高中數學建模分層次教學案例探究

摘 要：數學建模是數學六大核心素養之一，它有助于培養學生的獨立思考能力和自主學習能力，有助于培養學生的創新能力和綜合素質。數學建模分層次教學是基于學生層次、認知結構、知識結構的不同，分層次的逐步推進教學。四個層次的教學案例展示了數學建模教學的四個階段，層層遞進的促使學生參與數學建模活動。

關鍵詞：高中;數學建模;分層次教學案例

《普通高中數學課程標準（2017年版）》中，提出數學建模作為數學核心素養之一，把數學建模作為內容主線，在選修、選擇性必修部分都進行了相應的內容要求、教學提示和學業要求。同時，新課標中刪減了一部分過去高考要考的內容，這為新增的“數學建模與數學探究活動”騰出了課時。雖然有了課時的保證，但數學建模教學作為“新事物”，沒有成熟的“課型”和“模式”作參考，如何進行數學建模教學是一線教師面臨的一大挑戰。

一、數學建模教學的切入

在原始的數學課堂中，應用題的教學備受重視。在應用題的教學中，教師和學生處理的是對實際問題中的已知條件進行分析，將題目中所有條件充分利用，可以得到一個確定的結果，這種課型注重的是“建立模型”和“模型求解”.而數學建模要有意識地去發現問題、提出問題，建立數學模型，然后求解模型，最后求出數學結果，并對這一結果進行分析檢驗、不斷校正。可以發現，應用題的解答只是整個數學建模中的部分環節。所以，數學建模的教學不等同于數學應用題的教學，在教學中可以以此為突破口，將應用題加以改造，設計成生活中的實際問題，然后分層次的引導學生完成數學建模教學。

二、數學建模教學的分層

對于剛進入高中的大部分學生來說，對數學建模的認識是模糊的，讓學生獨立完成數學建模是比較困難的。針對學生對數學建模的認知，筆者以為數學建模進行分層次設計，才能夠起到更好的教學成效。

（一）第一階段——了解認識階段

數學建模的起始課，學生并不清楚什么是數學建模，教師則需要從學生生活出發，選取一些較為簡單的數學建模題目，進而按步驟來進行有效引導示范建模過程，使學生對數學建模有一個初步的認知與理解。

（二）第二階段——嘗試初級階段

基于第一階段的教師示范，學生們對數學建模有了初步的認識，第二階段的教學，教師可以針對性地選用一些更具建模特點的題目，有意識地讓學生獨立完成建模的部分步驟，在學生的障礙點教師點撥引導。這一階段需要教師在求解建模這個難點處，幫助學生克服。這一階段需要一個漫長的過程，教師要有足夠的耐心。

案例1：建立函數模型解決實際問題

課前準備

問題1：中國茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關.經驗表明，某種綠茶用85℃的水泡制，再等到茶水溫度降至60℃時飲用，可以產生最佳口感.那么在20℃室溫下，剛泡好的茶水大約需要放置多長時間才能達到最佳飲用口感？降溫的時間可能與那些因素有關？

問題2：茶水降溫的時間與很多因素有關，請根據你們認為的主要影響因素，分組做茶水冷卻實驗并錄制視頻記錄實驗過程并收集數據。

二、課上教學

1.學生展示

展示小組收集數據、分析數據的過程。

學生分析，茶水的溫度變化與所處的環境（室溫、空氣流動狀況、茶水的初始溫度），杯子的材質，水容量等諸多因素有關，但最主要的影響因素是時間。

展示室溫密閉情況的茶水溫度與時間變化的實驗過程及數據：

首先，實驗準備器材：250ml的85℃的茶水、溫度計、計時器、紙、筆;

其次，小組成員討論實驗步驟，確定實驗分工;

其三，實驗步驟：

（1）記錄室溫，實驗環境;（室溫20℃，關閉門窗）

（2）測量茶水溫度隨時間變化的數據;

（3）在實驗記錄表中填寫實驗數據：

思考：溫度y是時間x的函數嗎？如果是，以上述數據為例，繪制出點（x，y），并根據繪制的點觀測它符合哪類函數，函數解析式如何求解？

2.建立模型

探究1：根據水溫隨時間變化圖象的分布，結合水溫變化的實際意義，我們該選擇哪種函數模型來刻畫水溫隨時間的變化呢？

圖象是單調遞減的，考慮到茶水溫度降低到室溫就不能再降的事實，我們只能選用反比例函數模型或指數函數模型來近似地刻畫茶水溫度隨時間變化的規律。

[建模一]

以指數函數模型為例，設

（）

引導：當x=0時，茶水的初始溫度是85℃，所以，由此可得k=65;

追問：如何利用收集的數據，借助圖形計算器求a呢？

x=1，y=81.6，解得a=0.948;

x=2，y=78.8，解得a=0.951;

x=3，y=76.3，解得a=0.953;

這樣可以得到的多個a值都不同，我們取哪個作為a的值呢？

結論：平均值（精確到0.001），計算得到a=0.954.

