高中數學建模素養提升的課堂實踐與思考

林秀娟

摘 要：高中數學課堂務必開設數學建模課讓學生經歷分析和提出問題，建立和求解模型，檢驗和完善模型的過程。高中數學建模素養提升的課堂基于教材又高于教材，不僅考驗學生閱讀提取信息的能力，還考驗學生借助計算機輔助手段創造性思考，數學的表達與交流的能力。

關鍵詞：數學建模;教學實踐;課堂思考

《課標（2017年版）》表明數學建模素養是把實際問題抽象成數學問題，用數學知識和思想方法建立模型解決問題的素養。數學建模過程主要包括：閱讀題目提出問題，分析問題、收集信息，分析信息、模型假設，建立模型、解決問題，檢驗還原、優化模型最終解決實際問題。[1]

一、數學建模素養提升課堂的發展目標

高中數學課堂務必開設數學建模課讓學生經歷分析和提出問題，建立和求解模型，檢驗和完善模型的過程。數學建模離不開解題，解題是數學建模提升課堂的導向，課堂上把握數學本質，引發學生思考與交流，是形成和提升數學素養，培養學生運用數學思維來解決與數學有關的實際問題的重要手段。高中數學建模素養提升的課堂基于教材又高于教材滲透了數學建模在各個領域的作用，不僅考驗學生閱讀提取信息的能力，還考驗學生借助計算機輔助手段創造性思考，數學的表達與交流的能力。既然高中數學建模在培養學生的數學素養中有著不可或缺的作用，那么如何在教學中開展數學建模課，提升學生的應用意識、應用能力呢？筆者覺得開展以“問題引領，模型假設，操作實踐，模型優化的課堂教學”中滲透高中生數學建模素養成為課堂的基本任務。

二、提升數學建模素養的教學實踐

（一）發現問題、提出問題

我們學校東邊的樓盤--世紀城今天開盤了，開盤價7926元/平方米。目前房價已經到了一個比較高的水平，貸款買房已經成為很多家庭買房的選擇。貸款方式主要有兩種：等額本息與等額本金。如果貸款金額相同，選擇不同的貸款方式在月還款額、貸款利息方面都有一些區別，也適應于不同特點的購房人群。同學們能否建立等額本息和等額本金貸款模型為買房者提供建議呢？

（二）分析問題、收集信息

問題1：現在我們要解決一個什么問題呢？（培養學生自主提取信息的能力），影響貸款方式的選擇有哪些因素？（培養學生發現問題的能力）

家庭月收入與支出情況，家庭住房公積金繳存金額，買房的目的是解決住房問題還是為了投資，銀行貸款利率都會影響我們的決策。

問題2：那我們要做哪些準備工作呢？（引導學生借助計算機輔助手段查閱資料）

（1）查閱利率。2020年我國貸款基準利率為：一年（含）以內的短期貸款利率為4.35%;一至五年（含）的中長期貸款利率為4.75%;五年以上的中長期貸款利率為4.9%;五年（含）以下個人住房公積金貸款為2.75%;五年以上個人住房公積金貸款為3.25%。

（2）等額本息與等額本金的概念及計算方法。

等額本息還款指的是本金逐月遞增，利息逐月遞減，月還款數額不會改變的一種還款方式。等額本金指的是本金保持相同，利息每月遞減，月還款數額也會遞減。等額本息計算公式：〔貸款本金×月利率×（1+月利率）2還款月數〕÷〔（1+月利率）^還款月數-1〕。等額本金計算公式：每月還款金額=（貸款本金÷還款月數）+（本金—已歸還本金累計額）×每月利率，其中^符號表示乘方。

（三）分析信息、模型假設

（1）銀行貸款期利率不變;

（2）客戶在還款期內還款能力不變;

（3）家庭經濟情況：家里3口人，月收入12000元（年收入144000元）父母雙方均有交公積金，平均生活費用占月收入50%，現有存款40萬，但需要留5萬做急用資金，預計可向親朋好友借20萬。可承擔月還款金額：6000元;可一次性支付資金55萬。

