過程突破聯想，反思類比探究

蘆雪珍

[摘? 要] 類比探究題是中考常見的問題類型，問題解析具有一定的難度，同時突破過程有著鮮明的特點，即結合類比思想，通過對比、聯想是該類問題突破的關鍵. 文章將對一道考題開展類比探究，反思問題解析思路，總結類比考題解析方法，提出相應的教學建議.

[關鍵詞] 類比;探究;幾何;模型;思想方法

問題呈現

【問題提出】

（1）如圖1所示，在四邊形ABCD中，連接AC，BD，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，將△ABC繞著點A逆時針旋轉90°，可得到△ADE，其中點B的對應點為點D，點C的對應點為點E，同時已知點C，D，E三點位于同一直線上，則△ACE為______三角形，BC，CD，AC的數量關系為______;

【探索發現】

（2）如圖2所示，在⊙O中，已知AB為直徑，點C為弧AB的中點，點D是圓上的一個動點，連接AD，CD，AC，BC和BD，且有AD

【拓展發現】

（3）如圖3所示，在等腰直角三角形△ABC中，點P為AB的中點，如果AC=13，平面內存在一點E，且AE=10，CE=13，當點Q為AE的中點時，PQ=______.

過程解析

（1）猜想△ACE為等腰直角三角形，則有BC+CD= AC.

如圖4所示，根據圖形旋轉可知△BAC≌△DAE，則AC=AE， BC=DE，∠BAC=∠DAE. 又因為∠BAD=90°，則∠BAC+∠CAD=90°，結合AC=AE可證△CAE為等腰直角三角形，所以CE= AC，即BC+CD= AC.

（2）該問探究圓上動點所形成的相關線段長之間的數量關系，從問題設置來看，可參考第（1）問的解法，挖掘圖像中的特殊三角形，結合幾何性質即可推出線段關系，有如下兩種解析思路.

思路一：由已知可知AC=BC，∠ACB=90°，圖像中具有等線段共端點的特點，類比第（1）問的解析方法，易聯想到可將△ADC繞著點C旋轉至AC與BC相重合，如圖5所示. 結合旋轉特性可知CD=CE，∠DCE=∠ACB=90°，∠BEC=∠ADC，則△CDE為等腰直角三角形，有∠CED=45°.

又因為AB是圓的直徑，并且AC=BC，可知△ABC為等腰直角三角形. 四邊形ABCD為圓的內接四邊形，則有∠ADC+∠ABC=180°，可推知∠BEC=∠ADC=135°，此時有∠BEC+∠CED=180°，所以B，E，D三點共線，則BD-AD= CD，即CD= （BD-AD）.

思路二：第（1）問解析時結合了四邊形的對角互補，且利用了△BAD的等腰直角三角形特性. 第（2）問解析時可參考第（1）問的思路，結合圓的對稱性質，將圖像轉化為第（1）問的圖像，即將△ACB沿著AB進行折疊，可得四邊形AEBD，后續類比第（1）問的結論即可推導線段關系.

結合上述分析，將△ACB沿著AB進行折疊，可得四邊形AEBD，如圖6所示. 類比第（1）問結論可得 DE=AD+BD，在Rt△CDE中使用勾股定理，可得CD2=CE2-DE2，進一步推導可得CD2=AB2- （AD+BD）2= （AD-BD）2，從而可求得CD= （BD-AD）.

（3）該問在等腰直角三角形中進行圖形構建，看似簡單，但點E的位置沒有指明. 故解析的首要問題是確定點E的位置，需根據問題條件，思考作圖方法. 題干設定了線段AE和CE的長度，故點A和C的位置固定，點E為動點，可考慮以點A為圓心，單位長度10為半徑作圓，再以點C為圓心，單位長度13為半徑作圓，則兩圓的交點即為所求點E的位置，如圖7所示.

顯然點E的位置有兩個，需要分別根據點E的位置進行圖形補全，然后分類討論具體情形. 分析前兩問的解析過程可知，第（1）問的背景圖形為四邊形，圖形中有一組對角為直角，一個直角的邊長相等，第（2）問的背景圖形同為四邊形，圖形中一邊對應兩個直角，同樣有一組直角邊相等. 而在第（3）問中，沒有出現直角，但存在等腰直角三角形和斜邊的中點，類比前兩問的解析過程，可考慮構造等腰三角形，構建“三線合一”模型，從而構建直角，下面分類討論.

情形一，點E位于AC邊的左側時，連接CQ和CP，如圖8所示. 觀察圖形可發現該圖與第（1）問中的四邊形具有相同特征，可直接利用第（1）問的結論，即AQ+CQ=? PQ，所以 PQ=17，可解得PQ= .

情形二，點E位于AC邊的右側時，同樣參考第（2）問的圖形解析方法，連接CQ和PC，如圖10所示.

