數學運算視角下“二次根式”教學的探究與思考

勵威

[摘? 要] 作為數學核心能力之一的運算素養是落實數學核心素養的著眼點. 文章以“二次根式”教學為例，探究了在教學實踐中落實運算素養的實踐與思考.

[關鍵詞] 初中數學;數學運算;二次根式

數學本質上是關于量及其運算的科學，而每個數學運算都蘊含著對運算算理、算法及算力的考量[1]，因此作為六大核心素養之一的數學運算在不同素養之間所占平均權重較大，幾乎貫穿了整個初中數學教學過程，并且其運算能力的強弱直接影響著學生解題的信心和學習成績的高低. 而在當前初中學生數學運算素養培養中，盡管進行了大量習題練習，但運算效果并不理想，運算失分往往成為制約學生成績、影響學生學習信心的一個重要因素. 特別是對于內容抽象的“二次根式”而言，其概念、性質、化簡與運算是后續解決二次函數、幾何等綜合類問題的基礎，因此以“二次根式”教學為例，探究如何在教學實踐中將運算素養落實到位，有效提升學生的數學運算素養具有重要的意義.

數學運算視角下“二次根式”優化教學探究

1. 理解運算對象，遷移所學知識

理解運算對象就是在化解、計算二次根式類題目時，首先要看清題目中的已知條件和所求問題，明確題目中包含著哪些隱含條件，并對一些重要的數據和條件做好標記，讓學生通過“咬文嚼字”式的解讀有效地解決運算對象理解不到位、理解表層化的現象. 其次，聯想已學定理和法則，深度挖掘對象的實質，并從已學概念的定義出發，仔細觀察運算題目的特點，選擇合適的運算方法，有效減少運算量.

例如，在組織學生化簡二次根式時，教師應引導學生明確該題目的已知條件是分子與分母之間的除法，并且分子、分母都含有根號，分母隱含著不是最簡二次根式這一條件，所求問題是將進行化簡. 在此基礎上，要求學生聯想二次根式化簡的概念和步驟，充分利用·=a（a>0）這條二次根式性質將分子、分母分別同時乘，再進行開方、約分便可以將其化簡. 但這種化簡方式，不僅運算量較大，而且也容易出錯. 如果教師引導學生聯想到·=a（a>0），能夠將無理數化為有理數. 仔細觀察所計算式子的特點，按照“湊成”最近平方數的原則，將分子、分母分別同時乘一個較小的二次根式，便可以將化為有理數，從而能夠快捷地獲得該題化簡后的結果，即為.

2. 充分暴露運算思維，體驗探究過程

二次根式運算過程中難免會應用到眾多的公式和定理，如果學生不能夠靈活應用，那么難免會在解答選拔性綜合試題時出現不知所措的現象. 因此，教師應在組織學生進行相關題目訓練時，要求學生充分暴露自己的運算思維，包括運算過程中學生所犯的錯誤和所走的彎路;并且除了讓學生明確怎么做之外，還要明確為什么這樣做，這種運算方式是否具備一般性，等等，確實讓學生“做中學”“做中思”.

例如，在計算（+）÷時，有部分學生注意到了數值運算之間的特征，按照“（+）÷=÷+÷”的方式獲得了與標準答案一致的結果，但卻有一部分學生以除法沒有分配率為由對上述解題過程產生了質疑. 因此，教師應以此為主題，及時通過如下方式引導學生厘清算法和算理之間的關系，即除法分配率確實是不存在的，但可以將除法看作是乘法的逆運算，則可以將上述計算類比為（a+b）÷c=（a+b）×=a×+b×=a÷c+b÷c，從而消除部分學生產生的疑惑. 在此基礎上，為了促使學生更加深入理解算理，教師還應及時呈現上述變式題目，要求學生闡述÷（+）=÷+÷這種解題過程的錯誤之處，從而有效培養學生嚴謹的求學精神，不斷提高學生的運算素養.

3. 厘清運算結構，探索解題思路

不難發現，相當數量的學生在面對一些所謂的難題或數值較大的運算時，常常由于找不到問題突破口而產生放棄的思想：因此，教師在平時組織學生的解題訓練中，還應拋棄“替學生思考”的想法，要最大限度地讓學生自己探索和討論解題思路，厘清運算結構，有效培養學生的運算素養.

