不等徑截面設計來彌補外壁磨損量，為彎頭結構設計提供了依據。文獻[5]研究了雙彎頭裝配轉角對雙彎頭彎管沖蝕速率的影響，得到當轉角為20°～40°時，雙彎頭彎管的最大沖蝕速率較大，可為改進彎頭裝配參數提供了技術依據。文獻[6]設計出型號為FLUMAG 500的漏磁在線檢測工具，用于檢測石油管道磨損處的位置和尺寸大小，具有重大的實際工程價值。文獻[7]分析了活動彎頭的損傷機理，提出在高頻流體振動載荷作用下，活動彎頭首先出現管壁局部韌性斷裂，靠近外壁時出現脆性斷裂，為彎頭的損傷分析奠定了一定的理論支持。文獻[8]借助Fluen仿真軟件研究了活動彎頭沖蝕磨損問題，推斷出流速對彎頭迂回處的沖蝕磨損效果顯著。文獻[9]針對活動彎頭的安裝角度、流體進口速度等因素進行數值模擬，探究流體對10型活動彎頭的沖蝕規律。此外，國內部分學者提出通過改進活動彎頭的熱處理工藝來提高活動彎頭的綜合力學性能。文獻[10]通過對活動彎頭進行高頻淬火的熱處理工藝來提高滾道表面的硬度和耐磨性，并對滾道槽進行磨削加工處理，提高加工精度。文獻[11]對活動彎頭采用滲碳+等溫淬火+回火的熱處理工藝，獲得下貝氏體+馬氏體的混合組織，提高材料的斷裂韌度,延長了沖蝕磨損壽命。

綜合以上分析，國內外學者主要集中于活動彎頭的沖蝕磨損問題及相應的解決措施，為服役環境中活動彎頭的損傷設計、結構優化與運行維護等提供一定的理論借鑒。然而針對活動彎頭接頭處的接觸特性的研究較少，而實際服役過程中，活動彎頭經常由于接觸區域的接觸應力過大而出現壓痕導致彎頭轉動卡頓，嚴重影響著工程進度。本文針對活動彎頭滾道槽出現的壓痕損傷形式，分析接頭處的接觸應力和塑性變形的分布規律，探究滾道槽的相對位置對接觸特性的影響機理，為活動彎頭的結構設計提供技術支撐。

1 接觸問題的有限元算法

接觸問題是一種典型的邊界非線性問題，目前求解接觸問題的方法主要有解析解法和數值解法[12]。其中，解析解法是基于接觸理論對模型進行精確求解，但由于理論中作了一定的假設，限制了其應用范圍。而針對復雜接觸問題的求解，以有限元法形式的數值解法應用最為廣泛，實用性最強。有限元法采用最小位能原理并引入約束條件，在接觸面間建立了接觸約束算法。接觸約束算法中的系統總位能的泛函Π(π)為[13]：

Π(π)=ΠU+Πcp

(1)

式中，ΠU為不包含接觸約束條件的系統總位能，Πcp為接觸約束條件引入的附加泛函。

當泛函取駐值時便得到接觸問題的解，根據駐值解法的不同，接觸約束算法主要分為罰函數法、拉格朗日乘子法和增廣拉格朗日乘子法。

1.1 罰函數法

罰函數法是在接觸面之間用“彈簧”建立接觸協調關系。當接觸面分開時，彈簧不影響物體的自由活動；當接觸面發生穿透時，彈簧阻礙接觸物體的相互嵌入。罰函數法下的附加泛函表述為：

(2)

式中，α為罰因子；U為位移矩陣；B為接觸約束矩陣；SC為接觸面邊界，S是接觸面面積；γ是接觸面的法向力或切向力。

以位移U為未知量，得到最終的系統控制方程為：

(K+αBTB)U=F+αBTγ

(3)