這樣，水溫y與時間x的解析式：

[建模二]

以反比例函數模型為例，引導學生得到水溫y與時間x的解析式為：

3.檢驗模型

探究2：我們得到的兩種函數模型都能大致反應茶水溫度變化的局部規律，你認為哪種函數模型擬合的更好些？

利用圖形計算器發現：局部擬合效果都很好，但是隨著時間的變化，當水溫降至30度時，反比例需要104分鐘;而通過實驗得到：茶水的溫度降至30度只用了51分鐘，差異較大，所以指數函數模型更符合實際。

4.模型應用

回歸引例，解決問題1

5.總結提升

簡介牛頓冷卻定律

6.學以致用

課下研究外賣員送餐時，食物的冷卻問題。

（三）第三階段——嘗試中級階段

愛因斯坦說過：“提出一個問題，往往比解決一個問題更重要，因為解決一個問題也許僅僅是一個數學上或實驗上的技能而已，而提出新的問題、新的可能性，從新的角度去看舊的問題，都需要有創新性的想像力，而且標志著科學的真正的進步。”在生活中發現數學問題，是學生的難點。這個階段，教師不再給出問題，把重點放在讓學生發現設計問題上，教師參與學生提出問題的過程中。學生在尋找問題的過程中，小組同學思維碰撞，學生建模的興趣會逐漸高漲。

案例2：與疫情有關的數學建模開題研討

課前安排各小組查閱資料，確定感興趣的數學建模問題。然后各小組匯報要解決的問題、選題的原因及意義、研究思路。最后全班同學討論，指出問題，確定合適的研究問題。

研究問題集中在以下幾個：

1.研究謠言傳播的模型及改變免疫增強率對謠言傳播的影響;

2.英國群體免疫的可行性研究;

3.疫情對中國中小商家經濟的影響;

4.不同防疫措施對疫情擴散情況的影響。

討論總結：謠言傳播問題要用到平均場方程，我們可以放在大學去研究;英國群體免疫問題，因英國政策改變，拿不到自然傳播的數據，無法繼續研究;疫情對經濟的影響，研究題目太大，可以縮小在某一種小商家進行研究;不同防疫措施對疫情擴散影響，在建立一些模型假設的基礎上，是建立函數模型，可以研究。

（四）第四階段——探索高級階段

在經歷前三個階段的數學建模過程后，學生具備了一定的建模能力基礎，在這個階段讓學生自主選擇實際生活中的問題，組建小組，經歷數據分析、數據整理、問題假設、模型構建、模型求解和模型檢驗等完整的數學建模過程，并最后寫出研究報告，撰寫論文。

三、數學建模教學的思考

隨著數學建模教學的開展，在教學過程中發現了一些問題，如何解決一系列問題，值得教師思考。

（一）數學教師對建模的認識有待改變

有些教師以為數學建模就是解決原始的應用題，對建模的認識還是停留在第一階段，阻礙了后期幾個階段的開展。數學建模的全過程給學生提供了聯想、領悟、思維與表達的平臺，分層次教學促進學生思維由此及彼、由淺入深地發展。第四階段充分展現了數學解決生活實際問題的真實過程，有助于培養學生查閱文獻、發現問題、分析問題、解決問題、論文寫作及學術交流表達的能力，有助于培養學生的獨立思考能力和自主學習能力，有助于培養學生的創新能力和綜合素質。

（二）數學教師的建模能力有待提升

筆者在數學建模教學過程中發現，建模過程對教師的能力要求很高。數學建模所涉及的范圍廣，對教師的數學素養及知識面、數學軟件的操作能力、論文寫作能力等都有很高的要求。一線教師也要有層次性的提升自我的數學建模能力，建議一線教師多參加建模培訓。

（三）數學建模課堂形式多樣化

分層次教學后，有些數學建模在課堂進行，有的需要課外進行。教師可以多樣化的開展數學建模，比如利用社團活動，校本課程，建模比賽等，也可以把建模課堂設置為“行走”的課堂，到校外開展測量、調查、訪談、實驗等活動。教師要多鼓勵學生參與數學建模實踐，在合作中提升學生的各方面能力。

參考文獻

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作者簡介：馬芬.1974年4月，女，山東省聊城市，中教高級，本科;研究方向：數學教育

本文系北京市教育科學“十三五”規劃2019年度“基于核心素養背景下高中數學建模校本教學實踐研究”（編號：CDDB19239）階段性研究成果。