結合第（2）問的結論可得出PQ= （CQ-AQ），代入線段長可得PQ= （CQ-AQ）= （12-5）= .

綜上可知，PQ= 或 .

解后總結

從上述問題的解析思路來看，問題設計具有鮮明的結構特點，其探究方法和解析思路具有一定的參考價值，下面對考題進行深入探究，并總結解決問題的方法策略.

1. 問題思考

深入反思問題的設計流程，問題分為三個環節：問題提出→探究發現→拓展延伸，顯然問題的“拓展延伸”部分與“問題提出”和“探究發現”部分有著極大的關聯，故需要深入研讀問題的圖像特征，探究其中的共同之處，采用類比探究的方式來獲得結論. 可將問題歸結為類比探究題，問題的圖像和解析思路具有極高的類比性. 同時問題中出現了一些特殊的幾何圖形，如解析圖形旋轉問題時結合了對角互補四邊形，探究邊長關系引入了“一線三等角”模型.

2. 方法總結

中考中常出現幾何類比探究題，通常以一類共性條件和特殊條件為基礎，由特殊到一般，由簡單到復雜構建問題，逐步深入，問題解析的思想方法一脈相承. 問題探究的一般方法如下：

第一步，根據問題條件以及關聯條件解決第一問;

第二步，利用上一問的方法類比探究下一問，若不可行，則可將兩問相結合，探尋不可類比的原因和出現變動的特征，然后依據不變特征探尋新的方法.

同時，在類比探究過程有如下幾個探究技巧：

（1）找特征，如中點、特殊角、圖形折疊等;

（2）找模型，如相似模型（母子型，A字形，八字形）、三線合一、全等模型等;

（3）解析照搬，解析時可照搬上一問的方法及思考問題的解析思路，如照搬輔助線，照搬全等、相似等;

（4）找結構，探尋問題不變的結構，利用不變結構的特征來逐步剖析，通常不變結構及對應解析方法如下——

①直角，可作橫平豎直的輔助線，構建相似或全等模型;

②中點，作倍長線段，通過幾何全等來轉移邊和角;

③平行，探究其中的相似關系，利用相似比例來轉化線段關系.

總之，類比探究題的核心解法是“類比”，包括圖像類比和解法類比，問題解析的過程要把握其中的“特殊”，包括特殊的幾何要素（點、線、角），特殊關系（等量關系、倍長關系），特殊模型（面積模型、全等或相似模型）等. 解析過程時刻注重問題的前后銜接，充分利用總結的問題結論，簡化解析過程，提高解題效率.

教學反思

1. 類比分析，關注知識遷移

類比探究題通常在中考以壓軸題的形式出現，問題的綜合性極強，側重考查學生知識綜合與遷移能力，因此問題分析過程需要結合知識考點進行聯想遷移. 如由中點聯想等腰三角形的“三線合一”，由直角聯想直角三角形的“勾股定理”，由平行聯想線段的相似比例關系，即將單純的幾何特性遷移到幾何圖形上，由此上升到更具價值的幾何結論上. 因此在實際教學中，建議引導學生理解“類比”的思想內涵，理解類比探究題的知識關聯，立足教材知識要點開展拓展探究，挖掘關聯知識，構建知識體系.

2. 類比思考，重在思維過程

類比思考是類比探究題突破的根本方法，是基于問題的相似成分開展的比較、聯想探究，故需要注重問題的思維過程，將數學對象已知特性遷移到另一對象上，然后結合條件進行推理. 教學中要關注學生的思維活動，合理設問引導學生推理，通常類比探究題構建三個環節，可采用知識探究的方式. 教學中引導學生歸納特征、發現問題、驗證結論、總結結論、應用解題，循序漸進開展問題思考，由淺入深地將問題上升到數學結論層次. 引導過程合理設問，可設計具有啟發性的問題，讓學生聯想教材知識要點，也可引出數學模型，利用模型結論來進行推理等.

3. 類比探究，滲透思想方法

實際上，類比是重要的思想方法，在教學探究時要滲透該思想方法，讓學生感悟其中的思想內涵，掌握類比探究的方法思路. 另外類比探究題的解析過程可能涉及數學的數形結合、分類討論、化歸轉化、方程等思想，如上述利用數形結合理解圖像、挖掘幾何結論，利用分類討論探尋點E的位置，由方程思想求解關鍵參數等. 教學中可結合具體考題逐步滲透思想方法，解后反思時關注涉及的數學思想以及數學思想構建考題思路的具體過程. 在教材內容教學時重點關注知識背景的思想內涵，如函數知識中的數形結合、代數方程的方程思想、幾何相似或全等中的分類討論等，充分利用考題探究、知識教學來提升學生的核心素養.