式中，[K]是整體剛度矩陣。

由上式可知，罰函數法的優點是不增加系統的求解規模，但引入了人為假設的罰因子來減少接觸物體的穿透現象。因此，為與實際接觸情況更接近，就必須增加罰因子以盡可能減少穿透量。然而，罰因子過大會導致整體剛度矩陣的病態，帶來求解方程上的困難。

1.2 拉格朗日乘子法

拉格朗日乘子法通過引入了力學意義為接觸力的拉格朗日乘子，可直接求出接觸力，實現了無穿透的真實接觸條件。拉格朗日乘子法下的附加泛函為：

(4)

式中，Λ是拉格朗日乘子。

相應的系統控制方程為：

(5)

雖然拉格朗日乘子法可以精確滿足接觸條件，但由于其在計算中增加了額外的自由度，擴大了剛度陣的階數，且失去系數矩陣的正定性，增加了收斂難度。

1.3 增廣拉格朗日乘子法

增廣拉格朗日乘子法結合了罰函數法和拉格朗日乘子法，在計算中為找到精確的拉格朗日乘子而對罰因子反復修改并迭代求解，直到穿透值小于允許值為止。增廣拉格朗日法下的附加泛函為：

(6)

相應的控制方程為：

(7)

增廣拉格朗日乘子法吸收了罰函數法的優點，相比拉格朗日乘子法增加了系數矩陣的對角優勢，加快收斂速度。因此，增廣拉格朗日乘子法成為目前較為流行的方法。

綜上所述，考慮到活動彎頭在服役中，滾道槽往往受擠壓而發生塑性變形，且接觸面尺寸與接觸面的曲率半徑相近，不滿足經典Hertz理論的假設條件，因此本文采用有限元法中的增廣拉格朗日乘子法來分析活動彎頭接頭處的接觸特性。

2 有限元接觸分析

本文選取某廠型號為3″-50型/105MPa的活動彎頭作為研究對象，該型號的活動彎頭內徑為76.2 mm，外徑為140.00 mm，彎頭接頭處有三列直徑相等的滾珠，每列滾珠數目為35。第一列和第二列滾道槽位于同一平面，第三列滾道槽與前兩列增設了一高為1 mm的臺階，如圖1所示。由于倒角對接頭處的接觸分析影響不大，在幾何建模時去除，考慮到活動彎頭接頭處結構及受載的對稱性等特點，建立接頭處的1/35作為分析模型。活動彎頭的材料屬性如表1所示。

1.母彎頭 2.盤根 3.O型密封圈 4.第一列滾珠5.第二列滾珠 6.第三列滾珠 7.防塵密封圈 8.公彎頭圖1 活動彎頭結構簡圖

表1 活動彎頭的材料屬性

2.1 網格劃分

由于接觸區域的網格大小對接觸應力的仿真結果有重要影響，本文對幾何模型進行切割處理，分離出接觸區域和非接觸區域。設置全局網格尺寸為2 mm，對接觸區域采取多區域法劃分網格，網格尺寸為0.2 mm，最終得到有限元網格模型，如圖2所示，其中節點數為2 860 760，單元數為934 187，網格收斂性分析良好，滿足計算要求。

(a) 整體網格劃分 (b) 滾珠和公彎頭接觸區域網格細化圖2 活動彎頭接頭處有限元模型

2.2 邊界條件與載荷施加

根據活動彎頭的實際工況，對有限元網格模型施加邊界條件，如表2所示。

表2 有限元模型邊界條件設置

接頭處在服役期間受到內壓和流體在彎頭處產生的軸向拉力，對公母彎頭的內壁面D處施加內壓105 MPa，將軸向拉力均勻施加于母彎頭的左端面E處，其大小P通過下式計算：

(8)

