結構化板書，讓數(shù)學思維自然生長

荊亞琴 蔡芬

【摘 要】板書是師生在課堂上最常用的信息交流方式。教師在設計教學板書時，往往重課前預

設、輕課中生成;重散點呈現(xiàn)、輕結構關聯(lián);重知識羅列、輕方法提煉。因而，教師應在教學中基于教學以結構化板書，做到以約馭博，厘清知識的內(nèi)在關聯(lián);歸納梳理，明晰教學的過程結構;一以貫之，生成學習的方法結構，讓學生數(shù)學思維自然生長。

【關鍵詞】板書 數(shù)學思維 實施策略

板書是師生在課堂上最常用的視覺交流信息方式。隨著信息技術的發(fā)展，現(xiàn)代化的教學手段在課堂中運用得日益廣泛，教師在對教學內(nèi)容進行設計時，往往重視教學過程中的師生活動和精美課件的制作，卻極易忽視對板書的思考。

一、課堂板書中存在的問題

（一）重課前預設，輕課中生成

日常教學中，教師現(xiàn)場的板書與教學設計中的板書幾乎完全一致。當然，這不是否定板書的預設，但課堂教學的推進是在師生交流互動中逐步生成的。正因為如此，課堂教學濃縮的“精華”——板書，必然應該是在課堂多維互動中自然生成的內(nèi)容。

如教學蘇教版數(shù)學一年級上冊“連加連減”時，當教師呈現(xiàn)主題圖，引導學生觀察、思考、列算式時，有的學生寫出了4+2+1，還有的學生寫出了4+2和2+1+4。教師只是直接板書4+2+1，并提問學生其表示的意義。在此基礎上，教師繼續(xù)教學連減，也只呈現(xiàn)了板書8-3-1=4。

不難發(fā)現(xiàn)，教師在教學推進和板書呈現(xiàn)時，更多的是以課前的預設為主。教學中，即時生成的學習資源并沒有在板書中呈現(xiàn)出來。因為沒有呈現(xiàn)，教學中也就缺乏了對學生不同思維進行對比溝通的可能。

（二）重散點呈現(xiàn)，輕結構關聯(lián)

板書時，教師通常是把教學內(nèi)容以靜態(tài)化的文字簡單地呈現(xiàn)在黑板上。隨著現(xiàn)代信息技術的廣泛使用，教師常常用課件代替部分板書;或者板書很少，只寫幾個關鍵詞;或者只把板書看作是一種簡單的過程記錄，隨意地將所講的內(nèi)容記錄在黑板上。這樣的板書，容易導致知識的分散和混亂，學生很難能通過板書內(nèi)化完善自己的認知結構。

如教學蘇教版數(shù)學一年級上冊“認識>、<或=”一課時，教師僅僅板書4=4，5>3，3<5。教師像這樣對教學內(nèi)容認識的窄化會導致學生停留在形式上的機械表達，很難從本質(zhì)上體悟這些符號的實際含義。學生對>、<或=的認識，僅僅停留在符號記憶的水平，這也易導致學生在練習時，因認知的不完備而出錯。

（三）重知識羅列，輕方法提煉

教學中，教師的板書常常是對本課知識的羅列。以蘇教版數(shù)學二年級上冊“認識千以內(nèi)的數(shù)”為例，教師僅僅分別在黑板上羅列了“一、十、百、千”及對應的方格圖、百格圖以及“從右邊起，千位在第四位”文字。此時的教師忽視了以數(shù)形結合的方式幫助學生理解抽象的數(shù)位。事實上，板書應貫穿于整個教學活動，這是學生在課堂上提升結構化思維的重要途徑。

二、結構化板書，讓學生思維自然生長

（一）建立結構化的知識脈絡

以復習課為例，復習整理的作用是對知識內(nèi)容溫故知新、對學習方法加強練習，但整理的主動權更多還是在教師手里，教師整理好了給學生去記憶。教師如能教會學生如何整理，讓學生經(jīng)歷整理的過程，學生就可以逐漸形成整體的知識框架結構，繼而實現(xiàn)學生認知過程結構化和學習方法結構化的育人價值。