（4）預選房：三明世紀城135平方米毛坯房，單價7926元/平方米。

（四）建立模型、解決問題

總價格：135×7926=1070010元

預計裝修費用：200000元

預計貸款費用：800000元

貸款期限：20年至30年

還可以商業貸款，銀行給出的額度最高為房價的70%，即749007元，公積金貸款，最高500000元。

請同學們6個人一個小組建立數學模型，選出最優方案。

問題3：有哪些建模方案呢？

方案一公積金貸款金額500000元，貸款年限20年，貸款方式為等額本金;商業貸款金額300000元，貸款年限20年，貸款方式為等額本金。

貸款總額：800000元，還款總額：1106270.83元，支付利息款：306270.83元。

等額本金貸款20年每個月還款金額如下：

方案二公積金貸款金額500000元，貸款年限20年，貸款方式為等額本息;商業貸款金額300000元，貸款年限20年，貸款方式為等額本息。

貸款總額：800000元，還款總額：1145915.93元，支付利息款：345915.93元，月還款金額：4774.65元。

方案三公積金貸款金額500000元，貸款年限30年，貸款方式等額本金;商業貸款金額300000元，貸款年限30年，貸款方式等額本金。

貸款總額：800000元，還款總額：1258770.83元，支付利息款：458770.83元。

等額本金貸款30年每個月還款金額如下：

方案四公積金貸款金額500000元，貸款年限30年，貸款方式為等額本息;商業貸款金額300000元，貸款年限30年，貸款方式等額本息。

貸款總額：800000元，還款總額：1346750.5元，支付利息款：546750.5元，月還款：3740.97元。

四種方案進行比較：

通過數學模型方法我們已經計算出四種方案的具體數據，下面我們分析不同情況下的最優選擇。

情形一：優先考慮還款總額的購房者，推薦方案一，理由是方案一還款總額最少。

情形二：優先考慮月還款壓力購房者，推薦方案四，理由是等額本金的特點為前期壓力大，在其他條件相等的情況下選擇等額本息壓力更小，所以放棄方案一和方案三;方案四的月還款比方案二的少，所以選擇方案四。

情形三：有提前還款的意向。（公積金利率本來就少，故不考慮提前還款，這里的提得起還款指商業貸款）推薦方案三，提前還款者經常是在還款期限的前三分之一的時間段內還款，等額本金一開始還的利息比較少，等額本息比等額本金要支付更高的利息。

（五）檢驗還原、總結提煉

等額本金貸款20年在第一個月比等額本息貸款20年多還款1101元，逐月遞減，到第240個月等額本金比等額本息少還款1431元。等額本金貸款30年在第一個月比等額本息貸款30年多還款1023元，逐月遞減，到第360個月等額本金比等額本息少還款1511元，所以比較適合有一定經濟基礎，能承擔前期較大金額的貸款人。由上述四種方案的比較得出等額本金總利息支出較少，所以買房為了投資的購房者也適合選擇等額本金還款方式。

等額本息的優點就是每月償還的貸款額度相同。等額本息適合收入相對穩定、前期投入不能過大的家庭。兩種還款方式各有特點，適合不同的購房者采用。如果貸款30萬以內，年限20年以內，本金法與本息法相差不會太大。貸款金額越多，貸款年限越長，等額本息相比等額本金要支付更高的利息，需要仔細考慮。

三、數學建模素養提升課堂的思考

（一）建模課的核心在“體驗”

建模過程將書本知識遷移與轉化到解決身邊的實際問題中，引導學生學會用數學的眼光看待問題，會用數學的思想、思維分析和解決問題，還能用數學的語言表達和交流問題。讓學生掌握知識技能的同時，積累數學活動經驗，感悟數學思想方法，發展具有數學基本特征的思維品質，關鍵能力和價值觀念，感受數學與信息技術的相互促進作用。

數學建模課需要注意的問題：

1.要給學生營造建模的氛圍，讓學生從中感受用數學模型解決實際問題的樂趣。

2.教師要留意生活實際問題，也要提醒學生關注身邊的事物，為數學建模活動提供思路。

3.所選問題要能幫助學生理解和解決生活問題，體會數學建模課堂給生活帶來的樂趣和意義。

4.讓學生團隊合作，共同克服困難，主動地做數學、學數學、用數學。[2]

（二）建模課師生的角色

數學和其他學科相比在培養學生的邏輯思維上有明顯優勢，特別是培育善于認識問題，有邏輯的創造性的思考數學和其他領域問題的人才。當今社會需要合作型人才，學生要有團隊交流能力，能促進團隊合作，也要成為擁有現代信息技術的人才。研究表明遇到問題能快速找到基本的模型，實施精準解題，能借用以前學習的解題路徑的考生作答用時越少，得分也較高，說明建模能促進學生思維敏捷，加快作答速度。和傳統授課方式相比數學建模的教學過程提升了學生思維的創新意識，提高了學生數學的實踐能力，讓學生認識到數學的科學價值，應用價值。通過高中數學建模素養提升的課堂學習，感悟數學與實際問題之間的關聯，積累數學實踐的經驗;認識數學建模在解決科學、社會、工程技術諸多領域的作用。[1]

教師的作用不僅在于營造課堂內外的研究氛圍，提供建模思路讓學生自主探究或者合作學習建立模型，給學生提供展示成果的機會和優化模型的建議，并以此提高學生學習數學的興趣和信心，形成良好的數學學習習慣。教師責任還在于樹立學生善于思考，敢于質疑的嚴謹求實的科學精神。

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[2]章建躍、張艷嬌.數學建模活動的課程理解、教材設計與教學實施[J].中學數學教學參考（上旬），2020（6）：13-16.

《三明市基礎教育科學研究2020年度（專項）課題研究成果-<數學建模在高中課堂中的實踐與思考>-課題編號：JYKT-20003》