深度解讀教材發展空間觀念

徐純

[摘 要]數量關系和空間形式是數學研究的兩大基本范疇。培養、發展學生的空間觀念是小學數學“圖形與幾何”領域教學的重要目標。在教學中，通過深度解讀教材，挖掘空間觀念發展的要點，基于教材解讀，探索學生空間觀念發展的路徑，對提升學生的核心素養有重要意義。

[關鍵詞]教材;旋轉;空間觀念

“描述圖形的運動和變化”是發展學生空間觀念的重要過程。圖形的旋轉作為小學圖形運動教學中的難點，對于發展學生的空間觀念有重要的意義。教師深度解讀教材，挖掘空間觀念發展的要點、把握學生認知的起點、探尋空間觀念發展的路徑，可以讓學生空間觀念的發展更有向度。以下是筆者的一些思考與實踐。

一、基于教材編排特點，挖掘空間觀念發展要點

旋轉是一種運動現象。既然是運動，就不僅要知道運動的結果，還要知道運動的過程。因此，圖形的旋轉的學習不僅是技能的訓練，而且是空間觀念的發展與提升。那么，教材的編排如何發展學生的空間觀念？

1.注重生活經驗，感知旋轉特征，建立空間觀念

數學來源于生活。對于旋轉，蘇教版、人教版、北師大版教材都創設了汽車從小區門口開出的情境，以日常生活中常見的道閘桿引入旋轉的概念，喚起學生的生活經驗，引導學生觀察道閘桿升起和下降的過程，比較兩個過程的相同點和不同點，感悟旋轉的概念與特征：將圖形繞一個定點轉動一定的角度，這樣的圖形運動稱為圖形的旋轉;旋轉不改變圖形的形狀、大小;旋轉的方向有順時針與逆時針;旋轉的三要素是旋轉中心、旋轉方向和旋轉角度。當學生能在頭腦中想象道閘桿順時針或逆時針轉動的時候，學生的空間觀念便得到了發展。

2.注重動手操作，感知圖形旋轉，發展空間觀念

例如教學蘇教版教材例3（圖略），在方格紙上將直角三角形旋轉90°是本課的難點，也是本單元的難點。人教版教材將這一內容安排在五年級下冊，而北師大版教材則安排在六年級下冊。相較于圖形的平移、軸對稱，只要明確距離、找出關鍵的對應點，即可找到旋轉后的對應圖形，雖然旋轉前后圖形任意兩點間的距離不變，但是對應線段比較難找。畫旋轉后的圖形，不僅要兼顧旋轉三要素，即明確旋轉中心、旋轉方向、旋轉角度，還要在頭腦中建立“運動著”的三角形的表象，需要較強的空間想象力，對一些學生來說并不簡單。筆者通過前測，讓學生畫出例3中直角三角形旋轉后的圖形，學生的正確率僅為17.65%。如何突破這一難點，發展學生的空間觀念？三個版本的教材都設置了動手操作活動。人教版教材設置了例2，在方格紙上旋轉直角三角形，蘇教版、北師大版教材則提供了和例題相同的三角形讓學生進行旋轉，讓學生在動手操作中感知旋轉的特性，掌握畫旋轉后的圖形的方法。正是這樣一個動手操作的實踐活動，讓學生將頭腦中的表象與實物操作的具象相融合，深度感知旋轉的過程，有效突破了教學難點，強化了學生的空間觀念。

3.注重練習設計，畫出旋轉圖形，深化空間觀念

蘇教版教材例3中，教材精心選擇了3個頂點都在格點上的直角三角形，且它們的兩條直角邊都與方格線重合，降低了旋轉的難度。通過比較旋轉前后的圖形，引導學生發現對應邊之間的關系，概括畫旋轉后的圖形的方法。在“練一練”中，教材又安排了長方形的旋轉，圖形由3個頂點變為4個頂點。再到“練習一”的第4題，設計了只有一條邊與方格線重合的圖形，讓學生通過一條線段的旋轉去想象整個三角形或梯形旋轉后的位置。整個練習設計由易到難，逐步增加想象的空間，讓學生在畫出旋轉后的圖形的同時深化空間觀念。