在進行單元復習時，教師可以在板書中運用表格、箭頭、括號等形式，將單元中主要知識點、與其他單元相關內(nèi)容知識點進行有效勾連。一方面幫助學生系統(tǒng)地回顧、溫習所學知識內(nèi)容，另一方面使學生了解各知識點之間的關系，形成知識脈絡，完善學生的認知結構。

（二）獲得自主性的學習工具

在知識的內(nèi)部，還存在著一種難以用語言文字表述的隱性知識——數(shù)學思維方法。教師應努力根據(jù)不同的知識類型，如規(guī)律探索類內(nèi)容，讓學生經(jīng)歷“提出猜想、舉例驗證、歸納結論”的學習過程，引導學生在以后學習類似的知識時，嘗試自主學習。

三、結構化板書生成的實施策略

（一）以約馭博，厘清知識的內(nèi)在關聯(lián)

1.整體架構，借助板書完善數(shù)學知識的結構化認識

教師不僅要關注抽象的符號化的知識，還要關注關系形態(tài)和過程形態(tài)的知識對學生成長發(fā)展的價值，將教材散點化的知識借助板書進行整體加工，以提升教學內(nèi)容的整體架構。

從一年級上冊開始，教材以融合滲透的方式進行混合運算的教學。蘇教版數(shù)學一年級是以例題的方式教學連加、連減、加減混合同級運算，到了二年級上冊，教材以同樣的方式教學兩級運算（如乘加、乘減）。再到二年級下冊，教材在安排三位數(shù)連加、三位數(shù)連減，以及在三年級上冊安排教學三個數(shù)連乘時，就不再以例題的方式進行同級運算組合教學，而是以練習的方式讓學生類比思考，自主練習。可見，一年級連加、連減、加減混合等內(nèi)容是為后續(xù)延伸自主學習奠定基礎。

仍以一年級上冊的“連加? 連減”為例。PPT呈現(xiàn)例題后，當學生用語言表述圖意后，教師不妨提出：“你們能借助擺小棒的方法將這個過程表示出來嗎？如果能用算式記錄下來就更好了。”

教師及時將學生的資源呈現(xiàn)在黑板上，讓學生自主辨析正確資源和錯誤資源，同時黑板上保留正確的連加算式。（詳見圖1）待連減教學內(nèi)容教完，教師要對連加、連減內(nèi)容及時聚焦：“仔細觀察這兩個算式，數(shù)字不同，符號不同，計算時有什么相同的地方嗎？”原來，這兩個算式，計算時，都是按照從左往右的順序依次計算。

2.對比解讀，厘清教學內(nèi)容的過程與結構

教師在對板書進行設計時，更多的是關注這節(jié)課的教學內(nèi)容的前沿后續(xù)，但是有些課，可能前后關聯(lián)度較小。于是，教師就簡單地以為這僅僅是一節(jié)課而已。如蘇教版數(shù)學教材中的“探究計算中的規(guī)律”“和、積的奇偶性”“涂色的正方體”……這些課都屬于規(guī)律探究課。因此，這類課在板書設計上有它們的共通之處。以蘇教版數(shù)學五年級下冊“探究計算中的規(guī)律”為例，在教學時，教師把以1—2開頭的計算規(guī)律放置于黑板的左邊，把以1—3、 1—4和1—5開頭的計算規(guī)律放置于黑板的右邊，同時可以將兩者有效勾連，既勾連了如1—2+1—4，1—2+1—4+1—8，1—2+1—4+1—8+1—16等算式與圖形之間、算式與算式之間的關系，又可以讓學生左右對比看，表面上，以1—2開頭的加法算式與以1—3、 1—4和1—5開頭的加法算式在最后的結論上看似不同，但實際上都是用第一個數(shù)×2-最后一個數(shù)。（詳見表1）

結論：1—n×2-最后一個分數(shù)，第一個數(shù)×2-最后一個數(shù)（前一個分數(shù)最后一個分數(shù)的2倍）

數(shù)學教學實質(zhì)上是數(shù)學思維的活動。本節(jié)課的板書，不僅突出了知識結構，而且突出了化歸的基本方法。從板書可以看出，其探索過程“化大為小——有序研究——數(shù)學建模（字母表達）”，同樣適用于如“多邊形內(nèi)角和”“涂色的正方體”等內(nèi)容。