式中，P1為內壓，單位為MPa，取值105 MPa；s1為內壁的橫截面面積，單位為mm2；s2為壁厚的橫截面面積，單位為mm2；經計算得到P為84.8 MPa。

施加載荷后的模型如圖3所示。

圖3 邊界條件和載荷施加圖

2.3 接觸對的建立及參數選取

本文選用增廣拉格朗日乘子算法對滾珠和公母彎頭的滾道槽分別建立接觸對，摩擦系數設置為0.1，滾珠表面設置為接觸面，滾道槽設置為目標面。由于接觸剛度因子FKN對計算結果影響很大，本文在其他條件不變的情況下，分別設置FKN從0.1取到7，且設置每一步迭代步中更新接觸剛度，計算相應的最大等效應力，最大接觸應力、最大穿透量、迭代次數，結果如圖4和圖5所示。

圖4 最大等效應力和最大接觸應力與FKN關系圖

圖5 最大穿透量和迭代次數與FKN關系圖

由圖4和圖5可知，隨著接觸剛度因子FKN的增加，活動彎頭的最大等效應力、最大接觸應力也隨著增加，而最大穿透量隨之減少，但迭代次數和運算時間也隨之增加。當FKN取值在3～7范圍區間內，各項值的變化已經不明顯，綜合考慮求解效率，確定最優的FKN取值為3，此時的接觸應力為2089 MPa，穿透量為0.000 342 mm，遠遠小于接觸單元的厚度0.2 mm，滿足接觸問題的穿透誤差要求。

2.4 仿真結果

對上述受載條件下的有限元模型進行求解，得到活動彎頭整體和接觸區域的等效應力如圖6所示。可觀察到三列滾珠與滾道槽的接觸區域的等效應力分布均近似呈橢圓形狀，與接觸理論中假設的接觸載荷分布非常相似。公母彎頭的最大等效應力值均在第一列滾道槽的接觸區域，最大值分別為1 179.6 MPa、1 135.5 MPa，均超過屈服應力值，進入了塑性變形階段。并且高應力區域都在接觸區域，而非接觸區域的等效應力均低于屈服應力值，由此說明滾道槽的壓痕主要與接觸載荷過大有關。

(a)整體等效應力云圖

(b)第一列滾珠接觸區域等效應力云圖

(c)第二列滾珠接觸區域等效應力云圖

(d)第三列滾珠接觸區域等效應力云圖圖6 活動彎頭的等效應力云圖

公母彎頭滾道槽接觸區域的接觸應力云圖如圖7所示，公母滾道槽的最大接觸應力都在第一列滾道槽，最大值分別為2089 MPa、1954 MPa，與文獻[14]中公彎頭的計算結果2200 MPa相比，相對誤差為5%，進一步驗證了仿真的合理性和結果的正確性。在三列公彎頭滾道槽的接觸區域中沿接觸帶每隔1 mm分別測出接觸應力如圖8所示。由圖8可知，三列滾道槽的接觸應力呈現分配不勻的現象，第一列滾道槽的接觸應力最大，而第二列最小，兩者相差最大值為383 MPa，這是由于第一列和第二列滾道槽是同一水平面，而第一列滾道槽承受大部分的軸向載荷所導致。

(a)母彎頭滾道槽接觸應力云圖

(b)公彎頭滾道槽接觸應力云圖圖7 活動彎頭接頭處的接觸應力云圖

圖8 公彎頭滾道槽的接觸應力曲線圖

公母彎頭滾道槽接觸區域的的塑性變形如圖9所示。由圖可知，公母彎頭的三列滾道槽均發生了不同程度的塑性變形，變形值和變形范圍最大的地方均在第一列滾珠槽上，最大值為0.018 24 mm，第二列滾道槽的變形值和變形程度最小。由于公彎頭滾道槽的接觸應力要比母彎頭的大，導致公彎頭整體的塑性變形程度要大于母彎頭。上述仿真結果與實際情況中第一列滾道槽最先出現壓痕并且壓痕最深的現象相符合，這些壓痕容易造成活動彎頭轉動卡頓的現象。

