略談高中數學函數單調性問題

梁曉玲

摘要：日新月異的社會在不斷地進步。隨著時間的發展，國家對于教學的要求也越來越高，所以對于開展高中數學的課程也尤為重要。從課程開展以來，高中數學的相關教學也在不斷地發展，相應的教學方式和教學方法也越來越得到人們的重視，所以在教學過程中提高教學能力和教學技巧至關重要。本文對函數單調性的問題進行探討。

關鍵詞：高中數學；函數；單調性

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：A文章編號：1992-7711（2021）16-0121

一、為什么要學習函數

通過初中數學的學習，我們學過的函數有正比例函數、反比例函數、一次函數和二次函數。這些函數都是與相關的變量有關，例如在一個變化過程中，x是有一個相應的范圍，而函數也有對應的每一個值y，y數值與x數值存在著某種數量關系，那么就稱y為x的函數，在函數過程中x稱為自變量，y稱為因變量。如果將其延伸到高中數學，那么就涉及集合問題。設A，B是非空的集合，如果按某種數量關系，使在集合A中的任意一個數值，在集合B中都有它唯一的數值和其對應，那么就稱：A、B為從集合A到集合B的函數，記作函數y=f（x），其中x叫自變量，（x的取值范圍A，叫作函數y=f（x）的定義域）。學習相關的函數，我們可以從其中找到對應關系來總結相應的規律，就可以運用在解題方面，將題目中的文字轉化成數字的整合，進而將題目的信息套進去，再者可以根據信息求出題目的答案。還有一些題目也是可以通過已知的函數，進行構建數學模型，畫出相應的圖形或者坐標，根據圖形或者坐標的走勢在圖中尋找解題的突破點。而且在我們的日常生活中，比如關于去商店購物，那么要進行大批量的采購時，如何能夠準確，而且又經濟、劃算地采購，可以通過構建函數來找到其中的最值問題，為我們的生活提供便利以及解決問題的方案。可見，學習函數是很有必要的。

二、在高中數學課堂中解決函數單調性問題最常用的方法

1.從概念出發解決

在學習函數中最重要的性質之一就是單調性，它在高中數學中有許多相關的應用。比如，我們常用的就是根據求函數單調性的方法來求整個函數變化趨勢及它的值域范圍，如果想解決函數單調性的問題，首先可以考慮從概念出發，對于函數f（x）的定義域，如果是在某個定義域范圍，有兩個任意的值x1、x2，當x1小于x2時，函數f（x1）的值小于函數f（x2）的值，則說明這個函數在這個定義域范圍內屬于遞增函數；當x1小于x2時，函數f（x1）的值大于函數f（x2）的值，則說明這個函數在這個定義域范圍內是屬于遞減函數。根據其具體的概念，我們可以在題目所設定的定義域中，假設兩個固定的值，并通過套相應的函數去比對它們之間的差值。如果符合函數逐漸增大，也就是大于零，則說明是增函數，如果是小于零，則說明是減函數。

2.根據性質來判斷

利用生物學上薩頓的類比推理法的原理，得出函數的性質，在初中學習的時候，我們都知道基本初等函數有單調性，高中的函數也具有單調性，基本函數是單調遞增或者單調遞減，復雜函數可能是間斷性的變化，根據這一性質我們可以用同類相比的方式進行解題，用數學運算的方式進行比較，例如有兩個函數f（x）、g（x），f（x）、g（x）都是屬于增函數，將其進行簡單的加減乘除運算，最終得出結果，那么將這兩個函數相加起來即f（x）+g（x），也是屬于增函數，還可以用這兩個函數進行相乘即f（x）×g（x），如果兩者相乘恒大于零，說明它就是遞增函數，而當兩者相乘小于零則是遞減函數。

3.同號為增函數，異號為減函數

學科之間有內容是可以互通的，比如在物理學上關于磁鐵同性相斥異性相吸，根據其原理，我們可以猜測在函數中同號為增函數，異號為減函數，這個方法適合處理一些復合型的函數——單調性的問題，因為在復合函數y= f [g（x）]中，可以轉換成兩個函數進行求解，是因為涉及還有一些內含函數的值域相關問題，我們可以將其中的函數設為一個值，那這個函數就可以把它寫成，令t=g（x），將其轉換則y= f（t）。根據設定的函數，我們可以由其中的兩個函數的單調性來判斷，如果有兩個函數的單調性相同，那么復合函數的單調性是增函數，如果有兩個函數的單調性不同，那么復合函數則為減函數。但是首先要知道內含函數的單調性，才能知道復合函數的單調性。其實就是轉換成求內含函數的單調性。

4.構建模型

近幾年的高考中，很多學科都涉及建模的方向，通過模型的構建其實是比較直觀的表述，讓學生能在思維上得以提升，是一種極其形象的方法。在數學學習過程中，關于模型的構建及利用是非常廣泛的。利用模型，可以非常直觀地描繪出函數的變化趨勢，進而判斷它在某一個區間的單調性。比如，當某個函數在大于零的情況下，它的定義是什么樣的？當它的值小于零的情況下，定義又是怎樣的？這樣，它的單調區間就可以把兩種情況整合在一起，得出相應的答案。

5.利用導數求值

關于利用導數求單調性，其實在高考中的應用是非常普遍的。因為用導數來求最值是最直接、最快速的一種方式，首先我們必須要理清楚函數的單調性與導數之間的關系。例如在某個區間內，如果函數的導數大于零，那么這個函數在該區間內就是單調遞增，如果該函數的導數小于零，那么該函數在這個區間就是單調遞減。所以，求單調區間問題就轉化為利用函數求其導數，根據上述的判斷方法，進一步利用其導數大于零，求其遞增區間或者利用其導數小于零，求遞減區間。

三、總結

總而言之，上述講的五種方式都各有其優勢，也能夠從本質上來解決問題。所以，關于函數單調性的問題，有不同的方法來進行解答，也可以通過學生在不斷的訓練過程中掌握并找到適合自己的方法，進一步解決數學問題。

（作者單位：廣西北海市鐵山港區南康中學536000）