妙用“問題串”破難點 巧借“情境”提素養

張潔 劉毅

[摘? 要] 數學教學不能脫離問題，提出問題需要抽絲剝繭.以相似圖形為例，研究情境+問題串的教學模式，呈現給學生新穎的數學信息，用問題串突破教學難點.學生學以致用，舉一反三，借助延伸式問題情境提升其數學素養.

[關鍵詞] 學習難點;問題串;情境;核心素養

設計思路

情境+問題串的教學模式是以情境與問題串為主線，通過數學課堂給出的數學信息，引導學生觀察、操作、類比、運用、交流.數學思想是數學的精髓和靈魂，是數學知識在更高層次上的抽象和概括.教師在教學活動中把自己當作學生活動的參與者，在活動中借助延伸式問題串提升學生的數學思想，層層突破數學學習的難點.例如，“相似多邊形”的驗證，借助網格中的三角形、四邊形突破證明的難點，舉一反三，提升學生的直觀想象與數學抽象素養.

初中生有比較強烈的自我發展的意識，對“有挑戰性”的任務很感興趣.以情境+問題串的教學模式開展教學，教師應當設計指向學生數學核心素養的課堂教學設計.例如：在活動中設問“相似圖形有什么特征？”“怎樣驗證兩個多邊形是相似多邊形呢？”學生在操作活動中互相交流，開闊視野，循序漸進，進而發現相似圖形與相似多邊形的本質特征.

內容解讀

1. 學情分析

九年級學生已經學過了圖形的全等和全等三角形的有關知識，也研究了幾種圖形的全等變換，如平移、軸對稱、旋轉等，全等是圖形間的一種關系，相似也是圖形間的一種關系.一方面，研究相似變換的性質與判定比全等更具有一般性，相似是全等變換基礎上的拓展;另一方面，又為學習“相似三角形、高中階段的圖形與空間”等知識奠定了基礎，是進一步研究幾何圖形的工具性內容.本課例嘗試從實際生活到直觀想象，再從直觀想象到數學抽象，進而提升學生的數學抽象能力，并對學生后續學習幾何問題起到了較強的借鑒作用.

2. 學習目標

（1）通過具體實例，認識圖形的相似，了解形狀相同的圖形是相似的圖形，經歷探索相似多邊形特征的過程.

（2）體會了數學內容之間的內在聯系，初步認識特殊與一般的辯證關系，提高了觀察、操作、交流、類比、歸納等方面的能力.

3. 學習重點

九年級學生已經具備了一定的邏輯思維能力，但數學思想方法還不夠熟練.在與他人合作和探索過程中，學會在具體的情境中從數學的角度發現問題，并能針對提出的問題進行反思，勇于質疑，突破難點.

教學流程

筆者從實際問題出發，創設有深度的數學課堂教學，結合“相似圖形”課例，談談自己的實踐認識.

1. 觀察：以圖激趣，引入新課

環節1：建構圖形概念

教學設計時，筆者以激發學生學習興趣為起點，讓學生對圖片有了初步的感知，并設計延伸式問題串激發學生的數學抽象思維.新課伊始，師生共同觀察三幅動畫，三組圖片播放前大小完全相同.分三次播放三幅圖片，圖1和圖2中右圖畫面經過縮小變化;圖3中右圖畫面經過放大變化.通過觀察，讓學生對新鮮事物產生好奇，由此激發起挑戰欲望.此時，教師出示放大與縮小后的所有圖片.

問題1：下列各組圖形有什么共同的特征？

拋開圖片的內容，教師帶領學生研究圖形的大小關系發現，三組圖中一幅是把另一幅圖形按比例放大或者縮小得到的.

教學分析：生活中的圖片對激發學生的學習興趣起到了重要的作用.這里在創設情境時，引導學生從熟悉的圖片中找出共同的特征，通過觀察類比得出圖片中的共同特征.學生對圖片中反映的信息做出歸納總結，進而引出相似形的概念.

2. 操作：依托網格，直觀想象

筆者根據學生所得出的初步結論，出示本節課相似形的概念：形狀相同的圖形叫相似形.通過相似形的概念，筆者從生活中的圖片過渡到數學中的相似形：相似多邊形.從相似形的問題延伸出相似多邊形，相似多邊形中含有多種多邊形，筆者從特殊的三角形、特殊的正方形兩個并列的問題出發，得出延伸式問題串，如圖4所示.

環節2：網格之形延伸

問題2：在數學中，兩個多邊形具有怎樣的特征才能說它們是“形狀相同”，稱為相似多邊形？

筆者根據相似形的概念提出相似多邊形的問題，并從兩個正三角形入手，延伸得出問題3中的邊和角的數量關系.

問題3：如圖5，兩個正三角形“形狀相同”，它們的邊和角有怎樣的數量關系？

從正三角形出發，學生異口同聲地回答出正三角形的各邊成比例，各角相等的結論.

那么對于普通的三角形是否也具有類似的結論呢？筆者在黑板上展示提前準備好的兩個一般三角形（這兩個三角形并不相似），此時，提問：這兩個三角形相似嗎？幾位學生立即給出了相似的結論，理由是這兩個三角形觀察得出各角相等，各邊成比例.

此時，筆者請一位學生上臺驗證他所觀察到的結論，正如預設，學生將兩個三角形各角重疊一起，很驚訝地發現各角不相等！筆者引導學生發現，兩個三角形相似不能由觀察直接得出結論，必須要有嚴密的驗證過程.

問題4：如圖6，兩個三角形“形狀相同”嗎？它們的邊和角有怎樣的數量關系？

除了動手操作，教師出示問題串引導學生學會用科學的眼光看問題，證明觀察的現象準確無誤.學生通過小組活動，很快得出兩個三角形各邊成比例，各角相等，它們是相似三角形.

