基于幾何直觀下圖形與幾何問題的探索

蘇慶堂

摘 要：幾何直觀作為數學核心素養之一，可見其地位非凡。本文以三年級上冊“長方形和正方形”單元為例，以本單元的典型例題對學生進行測試以及對本單元中有關圖形與幾何的問題進行探索與分析，揭示學生在發展幾何直觀中所存在的問題，并對在教學過程中發現的問題進行思考，進一步探索有利于小學生的幾何直觀發展的方法與形式。

關鍵詞：幾何直觀;周長;圖形與幾何

在小學數學課程中“幾何直觀”是尤為重要的內容，《新課標》也指出“幾何直觀”的重要性與進一步明確“幾何直觀”主要是指利用圖形描述和分析問題，借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。[1]而在對于一二年級的而言，只對一部分圖形與幾何進行初步的認識，并未深入的進行學習，而“幾何直觀”真正意義上出現于三年級上冊“長方形和正方形”單元。下面就以三下“長方形和正方形”單元教學為例，探索圖形與幾何問題中的幾何直觀發展。

一、從“長方形和正方形”單元幾道常見題型分析看理解圖形的能力

“長方形和正方形”單元中是以一二年級初步感知的正方形、長方形為基礎進一步的深入教學，本單元中圖形與幾何問題的抽象程度是小學幾何直觀問題中的一個臺階。而學生對本單元的“幾何直觀”掌握如何？不妨從以下幾道常見題型的錯例與測試結果來看看。

問題1：繞長50米、寬30米的長方形場地外圍跑兩圈，跑了多少米？

這道題考查的是學生對長方形周長的理解及公式掌握，顯然答案列式為（50+30）×2×2。但是在實際測試中，正確率只有70%;其中不乏出現的列式錯例為50+30與（50+30）×2。但是在相同的題目中，僅僅為本題配上長方形操場的圖形后正確率達到85%。從兩道相同的長方形周長問題中，不難發現學生對周長的理解不夠到位外，有借助直觀的圖形理解正確率明顯提高，因此學生還未能完全利用圖形解決問題。

問題2：一塊長方形白菜地長7米，寬3米，若一面靠墻，將這塊白菜地圍起來需要多少籬笆？

本題考查學生對長方形周長應用于生活的考查，本類題型是特殊的長方形周長考查方式，顯然根據生活實際靠墻的一面不需要算到需要的籬笆里面。因此由上圖顯而易見，長方形的一條長靠墻，其中一條長就不需要計算進去，即3+3+7或者（3+7）×-7;短的一面靠墻，同理一條寬不需要計算。

問題3：用一根長14cm的鐵絲圍成長方形，每條邊都取整厘米，怎么圍？在下面方格中劃出所圍成的長方形。（每個小方格的邊長表示1cm）

本題考查方式相對前兩題來說難度有所增加，側重考查點于長方形的周長公式逆運用與長方形周長的幾何直觀理解。在實際測試中，學生的實際正確率只有65%，正確率明顯下降。

從這三道題及學生測試的情況來說，學生對初次接觸帶有公式的幾何圖形題的理解能力還不夠強，追其本質，一方面學生對幾何直觀的核心素養發展處于初步階段;另一方面，教師對于學生的幾何直觀發展需要運用多樣的方式教學，而實際上的教學不乏出現學生對公式的生搬硬套而導致幾何直觀發展緩慢，因此從這三道題的情況來看，教師應注重培養學生初步踏入有跨度的圖形與幾何問題的幾何直觀核心素養。

二、“長方形與正方形”單元教學思考及存在問題探索

1.建立正確的幾何直觀模型——清晰的周長概念

本單元中有一個重要的概念“周長”，其需要讓學生著重理解“封閉”、“一周”兩詞，“封閉”即圖形中沒有缺口，而“一周”需要注意是繞圖形的邊線從起點又回到起點。而在教學過程中，許多學生往往顧此失彼而出現錯誤。例如，請學生畫出下列圖形的周長;

在認識周長的這課時中，所需要的掌握的重點即周長的意義，而所出現的題型中，認識周長的圖形中無非可以歸納為上面四類，第一類所有學生都懂得將周長描出來;而第二類圖形中，部分學生往往會將中間的曲線也歸到這個半圓的周長中;第三類圖形往往也會有學生將除長方形以外的線段也劃入這個長方形的周長中，這部分學生并沒有理解周長“一周”這個詞的含義，周長必須是繞圖形的邊線從起點又回到起點;最后的一類顯然是沒有封閉的圖形，即沒有周長，而學生有的也會誤以為三條線段即這個圖形周長，而此類圖形便體現出封閉的重要性。

因此，在認識周長的教學過程中，應先讓學生理解“封閉”的意義，在確定圖形周長的前提應先判斷圖形是否“封閉”，其次在圖形“邊線”中，找準一起點，開始繞邊線走一圈回到起點，即“判-定-繞”。

由此可見，在幾何的學習中需要加強基礎概念的詮釋與圖形的理解能力，在數學的學習中，往往也是由簡單的概念一步步進行螺旋加深為更深層次的理論，因此幫助學生建立與理解清晰的基礎概念是尤為重要的。例如周長的認識，“周長”的概念便為基礎概念，后續的計算等練習都由其發展而來。同樣的小學階段后續的面積、體積等等幾何問題都存在著這樣的基礎概念。因此，基礎概念的理解是幾何直觀發展的地基所在，也可以說為建立簡單的數學模型。