二、基于教材深度解讀，探索空間觀念發展路徑

1.以生活經驗為基礎，在觀察與比較中把握內涵實質，發展空間觀念

【片段1】

師：道閘桿AB繞點A逆時針旋轉90°，以下4幅圖中，哪幅圖正確？其他3幅哪里有問題？

師：將三角形ABC進行旋轉得到4幅圖，請仔細觀察，它們有著怎樣的同與不同？為什么？

生1：我認為相同的地方在于，雖然都發生了旋轉，但是三角形ABC的大小都沒有發生改變。不同之處在于，第①幅圖中三角形ABC繞點B逆時針旋轉90°，第②幅圖中三角形ABC繞點B順時針旋轉90°，第③幅圖中三角形ABC繞點C逆時針旋轉90°，第④幅圖中三角形ABC繞點A順時針旋轉90°，它們要么旋轉中心不同，要么旋轉方向不同，所以旋轉后的位置也不相同。

生2：我有補充。不管怎么旋轉，它們都是旋轉了90°。在每一幅圖中，三角形的每條邊都旋轉了90°。

瑞典著名教育家馬飛龍教授曾指出，學習就是鑒別，有比較才有鑒別。那么，如何引導學生認識旋轉三要素，進而把握旋轉的本質？在教學中，依托學生的生活經驗，讓學生在觀察中主動比較，在比較中深度觀察，此時的數學活動更能促進學生把握旋轉的內涵實質。

在學生借助道閘桿的升起和下降這一生活經驗認識了旋轉三要素后，教師在片段一設置了觀察道閘桿AB繞點A逆時針旋轉90°的環節，利用生活經驗的支撐，喚起學生在生活中建立起的表象，建立起生活經驗與數學知識的聯系，讓學生在尋找正確答案的同時找出出錯的原因，多角度感知旋轉三要素，深度理解旋轉的特征。此時，學生依托生活經驗辨析片段一中的4幅圖，通過在頭腦中建立旋轉的表象進行判斷。這時的觀察都伴隨著空間想象，學生會思考許多問題，如是什么原因導致這幅圖的錯誤呢？是旋轉中心沒有找對還是旋轉方向錯誤？對應線段的長度是否發生了改變？學生在觀察、糾錯、析因中厘清旋轉的三要素：旋轉中心、旋轉方向、旋轉角度。同時，對圖③的判斷更讓學生對于旋轉是剛體運動，旋轉前后圖形的大小不發生改變的性質有了更深層次的認識。

在片段二中，由生活中的物體到圖形，通過觀察三角形ABC旋轉后圖形的不同位置，全班交流、匯報旋轉后圖形的同與不同，讓學生以運動變化的眼光觀察圖形，并再一次感受到圖形旋轉后位置變了但是形狀并沒有改變，相鄰兩點的距離仍相等的特性，而由于旋轉的中心不同、方向不同、角度不同，導致旋轉后的結果不同。學生在同與不同的比較和辨析中感受平面圖形剛體運動的不變性質，感受變與不變的數學思想，提高抽象概括能力，感悟事物間的因果關系，發展空間觀念。

2.以動手操作為依托，在自主建構與深度參與中突破難點，強化空間觀念

【片段3】

師：我們已經認識了旋轉的方向，現在請你伸出右手跟著鐘面上指針的轉動方向進行比畫，先順時針，再逆時針。

【片段4】

師：課前你們已經準備好了活動角，請你將活動角的兩條邊重合并將開口向左，將活動角的一條邊順時針旋轉90°，合攏，再逆時針旋轉90°;接著再換個方向，開口向上，將一條邊逆時針旋轉90°，合攏再順時針旋轉90°……

