線性代數課程內容安排與課堂教學情境創設探析

唐秋林

摘?要：線性代數是高等學校理工類與經管金融類等專業學生的一門重要的數學基礎課程，是學習后繼課程的工具，它在自然科學、工程技術和管理科學等諸多領域有著廣泛的應用。線性代數教材作為教學的重要知識載體，合理的內容安排尤其重要。但是，線性代數內容的抽象性以及運算的煩瑣給學生的學習帶來很大困難。教學情境的創設能激發學生的學習興趣，調動學生學習的積極性和主動性。本文對線性代數的教學內容為什么要這樣安排，在課堂教學中怎樣有效利用教材創設適當的課堂教學情境這兩個方面進行了分析。

關鍵詞：線性代數;課程內容;情境創設;人才培養

教材是一切教育活動的基本依據，是育人的根本載體[1]。作為高等學校大學數學的基本課程之一——線性代數，它主要是圍繞如何解線性方程組展開的相關內容的研究。通過有目的、有意圖地挑選行列式、矩陣、線性方程組、向量空間、歐氏空間以及二次型等內容，去影響學生的知識結構，拓展學生的知識領域，這對于培養大學生的計算能力和抽象思維能力都是十分重要的。那么，如何合理安排這些內容的順序呢？在課堂教學中如何有效利用教材創設適當的教學情境以提高學生的學習興趣呢？我們就從這兩個方面來談線性代數的內容安排。

一、內容安排順序合理

我們以高等教育出版社出版，同濟大學數學系編的《工程數學線性代數》（第六版）為藍本，來研究線性代數教材。對于第一章，為什么內容要安排行列式呢？主要考慮學生的知識體系，由于學生在中學已經掌握了解線性方程組的基本方法，對于如下線性方程組，我們不妨提出如下問題：

（1）5x+4y=7

x+y=6???（2）x+y=7

x+y=8

（3）x+y=7

2x+2y=14??（4）x+y+z=5

4x+6y=0

不解這些方程組，能確定它們的解嗎？顯然，（1）有唯一解，（2）無解，（3）有無數解，（4）有無數解。對于（1），既然有唯一解的情形，能否用公式給出呢？從而引出行列式的內容介紹。主要研究行列式的定義、性質和展開法則，進而介紹克萊姆法則來解一種類型的方程組。

通過第一章的學習，我們已經能解決一類特殊的方程組，給出公式解，即滿足克萊姆法則的方程組的情形。對于一般的方程組，即形如a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1

a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2

…………

am1x1+am2x2+…+amnxn=bm的方程組，該如何求解呢？

顯然，該線性方程組的解由其系數和右端項：

a11a12…a1nb1

a21a22…a2nb2

am1am2…ammbm

作為一個整體來確定。為此，我們需要引入矩陣概念及其運算，然后再來研究這個整體是如何影響方程組的解的，即第二章的內容介紹。

為了研究一般方程組，即形如a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1

a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2

…………

am1x1+am2x2+…+amnxn=bm的解，我們從具體的線性方程組出發，分析它的解題過程，尋找其中蘊含的數學思想，從而引入矩陣的初等變換，并研究矩陣的秩這兩個重要的概念，進入第三章的內容介紹，揭示方程組的解的個數與解的表現形式。

北宋大詩人蘇軾在游覽廬山時留下了著名詩詞《題西林壁》：“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同，不識廬山真面目，只緣身在此山中。”就像我們登到南通狼山頂上俯瞰南通市區，感受其美不勝收的景色，心曠神怡。如果我們再走進南通的大街小巷，我相信又是另一番感受。在前一章，我們將一個線性方程組的增廣矩陣作為一個整體，研究它是如何影響方程組的解的。如果我們換個角度，從矩陣的內部來分析，重新考量它是如何影響方程組的解的，相信會有別樣的收獲，為此，我們研究第四章，即向量組的線性相關性。

我們已經會對方程組的增廣矩陣作初等行變換化成行最簡形，甚至，對任意矩陣A，可作初等行、列變換化為等價標準形，即存在可逆矩陣P，Q，使得PAQ=Er0

00，r=r（A），那么還有什么辦法可將矩陣化為比較簡單的形式呢？為此，我們試圖將矩陣A變形，討論當矩陣A是方陣（對稱）時，能否找到可逆矩陣（正交矩陣）P，使得PTAP=Λ，一旦對對稱矩陣A找到可逆矩陣P，使得PTAP=Λ，Λ為對角矩陣，就為方便的計算A的高次冪提供了可能，自然地就引入特征值、特征向量的概念和理論，由此，我們討論第五章：相似矩陣及二次型。

通過前五章的研究，我們已經完整地了解了一個線性空間的研究內容。自然想研究兩個空間以及兩個空間的關系，這時線性空間和線性變換的知識就應運而生，這一章會比前面的所有知識更加抽象，應用性也更加廣泛，學完之后會達到有高屋建瓴的感覺。

二、創設恰當情境，提高學生的學習興趣

從上面的分析我們看到，線性代數課程內容以線性方程組及其相關內容為主線，各個章節的內容看似相互獨立，其實前后知識連貫性和邏輯性很強。同時，每一章的概念繁多，運算比較煩瑣細碎，定理多而又抽象。課堂教學中“滿堂灌”“重理論，輕應用”的現象還較為普遍，加上課時的限制，教師不太可能細致地講解所有的內容。對學生來說，線性代數內容晦澀難懂，常常是知其然而不知其所以然，也會有學而無用的錯覺，這在一定程度上影響了他們學習興趣。而線性代數作為理工科以及經管各專業學生的一門必修的重要基礎理論課，對培養學生的創新意識及能力、解決實際問題的能力以及科學計算能力起到非常重要的作用。那么，我們如何進行課堂教學改革，破解上面所述的困境呢？