關(guān)于二次函數(shù)中面積問題的探究與思考

王莉璠

[摘? 要] 面積最值、等面積、面積比值是二次函數(shù)面積問題常見的三種類型，探究三類問題的解法策略及思路十分重要，可提升學(xué)生解決綜合性問題的能力. 文章將深入剖析問題難點，基于問題類型開展解法探究并反思教學(xué)，提出相應(yīng)建議.

[關(guān)鍵詞] 二次函數(shù);面積;類型;解法;思想

問題綜述，難點剖析

二次函數(shù)與圖形面積相結(jié)合是中考考查的重點，常作為壓軸題綜合考查學(xué)生的能力. 該類問題的得分占比往往不高，主要原因是學(xué)生難以構(gòu)建合理的模型轉(zhuǎn)化幾何面積. 從圖形特點和問題形式來看，主要有兩大難點. 難點一，所涉圖形多不規(guī)則，需要采用合適的方法構(gòu)建面積模型;難點二，問題往往涉及動點，屬于幾何動態(tài)問題，圖形變化多樣，需要采用一定的方法化動為靜. 從問題形式來看可分為面積最值、等面積存在性和面積比值三種情形，因此總結(jié)上述三種問題的解法，構(gòu)建解題策略，即可通解函數(shù)與面積問題.

分類探究，策略總結(jié)

函數(shù)與面積問題的構(gòu)建形式較為多樣，但總體來看可分兩步進(jìn)行：第一步，分析圖形特點，構(gòu)建面積模型;第二步，結(jié)合面積模型，轉(zhuǎn)化、分析求解. 解析過程要充分利用數(shù)學(xué)的兩大思想：數(shù)形結(jié)合和模型思想.

題型一：面積最值問題

面積最值，即求面積的最大值或最小值，在函數(shù)背景下通常有兩種設(shè)問形式，可直接求面積最值，也可求面積取得最值時的動點坐標(biāo)等.

解析方法有兩種，一是采用鉛垂法，過三角形的頂點作垂線，則可將原三角形分割為兩個同底三角形，兩個三角形的底就為垂線段，高則為兩個定點的橫向距離;二是采用切線法，原理與圓的切線相類似，以平行于三角形固定邊的一條直線來逐步平移靠近二次函數(shù)的圖像，當(dāng)只有一個交點時，該點則為三角形取得面積最大值時的交點.

例1? 如圖1所示，已知拋物線經(jīng)過點A（-1，0），B（3，0）和C（0，3）三點.

（1）求拋物線的解析式;

（2）若點M是線段BC上異于端點的點，過點M作MN∥y軸，設(shè)與拋物線的交點為N，設(shè)點M的橫坐標(biāo)為m，請用含有m的代數(shù)式表示MN的長.

（3）在（2）的條件下，連接NB和NC，分析當(dāng)m為何值時，△BNC的面積取得最大值.

解析：（1）點A和B位于x軸上，可直接設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3），將點C（0，3）代入其中，可解得a=-1，整理可得拋物線的解析式為y=-x2+2x+3.

（2）求MN的長，只需表示出點M和N的坐標(biāo)即可，已知點B和C的坐標(biāo)，可求得直線BC的解析式為y=-x+3. 點M的橫坐標(biāo)為m，則點M（m，-m+3），由于MN平行于y軸，且點N位于拋物線上，則點N（m，-m2+2m+3）. 綜合點M和N坐標(biāo)可得MN的長為MN=-m2+3m（0

（3）求△BNC取得最大面積時m的值，MN將其分割為兩個同底三角形（如圖2），即△CMN和△BMN，則其面積可表示為S =S +S = MN·x -x ，代入線段MN的長和點坐標(biāo)可得S = ·（-m2+3m）·3=- m- 2+ （0

評析：上述第三問是關(guān)于二次函數(shù)與面積最值的問題，實際上考題三小問在逐步引導(dǎo)學(xué)生利用鉛垂法求解面積最值. 第一問確定拋物線的解析式，第二問作三角形的鉛垂線，推導(dǎo)三角形的底，在完成前兩問的基礎(chǔ)上可直接構(gòu)建關(guān)于圖形面積的函數(shù)模型，由函數(shù)性質(zhì)求最值. 因此使用鉛垂法求面積最值分三步進(jìn)行：第一步，作鉛垂線，分割三角形，表示底邊線段;第二步，基于割補法構(gòu)建面積模型;第三步，利用函數(shù)性質(zhì)分析面積最值.

題型二：等面積問題

等面積問題，重點突出了圖形的面積相等. 圖形面積模型往往難以直接構(gòu)建，需要通過等量轉(zhuǎn)化來簡化模型. 采用的方法為等積轉(zhuǎn)化法，若三角形同底，則對應(yīng)高相等，可作底邊的平行線，推導(dǎo)直線解析式;若為高相等，則可推知底相等，此時可考慮圖形的中點.

例2? 如圖3所示，已知拋物線y=ax2+bx（a>0）與雙曲線y= 相交于點A和B. 已知點B的坐標(biāo)為（-2，-2），點A位于第一象限內(nèi)，且tan∠AOx=4，過點A作直線AC∥x軸，與拋物線的另一交點設(shè)為點C.

（1）求雙曲線和拋物線的解析式;

（2）求△ABC的面積;

（3）分析拋物線上是否存在一點D，使得△ABD的面積等于△ABC的面積. 若存在，請求出點D的坐標(biāo);若不存在，請說明理由.

解析：（1）簡答，根據(jù)點坐標(biāo)與兩曲線的相交關(guān)系可得雙曲線的解析式為y= ，拋物線的解析式y(tǒng)=x2+3x.