3.研究本質(zhì)，把握數(shù)學內(nèi)容的多維度聯(lián)系

板書是學生開展數(shù)學思考，外顯數(shù)學思維的抓手之一。學生只有結合板書，才能進一步明晰所學知識的結構和研究方法的結構。如果只是把課堂中涉及的一些知識點寫在黑板上，是發(fā)揮不了板書的育人價值的。

以教學“認識千以內(nèi)的數(shù)”為例，圖2的板書簡單地羅列了千以內(nèi)數(shù)的認識的相關要點。圖3的板書用文字幫助學生理解一、十、百之間的關系，即“10個一是一個十”“10個十是一百”，還借助計數(shù)器幫助學生形象地了解個位、十位、百位在計數(shù)器上的位置，為后續(xù)學習數(shù)位表做好鋪墊。由此可見，圖3的板書更有利于幫助學生把握數(shù)學內(nèi)容的多維度聯(lián)系，逐步完善認知結構。

（二）歸納梳理，明晰教學的過程結構

板書，可以通過呈現(xiàn)良好的知識結構來實現(xiàn)發(fā)展學生認知結構的目的，達到知識與認知的統(tǒng)一。在概念教學中，學生只有具備了概念同化的經(jīng)驗基礎和積極的學習心態(tài)，才能使新知與舊知相互作用。

如在教學“認識一個整體的幾分之一”時，教師可以讓學生經(jīng)歷概念形成的過程，并且將這一過程在板書中清晰地呈現(xiàn)出來。借助板書，學生通過對學習材料的縱向、橫向?qū)Ρ取贤ǎ鋯我凰季S逐漸轉(zhuǎn)向關系思維。通過大量的舉例，學生在辨析比較中進一步感悟部分與整體的關系，最終聚焦到“把一些物體看成一個整體，平均分成幾份，每一份就是它的幾分之一”這一知識點上來。（詳見圖4）

（三）一以貫之，生成學習的方法結構

有效的教學關注學生數(shù)學思維的發(fā)展，尤其關注學生思維品質(zhì)的提升。教師在教學時，若能將體現(xiàn)思維過程的思維鏈“有痕”地展示給學生，無疑會對學生思維能力的提高有所幫助。要實現(xiàn)這種“有痕”的展示，最有效的一種手段便是板書。教師通過精心設計的板書可以將教材以及有痕思維過程清晰地展示給學生。

如規(guī)律探究課“和與積的奇偶性”的板書：

圖5的板書更多地聚焦于結論的得出。板書中的算式來源于教師，以一位數(shù)計算為主，缺少一般性;另一方面，僅僅通過一個算式，就得出“奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)”等結論，難以讓學生信服。圖6的板書則讓學生舉例，這樣就進一步豐富了學生舉例的類型，可能是一位數(shù)，也可能是兩、三位數(shù)，每個學生舉的例子不盡相同，更具有廣泛性、普遍性。此外，學生完整地經(jīng)歷了猜想、驗證的過程，學習的體驗與感悟可能更為深刻，這也體現(xiàn)在學生對探究規(guī)律的結論感悟中。如當任意個數(shù)（整數(shù)）相加時，學生不僅關注加數(shù)的奇偶性，更進一步關注加數(shù)是奇數(shù)的個數(shù)，還是偶數(shù)的個數(shù)，以及它們之間存在的關聯(lián)性。這樣的教學，不僅教學生相應的知識結論，更教學生怎樣開展數(shù)學研究。

可見，作為教學有機組成部分的板書，既可以對教學內(nèi)容進行加工和提煉，厘清學生學習思路，更能將教學內(nèi)容結構化，突出教學重難點。要讓學生在每一節(jié)課中有思維生長感，板書是有效途徑之一。當一節(jié)課臨近結束時，學生可以借助板書回顧學習的過程，這樣就做到了讓學習真正“留痕”。