【片段5】

師（出示蘇教版教材例3）：你能把這個三角形繞點A逆時針旋轉90°嗎？先獨立想象，如果有困難，再拿出課前剪好的三角形旋轉一下。

曹培英指出，在整個小學階段，觸覺、運動覺與視覺的協同活動，始終是獲得空間觀念的有力支撐。三次操作活動，層層深入。第一次操作，讓學生在手的比畫過程中，明確了順時針和逆時針的區別。身體的參與，讓學生獲得大量的空間知覺，有利于清晰判斷順時針、逆時針的方向。第二次操作，通過旋轉活動角的一條邊，學生感知線段在不同位置旋轉，結果也是不同的，通過活動角的轉動，深度感知逆時針與順時針的方向，進而由空間知覺發展為空間表象。第三次操作，是讓學生掌握怎樣將直角三角形逆時針旋轉90°，教師沒有教給學生旋轉的方法，而是讓學生充分進行空間想象，自主建構。有的學生結合已有經驗，把圖形想象成自己，用“躺下”“趴倒”來描述旋轉方向，化解難點。有的學生將直角三角形的旋轉變為兩條與方格相垂直的線段的旋轉，化二維為一維，化難為易。此時進行操作，是學生經歷空間想象后的操作，是帶有驗證性質的操作，不僅給學生提供了“腳手架”，而且能讓學生將頭腦中建構的表象與實物的操作相對照，讓學生確定自己的想象正確或修正自己的錯誤，從而發展空間觀念。

3.以多元練習為載體，在想象與演示中理解與內化，提升空間觀念

【片段6】

（1）把三角形繞點A順時針旋轉90°。

（2）把四邊形繞點B逆時針旋轉90°。][B][A]

師：三角形繞點A順時針旋轉90°后，它的位置會在哪里？請同學們仔細觀察，在頭腦中想象出圖形的位置。

【片段7】

師：你們玩過俄羅斯方塊嗎？如圖所示，怎樣移動圖中的圖形①，可以消掉下面的方塊？

生1：將圖形①繞點A逆時針旋轉90°，然后向下平移6格，就可以消掉下面的方塊。

生2：也可以把圖形①繞點D逆時針旋轉90°，然后向左平移1格，再向下平移7格。

生3：還可以將圖形①繞點B順時針旋轉90°，然后向左平移5格，再向下平移6格。

師：下面兩個圖形呢？

空間觀念的核心是空間想象力。如何發展學生的空間想象力？在片段六中，教師首先給學生一定的時間去充分想象旋轉后的圖形是什么樣的、在什么位置，并獨立畫出來，再通過多媒體演示學生想象的過程，由虛到實，由頭腦中的表象到可以觀察到的圖形，讓學生的空間觀念充分發展。在練習中，教師創設俄羅斯方塊的游戲情境，讓學生在消掉方塊的游戲中心情愉悅地展開想象，輕松愉快地發展空間想象力。在片段七中，學生大膽發揮想象，匯報自己不同的方法，可以通過繞點A旋轉圖形①后平移，消掉下面的方塊，也可以繞另外的某點旋轉后再進行平移完成游戲。不唯一的方法為學生空間想象力的發展提供了更多的可能，同時該情境將旋轉與平移兩種運動相結合，深度發展學生的空間觀念。在學生想象后，教師對不同的方法輔以多媒體動畫演示，展示學生想象的過程與結果，將學生頭腦中已有的正確的表象進行強化，化模糊為清晰，讓空間觀念在學生的頭腦中“落地生根”。

解讀教材是每一位教師必做的功課，發展學生空間觀念是“圖形與幾何”教學不變的主題，在“圖形與幾何”的教學中，在深度解讀教材的基礎上，探索學生空間觀念的發展路徑，是一線教師永恒的研究課題。

（責編 吳美玲）