關注：從“類題探究”走向“策略總結”

吳靜君

[摘? 要] 以拋物線為背景的綜合題常作為壓軸題在中考中出現，考題的結構特點及設問形式雖有不同，但深入探索可全面認識考題，掌握類型問題的突破策略. 文章將以兩道與幾何面積及三角函數相關的問題為例，分析問題特點，總結突破策略，并提出相應的教學建議.

[關鍵詞] 函數;面積;三角函數;思想方法

類題呈現，思路突破

考題1? 如圖1所示，在平面直角坐標系中，已知拋物線y=ax2+bx+6（a≠0）與x軸的交于點A（-4，0）和B（2，0），在y軸上有一點E（0，-2），連接AE，點D是第二象限內拋物線上的動點，回答下列問題.

（1）求拋物線的解析式;

（2）求△ADE面積的最大值及此時點D的坐標;

（3）若tan∠AED= ，求此時點D的坐標.

思路突破：（1）使用待定系數法，將點A和B代入解析式即可，可求得拋物線的解析式為y=- x2- x+6.

（2）求△ADE面積的最大值及點D坐標，可采用面積割補的方式，構建面積模型.

第一步：作圖，構面積模型

過點D作y軸的垂線，設垂足為K，如圖2所示，由面積割補可得S△ADE=S梯形DKOA+S△AOE-S△KED .

第二步——設點，推導線段長

設點Dm，- m2- m+6，則點K0，- m2- m+6，可推知KE=- m2- m+8，DK=-m，AO=4，OE=2.

第三步：代入，構建面積函數

結合面積公式可得S△ADE=S梯形DKOA+S△AOE-S△KED= ×（KD+AO）×OK+ ×AO×OE- ×KD×KE= ×（4-m）×- m2- m+6+4- ×（-m）×- m2- m+8=- m+ 2+ .

第四步：分析，求面積最值

由于S△ADE=- m+ 2+ ，分析可知當m=- 時，△ADE的面積最大，且最大面積為 ，此時點D的坐標為- ， .

（3）求tan∠AED= 時點D的坐標，需將其放在直角三角形中，利用邊長比值求解.

第一步：作圖，構建直角三角形

過點A作DE的垂線，設垂足為N，設DE與x軸的交點為F，如圖3所示.

第二步：轉化，提取線段條件

已知tan∠AED= ，則AN= ，NE=3 .

第三步：推導，推導關鍵點坐標

因為∠ANF=∠EOF=90°，∠AFN=∠EFO，則△AFN∽△EFO，由相似性質得 = ，又EF 2=OF 2+4，NF=3 -EF，則有 = ，解得OF=2，即F（-2，0）.? 可求得直線EF的解析式為y= -x-2，聯立y=- x2- x+6，y=-x-2， 又點D在第二象限，于是可解得D ， .

考題2? 拋物線y=-x2+bx+c與x軸相交于點A和B，與y軸交于點C，直線y=x-5經過點B和C.

（1）求拋物線的解析式.

（2）點P是直線BC上方拋物線上的一個動點，連接PB和PC.

①當△PBC的面積最大時，求點P的坐標;

②連接AC，當tan∠PBO=2tan∠ACO時，請寫出點P的坐標.

思路突破：（1）點B（5，0），C（0，-5），拋物線的解析式為y=-x2+6x-5.

（2）①結合割補思想，構建三角形“鉛垂”模型來完成.

第一步：作圖，構建鉛垂模型

過點P作x軸的垂線，設與BC的交點為D，則PD將△PBC分割為同底（PD），異頂點的兩個三角形：△PDC和△PDB. S△PBC=S△PDC+S△PDB，并且有S△PBC= ×PD×h1+h2，其中h1和h2分別為兩三角形的高.

第二步：設點，推導線段長

設點P（m，-m2+6m-5），則點D（m，m-5），故PD=-m2+5m，而h1+h2的值實則就是點B和點C之間的水平距離，等于OB，即h1+h2=5.