教學分析：延伸式問題串的設計，學生從正三角形出發，仔細觀察，并結合問題4的證明，驗證了正三角形及一般三角形的相似關系.整個過程中，學生不僅學到新知識，更重要的是還學會用科學、求真的眼光看待問題.

3. 延伸：數學抽象，邏輯推理

教師根據相似三角形的概念延伸出相似四邊形的問題，并從兩個正方形入手，得出問題5中的邊和角的數量關系.

問題5：如圖7，兩個正方形“形狀相同”，它們的邊和角有怎樣的數量關系？

問題6：如圖8，兩個四邊形“形狀相同”，它們的邊和角有怎樣的數量關系？

本問題串類比于相似三角形，從正方形出發，學生得出正方形的各邊成比例、各角相等的結論.對于普通的四邊形，通過學生的小組討論操作，也得出類似的結論：這兩個四邊形各角相等，各邊成比例.

此時，在延伸式問題串的引導下，教師給出相似多邊形的概念：各角分別相等、各邊成比例的兩個多邊形，它們形狀相同，稱為相似多邊形.兩個三角形相似，記作△ABC∽△A′B′C′.對于相似多邊形的知識點，學生通過教師所提出的問題串引導，類比相似三角形的概念，驗證推導相似四邊形、相似多邊形的概念.

教學分析：通過類比驗證，小組合作活動，學生思考的積極性不斷增加，學生在課堂上生成的問題越來越多，這正是學生積極參與的結果.教師利用剛才總結的概念引導學生不斷深入學習相似圖形，為學生數學抽象核心素養的發展創造條件.

4. 運用：學以致用，舉一反三

本節課設計新穎的信息，引導學生不斷深入學習相似圖形，在探究相似多邊形的定義之后，筆者設計如下應用環節.

環節3：培養高階思維

問題7：以下圖形是相似四邊形嗎？為什么？

學生比較容易利用相似多邊形的定義辨別兩組圖是否為相似四邊形.通過觀察、思考，有學生提出，可以根據相似多邊形的定義，兩組圖都不是相似四邊形，（1）中各邊不成比例，（2）中各角不相等.

問題8：如圖11，△ABC，D，E分別是AB，AC的中點.（1）△ADE與△ABC相似嗎？為什么？（2）取BC的中點F，連接DF，EF，求證：△DEF∽△ABC.

延伸式學習是在知識的生成、思維上下功夫.教師通過數學課堂給出的數學信息引導學生自主觀察，引發學生二次思考.學生根據問題7和問題8的展現，很快得出問題8的證明方法，這體現了學生的數學抽象素養不斷提升.

教學分析：通過此延伸式問題串的形式，激發學生二次思考.根據相似多邊形的猜想—驗證，學以致用，舉一反三.學生的知識積累和認識由量變到質變，教師在適當的時候提出恰當的問題串，突破教學重難點.

5. 交流：探究本質，提升素養

環節4：提升核心素養

學生學會了舉一反三，探究了相似多邊形的本質，教師借機提問，以提升學生的數學抽象能力與素養.

問題9：你能畫出相似三角形、相似四邊形、相似五邊形嗎？

學生通過獨立思考，回顧本節課所學的新知識點，學以致用，畫出相似多邊形，筆者再次給出學生所出現的典型錯誤，如圖12.對于此問題的出現，學生分析其錯誤的原因，并給出正確的結論，如圖13.

教學分析：教師在適當的時機提出問題，學生在探究中頓悟，不斷探究，認真思考，得出結論.學生始終處于主動地位，通過獨立思考和小組合作等學習方式完成學習任務，不斷成長.

教學感悟

1. 不憤不啟，不悱不發

教師在相似圖形的課例中，以學生為中心，讓學生在學習過程中自始至終處于主動地位，自主提出問題、思考問題，讓學生主動去發現、去探索，教師只是在于指導促進.恰當運用問題串引導學生循序漸進地學習相似圖形以及相似圖形的驗證過程，符合學生的認知規律.同時本課例也說明知識的積累和認識由量變到質變的飛躍，須教師恰到好處的點撥.本課例教學過程，教師展示圖形關系示意圖（如圖14），讓學生學以致用，舉一隅而三隅反.

2. 學而不厭，誨人不倦

孔子言：“默而識之，學而不厭，誨人不倦，何有于我哉！”即“把所學的知識默默地記下來，不斷學習而不厭煩，教導別人而不感到疲倦，對我來說，還有什么遺憾呢？”作為教育者而言，在教授知識的同時，自己也在不斷學習，不斷完善提高.教師是學生學習的促進者、組織者和指導者，教的本質在于引導.教師的主導作用在于啟迪學生思維，引導思路，發展智力.教師在教學設計時，應當給出恰當的情境與問題串，不斷啟迪學生思維能力.在教學中應當根據學生每節課的學習情況進行自我反思，不斷完善自我教學能力.

3. 學以致用，舉一反三

“君子知至學之難易，而知其美惡，然后能博喻”，教師要憑著過硬的能力和良好的素養科學引導學生進入積極主動的思維，激發學生探究問題意識，激起學生強烈學習興趣，到達愿學、樂學、急于學的“憤、悱”階段，教師再“開其意、達其辭”，進行適時適度引導，使學生在探究中頓悟，在頓悟中獲取知識、鍛煉思維、增長能力、解決難題、愉悅心情、不斷成長.本課例即在學生探究中提出恰當的問題串，激發學生深入探究問題，達成學習目標.通過延伸式問題串類比得出相似多邊形的概念，學生學以致用，舉一隅而三隅反，提升數學核心素養.