例如，以算式×4÷為例，相當數量的學生會因為根號、分式較多而找不到解題的突破口. 因此，教師應引導學生通過整體換元的方式，將上述算式看作是a×c×÷（e×）;然后通過如下的方式，即a×c×÷（e×）=a××c×÷e÷=a×c÷e××÷=a×c÷e×（×÷）=a×c÷e×（），從而將原式簡化為1×4÷×=12×==2. 顯然，通過上述運算結構的認識，可以有效提高學生的數學運算素養.

4. 設計運算程序，選擇合適的運算方法

由于運算思維的不同，其所采用的運算路徑也會千差萬別，并且當題目有多種解法時，運算方法的選擇就會變得尤為重要. 因此，教師還應理性設計運算程序，注重法則的逆用、變形等應用，從而培養學生思維的靈活性和批判性，理解其所蘊含的數學思想[2].

例如，在組織學生計算-15+時，如果按照常規思維，則首先應將，分別化解成為3，，再通過二次根式的加減運算可得結果. 但這種計算方式僅是解決該題目的其中一種方式，并且該種解題方式也不利于學生對=a（a>0）這個二次根式性質的深度理解和應用. 因此，教師在充分明確學生做題思維的基礎上，鼓勵學生繼續觀察，并注重計算式子中，15這兩個二次根式根號外面的和15這兩個數，充分利用a=（a>0）這個逆用性質將和15這兩個數導入根號里面，進而將上述式子變形為如下式子進行計算：-15+=-3·+=-3，從而有效減少了題目的運算量.

數學運算視角下二次根式教學的思考

1. 把握真實學情，重視對二次根式的計算教學

二次根式是初中數學運算中的一個制高點，在二次根式學習之前，學生已經熟練掌握了整式、分式等相關運算，但二次根式與整式、分式等運算有著不小的聯系，如和4的數值相等，和3都包含著數3，但它們在本質上是有較大區別的. 若在具體教學實踐中，將二次根式運算看作是諸多法則和性質在無理數范圍之內的簡單應用，則難免會出現生搬硬套的現象. 因此，教師應從內心深處加大對二次根式教學的重視程度，要將該部分內容講清楚，通過其教學內容之“薄”看到其二次根式運算之“厚”.

2. 深入研究運算本質，走出思維慣常誤區

縱觀學生的二次根式錯誤運算實例，不難發現許多錯誤是由于學生對其二次根式運算性質、法則理解不到位所造成的. 因此，教師應組織學生深入研究二次根式運算的法則、性質，并結合典型例題，準確把握學生的理解所存在的思維障礙和疏漏，有效引導學生走出思維誤區. 例如，面對類似=，=等計算出錯的情況，教師應要求學生深思問題出錯的原因，并掌握如下行之有效的方式：若“a+b”除以c，則應為（a+b）÷c=a÷c+b÷c;若“a×b”除以c，則應為（a×b）÷c==×b=×a. 顯然，通過這種對比式學習，能有效促使學生走出思維誤區.

3. 搭建思維“腳手架”，減輕學生運算負擔

學生運算素養的培養離不開課后的解題訓練，但對解題思維的優化往往集中在課堂教學之中. 因此，教師還應在課堂教學中，精心搭建思維“腳手架”，促使學生經歷曲折的探究思考過程，從而實現具有突破性的創新，有效突破傳統的“題海戰術”的弊端，減輕學生的運算負擔. 例如，在學習完“二次根式”內容之后，教師應以強化學生的運算素養為核心，及時組織學生對全章內容進行系統復習和運算總結，不斷訓練和優化學生的運算能力.

結語

總之，作為數學核心能力之一的運算素養是落實數學核心素養的著眼點[3]，運算素養的培養并不是一朝一夕就能完成的. 因此，在初中數學教學中，教師應避免無意義的機械訓練和“題海戰術”，真正把握真實學情，將教學的重心放置在運算對象、思維、結構以及運算方法等方面，并不斷搭建思維“腳手架”，傳授學生分析與解決問題的方法，形成條理化思考問題和解決問題的數學品質[4]，從而有效提高教學的有效性與針對性，促進學生的運算素養的形成與發展.

參考文獻：

[1]鄭國贊. 數學運算視角下直線與拋物線問題的研究[J]. 中學數學，2020（21）.

[2]徐舜. 淺談初中生數學運算能力培養——以“二次根式”的教學為例[J]. 中學數學，2021（02）.

[3]郭志堅. 數學運算素養視角下的正弦定理教學[J]. 福建中學數學，2018（06）.

[4]李昌官. 數學運算素養及其培養[J]. 數學通訊，2019（18）.