第三步：代入，構建面積函數

S△PBC= ×PD×h1+h2= ×（-m2+5m）×5=- m- 2+ .

第四步：分析，確定最值情形

由于S△PBC=- m- 2+ ，分析可知當m= 時，△PBC取得最大面積 ，此時點P的坐標為 ， .

②給定三角函數條件求點P的坐標，需要結合直角三角形轉化條件，進而求出點坐標.

第一步：構形，推導三角函數值

在Rt△AOC中，可知tan∠ACO= = ，故tan∠PBO=2tan∠ACO= .

第二步：轉化，轉化線段條件

當點P位于第一象限時，設為P′，過點B作直線BE，與拋物線的交點為P′，與y軸的交點為E，則tan∠P′BO= . 而tan∠P′BO= ，可解得OE=2，所以點E（0，2）. 結合點E和B的坐標可求得直線BE的解析式為y=- x+2，聯立直線BE與拋物線的解析式，可求得此時點P′的坐標為 ， . 當點P位于第四象限時，設為P″，過點B作直線BF，與拋物線的交點為P″，與y軸的交點為F. 同理可求得點P″的坐標為 ，- .

綜上可知，點P的坐標為 ， 或 ，- .

試題特點，解法剖析

上述兩道考題背景均為拋物線與直線，典型特點是利用拋物線與直線交點，以及動點來構建幾何圖形，使得其中的圖形具有“數”與“形”的性質，故可從幾何與代數視角來全面探究. 同時點坐標是關聯兩大知識模塊的關鍵，從點出發確定曲線或直線的解析式，結合點坐標又可確定線段長，進而研究幾何性質. 兩道考題的后兩問均為幾何面積與三角函數問題，所采用的方法及構建思路也是該類問題常用的解法策略，下面深入剖析.

策略一：割補構建，分步破面積最值

兩道考題的第二問均是求解一般三角形的面積最值，可將問題分兩步進行：第一步是求面積函數，第二步則是分析函數最值. 在函數背景中一般采用割補轉化法來構建面積函數，即通過直線“割”或“補”，將一般三角形轉化為特殊圖形的組合，常見于特殊的四邊形或三角形;然后設出點參數，結合面積公式來構建面積函數. 其中考題1是先“補”后“割”構建的面積模型，故面積函數構建較為一般，而考題2則是單純的“分割”構形，并引入了“鉛垂”模型，故整體思路更為簡捷，但方法核心不變. 面積最值分析通常使用函數的性質，包括函數的單調性和頂點坐標. 因此在破解幾何圖形面積最值問題時，可采用如下思路.

第一步，圖形分割，構建面積模型，割補思想是構形核心;

第二步，設定參數，構建面積函數，參數思想是構建核心;

第三步，函數分析，利用函數性質分析最值，完成求解.

策略二：直角轉化，破解三角函數

兩道考題的最后一問均是關于三角函數條件的求點，突破的關鍵均是轉化三角函數，提取相關條件. 三角函數是初中數學較為特殊的內容，是銜接初中與高中數學的重要知識. 在初中階段，對三角函數的定義及轉化均需要借助直角三角形，利用邊長比例關系來構建三角函數值. 故該類問題突破同樣需要經歷“構建”和“轉化”，其中“構形”階段需要依托三角函數所涉角來構造直角三角形，將其放置在直角三角形. 而“轉化”階段則有兩種思路，一是將三角函數條件轉化為與線段相關的條件;二是借助三角函數關系，轉化為相應的等角關系. 因此在破解三角函數問題時，可采用如下思路.

第一步，提取三角函數所涉角，依托幾何角構建直角三角形;

第二步，利用直角三角形分析三角函數條件，將其轉化為線段條件或等角關系;

第三步，結合上一步轉化的條件來分析問題，利用幾何與函數知識來求解.