小學數學教學中圖形建模的探索實踐

王恒干

【摘 要】培養學生在真實的問題情境下解決問題的能力，是當前重要的核心素養之一。在小學數學教學中，通過圖形建模的方式引導、促進與幫助學生進行實際的問題解決，是一個有效而又具有前瞻性的實踐策略。本文嘗試以二年級的“問題解決”為例，探索在小學數學教學中如何實施圖形建模的有效實踐，培養學生問題解決意識與能力，發展學生的數學思維。

【關鍵詞】圖形建模 問題解決 數學思維

建模，就是建立模型，為了理解事物而對事物做出的一種抽象，是對事物的一種無歧義的書面描述。數學建模一詞見于CPA教學法，最早由美國心理學家于20世紀60年代提出，其符合兒童學習特點和規律，關注兒童的數學思考過程。圖形建模是數學建模的一類，其從具體實物或問題情境出發，讓學生嘗試畫出對應的圖形，通過圖形來刻畫數量關系，符合兒童的學習心理特征，有助于數學理解，能夠發展兒童的數學思維。問題解決是我國義務教育數學課程的重要領域，是發展學生數學思想的基本路徑，能夠較好地鍛煉和培養學生發現、提出、分析、解決問題的能力。圖形建模是解決問題的重要抓手，也是發展學生數學思維的有效載體。本文試圖從實踐層面來探索研究小學數學問題解決中圖形建模的有效策略。

一、創設情境，引導學生嘗試“畫”

情境的創設，是有效開啟學生數學學習的“敲門磚”，能夠充分激發學生學習的興趣。創造“不憤不啟，不悱不發”的認知狀態與氛圍，能夠引發學生自主強烈的嘗試“畫”的內在需求。引導學生嘗試“畫”，就是讓學生借助“圖形”來呈現自己對語言文字信息的認知理解，尋求另一種方式來思考與表達。引導學生嘗試“畫”的過程，就是引發學生思維伸展的過程，也是建模的過程。

【片段1】

師：同學們，這學期學校為社團活動購買了一些體育器材，我們一起來看一看。

出示：乒乓球的個數比足球多30個，籃球的個數比足球少10個。

（學生輕聲讀題）

師：這里究竟是哪種球多呢？你能弄清楚嗎？

生：三種球呢，有點難。

師：那么，你有什么好方法把這句話里的數學信息理一理嗎？

生：可以畫一畫，比一比。

師：好的，就請同學們在學習單上畫一畫、比一比。

（學生嘗試畫圖，教師巡視，選擇作品展示交流）

史寧中先生說：“我們把數學基本思想歸結為三個核心要素：抽象、推理、建模。”建模，就是通過模型，用數學所創造的語言、符號和方法，描述現實世界中的故事，構建起數學與現實世界的橋梁，促進學生的思維發展。案例中，教師創設的問題情境，信息量大，關系復雜，對于二年級學生而言，其在認知理解上有一定困難，不能較好地弄清楚數量間的邏輯關系。在這樣的“憤悱”狀態下，自然就能引發學生動手畫畫比比的內在需要，引導學生尋求新的方法路徑來表征語言文字信息，用圖形做抓手，來支撐學生的思維，嘗試建模。教師通過圖形建模來促發學生的深度理解與思考。

二、互動交流，引導學生清楚“說”

引導學生清楚“說”，是學生思維的再次“生長”，能夠有效彌補學生初次“圖形建模”的不完善之處，也能夠厘清對問題情境的完整理解。因此，教師在引導學生嘗試“畫”后，需要組織學生開展充分而深入的互動交流。讓學生“講”出來，清楚地表達出“為什么這么畫”，就是讓學生思維可視化的過程。這個過程能夠展現出學生真實的思考狀況，同時，還能有效提升學生的自信心，對其人格發展有重要意義。

【片段2】

師：同學們，剛才我們用自己的方式描述了對這句話的理解。下面，我們請這位同學來說一說他的想法。

生1出示作品：

生1：我是這么想的，用這個長方形表示足球的個數，那么乒乓球比足球多30個，畫出的長方形則要大一點，大的部分就表示多的30個，而籃球比足球少10個，則畫出的長方形要小一些，小的部分就表示少的10個。這樣，通過觀察三個長方形，即可知道乒乓球最多，籃球最少。

師：你們聽明白了嗎？這名同學用方形圖表示了三種球的數量，通過比較長方形的大小，得知哪種球數量最多，哪種球數量最少。對他的方法，你們有什么疑問或建議嗎？

生2：我想問你，你是如何表示“籃球比足球少10個”的？

生1：因為籃球比足球少10個，所以表示籃球個數的長方形要比足球的小一些，但要表示出少10個，因此把小的部分用虛線表示出來，你明白了嗎？

生2：知道了，謝謝你！

生3：我有個建議，為了便于觀察與比較，你可以把這三個圖形豎著排放。

師：你的意思是這樣嗎？（教師調整生1的作品）

課件出示：

生1：是的，三個長方形上下排放，更容易地看出哪個大，哪個小。謝謝你！

師：真好！經同學們這么一討論，方形圖不但表示出了三種球的數量，還能清楚地看出數量間的關系。看來，圖形作用就是大啊！

互動交流、同伴互助是新課改背景下學生數學學習的重要方式。案例中，教師組織了充分的反饋交流，給學生充裕的時間盡情地表露出自己的個性化理解。教師引導學生借助圖形來努力清楚地表達自己的思考，并且讓學生在同伴的互動幫助下，進一步優化與完善對信息的認知理解，這有效地培養了學生圖形思考的能力。用圖形來分析思考問題、用圖形來提煉概括問題、讓學生有條有理地清楚表達，不僅促發了學生的圖形建模，讓學生感受到了圖形建模的優勢、特點，還有效地培養了學生數學推理的能力。