（2）可求得點C（-4，4），A（1，4），則線段AC=5，又知點B（-2，2），則點B到AC的距離為6，即△ABC底邊上的高為6，所以△ABC的面積為S= ×5×6=15.

（3）探究△ABD的面積等于△ABC的面積時點D的坐標(biāo)，可將兩個三角形視為是同底AB. 由面積相等可知點C和D到底邊AB的距離相等，即直線CD必然平行于AB.

過點C作CD∥AB，與拋物線的交點就為點D，如圖4所示. 可推知直線AB的解析式為y=2x+2，則直線CD的斜率k =2，結(jié)合點C坐標(biāo)可得直線CD的解析式為y=2x+12，與拋物線解析式聯(lián)立，可得x=3或x=-4，即點坐標(biāo)為（3，18）或（-4，4），其中（-4，4）為點C，舍去，所以點D的坐標(biāo)為（3，18）.

評析：上述第（3）問探究△ABD與△ABC面積相等時點D的坐標(biāo)，采用了直線平移法. 這是基于兩三角形存在相同的底，故可推得高相等，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為兩線平行. 其中隱含了“平行線之間，距離處處相等”的性質(zhì)定理. 建立幾何特性與等面積之間的關(guān)聯(lián)是問題突破的關(guān)鍵點，也是平面幾何性質(zhì)在函數(shù)中的應(yīng)用體現(xiàn).

題型三：面積比值問題

面積比值問題十分常見，通常給出面積之比的條件，探究動點坐標(biāo)或線段長. 解析關(guān)鍵是將面積比轉(zhuǎn)化為線段比，通常采用等比轉(zhuǎn)化的方法. 若圖形相似，可將面積比轉(zhuǎn)化為線段比;若有等底或等高，則可以轉(zhuǎn)化為高之比或底之比.

例3? 在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+4過點A（3，4），與x軸相交于點B（-1，0），與y軸交于點C，過點A作AD⊥x軸于點D.

（1）求拋物線解析式;

（2）如圖5，點P是直線AB上方拋物線上的一個動點，連接PD，與AB交于點Q，連接AP，當(dāng)S =2S 時，求點P的坐標(biāo).

解析：（1）將點A和B坐標(biāo)分別代入拋物線解析式，即可求得解析式，即y=-x2+3x+4.

（2）由S =2S 可得S = ·S ，△AQD和△APD在PD上有相同的高，則 = . 過點P和Q分別作PM⊥DB于點M，QN⊥BD于點N，如圖6，則有 = = . 由點A和B可得直線AB的解析式為y=x+1，設(shè)點P（m，-m2+3m+4），結(jié)合點D坐標(biāo)可得直線DP的解析式為y= x+ ，可推得點Q的縱坐標(biāo)為 ，即QN= ，PM=-m2+3m+4. 所以 = ，解得m=1± ，點P在直線AB上方拋物線上，則-1

評析：上述第（2）問在解析面積之比時，先進(jìn)行面積轉(zhuǎn)化，再進(jìn)行等比轉(zhuǎn)化，是對三角形面積公式的變相應(yīng)用. 求面積比值條件下的動點坐標(biāo)，可采用設(shè)參法，即首先設(shè)定坐標(biāo)參數(shù)，推導(dǎo)相關(guān)線段長，然后基于面積比值條件構(gòu)建關(guān)于坐標(biāo)參數(shù)的方程，進(jìn)而解方程求解.

解后反思，教學(xué)建議

上述基于二次函數(shù)面積問題的三種類型進(jìn)行了解法剖析，并結(jié)合實例進(jìn)行了思路講解，下面進(jìn)行深入反思.

1. 挖掘問題本質(zhì)，總結(jié)知識要點

二次函數(shù)的面積問題涉及函數(shù)與幾何兩大部分的知識，面積問題實則就是坐標(biāo)系背景下的幾何類型問題，解析的重點是二次函數(shù)的性質(zhì)、圖形的面積屬性、幾何性質(zhì)等. 教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識問題本質(zhì)，總結(jié)問題的知識要點，如函數(shù)解析式的求法，面積模型構(gòu)建方法，解方程的技巧、函數(shù)最值的解法等，幫助學(xué)生夯實基礎(chǔ)，為后續(xù)的綜合探究做鋪墊.

2. 剖析問題類型，歸納問題解法

二次函數(shù)面積問題類型眾多，不同類型的解法也不相同，故基于問題類型開展解法探究十分重要，如上述總結(jié)了面積最值、等面積、面積比值三種類型的解法，并結(jié)合實例探究破解思路. 數(shù)學(xué)教學(xué)中建議參考上述探究模型，采用“類型歸納—解法探究”的模式，有針對性地剖析問題，探究破解方法，同時可結(jié)合對比探究方式，分析解法異同，幫助學(xué)生形成解題策略，構(gòu)建完善的方法體系.

3. 關(guān)注數(shù)學(xué)思想，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)

二次函數(shù)面積問題的破解過程需要用到一定的數(shù)學(xué)思想，如數(shù)形結(jié)合、模型、方程、等量轉(zhuǎn)化等思想. 利用數(shù)形結(jié)合整體分析問題，基于模型思想構(gòu)建面積模型，從而轉(zhuǎn)化面積條件，構(gòu)建方程求解，這是數(shù)學(xué)思想鏈的分析過程. 教學(xué)中建議重點講解數(shù)學(xué)思想的使用技巧，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合思想內(nèi)涵分析問題，讓學(xué)生逐步感知思想，體會數(shù)學(xué)思想的價值，在潛移默化中提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).