變化多樣的全等三角形

劉家良

全等三角形形式多樣，可提煉、歸納出五種常見形式.

一、平移型

例1（2020·江蘇·常州）已知：如圖1，點(diǎn)A，B，C，D在一條直線上，EA∥FB，EA = FB，AB = CD.（1）求證：∠E = ∠F;（2）若∠A = 40°，∠D = 80°，求∠E的度數(shù).

分析：欲證兩個(gè)角相等，可證這兩個(gè)角所在的三角形全等.

解：（1）∵EA∥FB，∴∠A = ∠FBD.

∵AB = CD，∴AB + BC = CD + BC，即AC = BD.

∵[EA=FB]，[∠A=∠FBD]，[AC=BD]，

∴△EAC ≌ △FBD（SAS），∴∠E = ∠F.

（2）由△EAC ≌ △FBD，得∠ECA = ∠D = 80°.

在△EAC中，由三角形內(nèi)角和定理，得∠E = 180° - ∠A - ∠ECA = 180° - 40° - 80° = 60°.

注：圖1中的△FBD視為△EAC沿AB方向平移得到的，平移的距離為AB的長.

二、對(duì)稱型

例2（2020·湖南·懷化）如圖2，在△ABC和△ADC中，AB = AD，BC = DC，∠B = 130°，則∠D等于 ? ? °.

分析：先根據(jù)全等三角形的判定方法“SSS”證明△ABC ≌ △ADC，再由全等三角形的性質(zhì)得到∠D = ∠B = 130°.

解：在△ADC和△ABC中，[AB=AD]，[AC=AC]，[BC=DC，]

∴△ABC ≌ △ADC（SSS），∴∠D = ∠B = 130°. 故應(yīng)填130°.

注：圖2中的△ABC與△ADC關(guān)于直線AC對(duì)稱.

變式：若去掉圖2中的線段AC，其他條件不變，如何求∠D呢？

三、旋轉(zhuǎn)型

例3（2020·江蘇·徐州）如圖3，AC⊥BC，DC⊥EC，AC = BC，DC = EC，AE與BD交于點(diǎn)F.（1）求證：AE = BD;（2）求∠AFD的度數(shù).

分析：（1）欲證兩線段相等，可證它們所在的三角形全等.（2）觀察∠AFD是哪個(gè)三角形的外角，結(jié)合“全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等”即可得解.

解：（1）證明：∵AC⊥BC，DC⊥EC， ∴∠ACB = ∠DCE = 90°，

∴∠ACB + ∠BCE = ∠DCE + ∠BCE，∴∠ACE = ∠BCD.

∵[AC=BC]，[∠ACE=∠BCD]，[EC=DC]，

∴△ACE ≌ △BCD（SAS），∴AE = BD.

（2）如圖4，設(shè)AE與BC交于點(diǎn)N，

則∠AFD為△BNF的外角.

∵∠ACB = 90°，∴∠A + ∠ANC = 90°.

由△ACE ≌ △BCD，得∠A = ∠B.

∵∠ANC = ∠BNF，∴∠B + ∠BNF = ∠A + ∠ANC = 90°，

∴∠AFD = ∠B + ∠BNF = 90°.

注：圖3中的△BCD視為由△ACE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的.

四、“一線三直角”型

例4（2020·江蘇·南充）如圖5，點(diǎn)C在線段BD上，且AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，BC = DE，求證：AB = CD.

證明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，

∴∠ACE = ∠ABC = ∠CDE = 90°，

∴∠ACB + ∠ECD = 90°，∠ECD + ∠CED = 90°，∴∠ACB = ∠CED.

在△ABC和△CDE中，[∠ACB=∠CED]，[BC=DE]，[∠ABC=∠CDE，]

∴△ABC ≌ △CDE（ASA），∴AB = CD.

注：對(duì)于一條直線上有三個(gè)直角頂點(diǎn)的圖形，獲取對(duì)應(yīng)角相等，經(jīng)常會(huì)利用“同角的余角相等”.

變式：求證BD = AB + DE.

五、“手拉手”型

例5（2020·山東·菏澤）如圖6，在△ABC中，∠ACB = 90°，點(diǎn)E在AC的延長線上，ED⊥AB于點(diǎn)D，若BC = ED，求證：CE = DB.

分析：欲證CE = DB，需證AE = AB且AC = AD.

證明：∵ED⊥AB，∴∠ADE = 90°.

∵∠ACB = 90°，∴∠ACB = ∠ADE.

在△AED和△ABC中，[∠ACB=∠ADE]，[∠A=∠A]，[BC=DE]，

∴△AED ≌ △ABC，

∴AE = AB，AD = AC，

∴AE - AC = AB - AD，即EC = BD.

注：這類“手拉手”圖形中的公共角是溝通三角形全等的條件之一.

隨著學(xué)習(xí)的逐步深入，同學(xué)們還會(huì)遇到全等三角形的其他形式. 當(dāng)然，無論面對(duì)哪種形式，都要圍繞尋找對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角來展開.