三、示范講評，引導學生完整“想”

學生通過嘗試“畫”，用圖形表達出了自己對語言文字的理解，并借助圖形努力把語言文字的內在清楚地表達出來，這是學生思維的兩次“生長”。但是，學生的圖形化認知常會流于膚淺，所謂清楚的表達仍顯得缺乏條理，建構的模型不夠完善。此時，需要教師的應時而出，通過示范講評，有效引導學生完整地“想”，回顧圖形建模的思考過程，再次經歷從具體情境的“具象”到圖形建模的“形象”。故而，教師的示范引導，則顯得十分的重要。

【片段3】

師：同學們，剛才我們一起欣賞了這名同學的作品，想不想看看老師的作品啊？

生：想！

師：從這句話知道，乒乓球、籃球的數量都是與足球比的，因此，我們可以把足球的個數看作標準量，用這樣一條線段來表示。那么，乒乓球、籃球的個數怎么表示呢？

課件出示：

生1：因為乒乓球的個數比足球多30個，所以畫的線段要長一些，長的部分就表示多的30個。

師：你說的意思是這樣吧。

課件出示：

生2：那么表示籃球個數的線段則要比足球短一點，因為籃球比足球少10個。

師：是這樣嗎？

課件出示：

生3：這樣不行，看不出少的部分。我們可以把表示籃球個數的線段比足球短的部分用虛線表示，這樣就能清楚地看出少的10個。

教師出示：

師：真好！我們這么一商量，表示三種球的線段就畫出來了，還能表示出它們之間的數量關系。

課件出示：

師：同學們，現在請你們對照線段圖說一說，三種球的數量之間的關系，并想一想，這個線段圖和前面那名同學的方形圖有什么聯系與不同。

案例中教師帶領學生一起經歷了線段圖的制作過程，體驗了線段圖對于本問題情境更為簡潔的優勢所在。同時，教師還非常有條理地示范解析了線段圖的表征特點，引導學生形成完整而又清晰的思維認知。教師通過方形圖與線段圖兩種圖形表征的比較辨析，讓學生再次深入感受圖形建模的優勢與價值，促進學生高階思維的發展。

四、反思修正，引導學生優化“解”

學生的思維是有深淺的，是需要不斷反復的，只有這樣才能促使學生形成相對完整而又清晰的問題思維。因此，組織學生對自己的認知理解進行反思與修正，就顯得很有必要。學生的反思過程，也是再一次的問題思考，更是對不同方式的表征與解釋的辨析。學生的修正過程，既是自我認識與思維的提升，也是對問題解決的重要趨近。

【片段4】

師：同學們，剛才我們用了不同的圖示方法，把一個很復雜的數量關系清楚地表示出來了。你畫的圖，對嗎？有什么需要改正的，請在學習單上訂正。修改后，和你的同桌說一說。

（學生修正自己的作品）

師：好了，對于這句話，同學們都有了明確深刻的理解。現在，我們把這道題補充完整。你會解答嗎？

課件出示：

（學生嘗試解題）

師：哪個同學愿意來分享下你的解答過程？

生1：我是這么解答這道題的，通過線段圖可以清楚地看出，乒乓球數量最多，籃球數量最少，但要求乒乓球個數比籃球多幾個，必須先求出它們各自的數量。第一步：求乒乓球的數量50+30=80（個）。第二步：求籃球的數量50-10=40（個）。第三步：求乒乓球比籃球多的數量80-40=40（個）。

師：哦，真不簡單，我們才二年級，就能解決三步計算的問題了。同學們，你們都是這么做的嗎？有不一樣的解法嗎？

生2：我有更簡單的解法，借助線段圖能夠清晰地知道，乒乓球個數最多，籃球個數最少，而且還能從圖上直接找到乒乓球數量比籃球多的部分，也就是30+10=40（個）。請大家看圖。

生2出示作品：

師：喲，三步計算的問題被你一步搞定了，真棒！同學們想一想，如果沒有線段圖，我們能一下子看出數量之間的關系嗎？

生3：不能。有了線段圖，我們才能直接比較數量的多少，尋求最直接的解答方法。像這道題，借助足球這個中間量，尋找乒乓球與籃球數量的直接關系，足球的個數就變成一個多余條件了。

師：同學們，看來線段圖不僅能幫助我們分析理解題意，還能指導我們找尋解決問題的最佳路徑。有圖真好！

案例中，教師引導學生反思修正，充分發揮學生的主體能動性，進一步加深學生對問題的理解。這是一次非常可貴的思維升級。繼而，教師引導學生結合新的信息，獨立解答問題。教師通過學生多樣化的解答，引導學生進行比較辨析，讓學生進一步感受圖形建模的價值意義。

問題解決是抓手，解決問題是能力，發展學生的思維是關鍵。小學數學教學中，教師借助圖形建模讓學生經歷問題思考的全過程，并能有效地解決問題。教師引導學生積極地思考，合理地表征，清楚地表達，準確地解答，這樣既能有效提升學生的問題解決能力，還能充分激發學生數學學習的興趣，更能鍛煉學生的數學高階思維能力。