(a) 母彎頭的塑性應變云圖

(b)公彎頭的塑性應變云圖 圖9 活動彎頭接頭處等效塑性應變云圖

3 活動彎頭結構優化

由上述仿真結果可知，活動彎頭的三列滾道槽存在接觸應力過大且分布不勻的現象，故對于現有的活動彎頭進行優化設計，主要有：①在各滾道槽設臺階，構成階梯形來改善受力狀況；②增加了活動彎頭的壁厚，避免因臺階的設立而減少壁厚；③滾道槽做倒圓角處理，避免應力集中現象，優化示意圖如圖10所示。

圖10 活動彎頭接頭處結構優化示意圖

考慮到三列滾道槽的相對位置直接影響到其接觸應力的分布，故分別改變滾道槽的軸向和徑向位置來尋求合適的滾道槽位置。本文以三列滾道槽軸向距離均為22 mm，徑向距離均為1 mm的三臺階活動彎頭為基準，分五組改變其軸向或徑向距離進行接觸分析，并與二臺階活動彎頭的仿真結果進行對比，結果如表3所示。

表3 滾道槽相對位置變化的接觸分析結果

由上表可知，滾道槽軸向和徑向距離的變化都會影響其接觸應力的分布，軸向和徑向距離越大，接觸應力和塑性變形越小，反之亦然。由于臺階的設立更有利于三列滾道槽分擔軸向載荷，改善了受力狀況，故改變徑向距離的效果要優于軸向距離的效果。上表中接觸應力和塑性變形最小的是軸向距離為22 mm，徑向距離為3 mm的結構，相比二臺階的接觸應力減少了14.8%，表明了此時的三臺階的設計是相對更好的結構，沿接觸帶每隔1 mm測出其三列滾道槽的接觸應力，并與二臺階活動彎頭的接觸應力相比較，如圖11所示。

圖11 優化后的滾道槽的接觸應力曲線圖

由上圖可知，此時的三臺階結構相比二臺階結構而言，三列滾道槽的接觸應力均有不同程度的下降，其中第一列下降效果最明顯，降幅達310 MPa。此外滾道槽的接觸應力分布趨于均勻，每列的最大接觸應力最大相差230 MPa，相比二臺階的降低了40%，且高應力的接觸區域接觸應力變化平穩，有利于延長第一列滾道槽的服役壽命，從而降低了使用成本。

4 結論

本文針對活動彎頭滾道槽的壓痕損傷形式，采用有限元法對活動彎頭的接頭處進行接觸特性的仿真分析，分析了接觸載荷和塑性變形的分布規律，并進一步進行了相應的結構優化。通過本文的研究主要得到以下結論：

(1)接觸剛度系數FKN在有限元接觸分析中對分析結果有很大影響。FKN的增大會使等效應力和接觸應力呈現先增加較大后趨于平緩直至收斂到某一個值，而穿透量呈現先大幅減小后收斂到某一個值。雖然較大的FKN提高了結果準確性，但卻帶來收斂困難、求解耗時的問題。因此，在接觸參數設置時要對其進行合理的選取，在保證結果正確性的前提下提高求解效率。

(2)二臺階活動彎頭接觸區域的應力分布呈橢圓形，由于第一列滾道槽承受了較大的軸向載荷，造成了三列滾道槽接觸應力的分布不勻，導致第一列滾道槽的接觸應力和塑性變最大，而第二列最小，符合彎頭服役中第一列滾道槽過早出現壓痕的損傷現象。

(3)三臺階活動彎頭相比于二臺階結構減少了接觸應力，且軸向和徑向距離的增大均有利于減少滾道槽的接觸應力和應力差。當滾道槽的軸向距離為22 mm，徑向為3 mm時的接觸應力較二臺階的減少310 MPa，每列的最大接觸應力最大差值相比二臺階降低了40%，且高應力的接觸區域接觸應力變化平穩，夠為活動彎頭的優化提供依據。