2.在公式推導學習中發展學生的幾何直觀分析能力

在小學階段，幾何直觀的發展與公式的學習密不可分，無論是現今三年級初次接觸的周長公式，或者是之后需要學習的各種圖形的面積、體積等公式，都需要學生有著良好的幾何直觀與空間思維。因此在公式的推導過程中，需要讓學生建立起清晰的直觀思維，由直觀過度到抽象。

（1）幾何直觀中“分與合”的巧用。本單元中長方形與正方形的周長公式的掌握既是重點也是難點，因此在長方形的公式推導過程中，需要對長方形的長與寬進行拆分，可以分成長、長、寬、寬，先明確長方形的周長是由這四條邊組成，進而進一步明確有兩條長與兩條，將長方形的周長公式由“長+長+寬+寬”轉變為“長×2+寬×2”;而最為關鍵的一步便是利用圖形的組合將一條長與一條寬組合為一組，再將公式轉變為“（長+寬）×2”。其“分與合”過程可由下圖表示出來：

通過將圖形“分與合”，在簡單與復雜的過程中理解公式的意義，也進一步發展學生幾何直觀。其實幾何直觀中的“分與合”是圖形的運動與變化的過程，而學生的幾何思維發展正需要這種靜態與動態的結合，例如：用16張邊長為1cm的正方形紙，怎么拼才能使拼成的圖形周長最短？教材中的這一內容其實是讓教師的教與學生的學成為“動態” [2]，與將圖形“分與合”來讓學生進一步理解，有著異曲同工之妙，其本質都是讓學生以直觀的形式去探究幾何圖形中存在的奧秘，以便促進幾何直觀的發展。

（2）公式的逆運用與幾何直觀相輔相成。在問題1與問題2所展現的是公式的正向運用，其測試的結果效果相對較好，但是在問題3中，正確率卻大幅下降，這與思維方式存在莫大聯系。問題3并不是需要求周長，而是告訴你周長，需要你來畫出這個長方形，顯然這是長方形周長公式的逆運用。而對于三年級的小學生，并不會將長方形的周長=（長+寬）×2變形為一組（長+寬）等于長方形的周長除以2，當然在教學過程中許多教師也會將這組變形的公式讓學生直接運用，但部分學生并不能理解其中的真正含義。

因此，遇到此類題目時，幾何直觀的作用大大顯現，例如：問題3中已知長方形周長是14cm，通過“分與合”的教學知道有兩組長+寬，通過14÷2就可以知道，一組長+寬是7cm，最后通過列表的形式就可以畫出長6cm與寬1cm、長5cm與寬2cm、長4cm與寬3cm的長方形，由此可見幾何直觀與公式正、逆運用之間存在的聯系是密不可分的。

（3）情境創設，聯系實際。生活處處有數學，這句話并不是簡單的說說。許多經典的數學題往往源于生活本身，在本單元中，周長的計算常常與操場跑步、菜地籬笆等生活情境結合，例：操場跑步兩圈，學生首先要理解操場周長在哪，確定周長的長度，在將周長乘2計算;而菜地籬笆的題型卻不同，其往往有一條邊是不需要計算進去，因為那條邊靠墻，為節省材料而少計算靠墻的一邊。因此面對不同的生活情境，幾何題型具有多變性，需要聯系生活實際加以探究。

因此，在幾何直觀的題型當中，需要對其進行生活情境的再現，與生活實際相聯系，理解題目中所表達的意識后，用數學圖形進行簡單的表達，例如菜地題型可以用上述所出現的例題圖形進行簡單的草圖繪畫來幫助理解，從而達到“數形結合”的巧妙效果，即從生活中來又回到生活中去。

三、在圖形與幾何問題教學中發展幾何直觀核心素養

在核心素養中的幾何直觀發展，各類圖形與幾何問題是發展學生幾何直觀的途徑之一。因此在一類幾何圖形問題中，需要通過循序漸進的方式發展學生的幾何直觀，例如上述對人教版三年級上冊“長方形與正方形”單元中的典型例題分析，可見發展幾何直觀的第一步需要明確圖形與幾何問題中的幾何概念;其次幾何問題中的公式需要有深層次的理解，而非死記硬背、生搬硬套，需要將公式與幾何直觀相融合，進而能夠將公式的正、逆運用熟練的掌握;除此之外，發展學生將幾何直觀與生活具體情境相聯系，用生活經驗推進幾何直觀的發展。當然，幾何直觀的發展需要由易到難，在基礎概念上理解、在理解基礎上運用公式、在熟練掌握下逆用公式、生活經驗與幾何直觀結合等，一步步有序地發展學生的幾何直觀。

參考文獻：

[1]國家義務教育數學課程標準研制工作組.義務教育數學課程標準[M].北京：北京師范大學出版社，2011.

[2]謝清霖，鄭璘玲.把握教材細節變化，適時調整教學策略[J].小學數學教育，2014，（9）.