勾股定理典型易錯題

李蘇娟

【專 練】

1. 七巧板是大家熟悉的一種益智玩具. 用七巧板能拼出許多有趣的圖案. 小李將一塊等腰直角三角形硬紙板（如圖1①）切割七塊，正好制成一副七巧板（如圖1②）. 已知AB=40 cm，則圖中陰影部分的面積為（）.

A. 25 cm2 B. [1003] cm2 C. 50 cm2 D. 75 cm2

2. 圖2是用三塊正方形紙片以頂點相連的方式設計的“畢達哥拉斯”圖案. 現有五種正方形紙片，面積分別是1，2，3，4，5，選取其中三塊（可重復選?。┌磮D2的方式組成圖案，使所圍成的三角形是面積最大的直角三角形，則選取的三塊紙片的面積分別是（）.

A. 1，4，5? ? B. 2，3，5? ? C. 3，4，5 D. 2，2，4

3. 如圖3，正方形ABCD的邊長為4，點E在AB上且BE=1，F為對角線AC上一動點，則△BFE周長的最小值為（）.

A. 5? ? ? B. 6 C. 7? ? D. 8

4. 閱讀與思考：下面是小宇同學的數學日記，請仔細閱讀并完成相應的任務.

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沒有直角尺也能作直角

今天，我在書店一本書上看到下面材料：木工師傅有一塊如圖4所示的四邊形木板，他已經在木板上畫出一條裁割線AB，現根據木板的情況，要過AB上的一點C，作AB的垂線，用鋸子進行裁割，然而手頭沒有直角尺，怎么辦呢？

方法一：如圖4，可利用一把有刻度的直尺在[AB]上量出[CD=30 cm]，然后分別以[D]，[C]為圓心，以[50 cm]與[40 cm]為半徑畫圓弧，兩弧相交于點[E]，作直線[CE]，則[∠DCE]必為[90°].

這種方法依據的數學定理是.

5. 在Rt△ABC中，∠C = 90°，若AB - AC = 2，BC = 8，則AB的長等于 .

6. 我國古代數學著作《九章算術》中有這樣一個問題：“今有池方一丈，葭（ji?。┥渲醒耄鏊怀?，引葭赴岸，適與岸齊，問水深幾何？”（注：丈、尺是長度單位，1丈 = 10尺）這段話翻譯成現代漢語，即為：如圖5，有一個水池，水面是一個邊長為1丈的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點，它的頂端恰好到達池邊的水面. 則水池里水的深度是尺.

7. 如圖6，在△ABC中，已知[AB=2]，AD⊥BC，垂足為D，BD = 2CD. 若E是AD的中點，則EC = .

8. 如圖7，在[△ABC]中，[∠ACB=90°，AC=BC]，點P在斜邊[AB]上，以[PC]為直角邊作等腰直角三角形[PCQ]，[∠PCQ=90°]，則[PA2，PB2，PQ2]三者之間的數量關系是.

9. 如圖8，有一張長方形紙片ABCD，AB=8 cm，BC=10 cm，點E為CD上一點，將紙片沿AE折疊，BC的對應邊B'C'恰好經過點D，則線段DE的長為cm.

（作者單位：江蘇省興化市戴澤初級中學）

【注意事項】

1. 解題要看清要求，第1題是求陰影部分面積.

2. 要弄清勾股定理與其逆定理的區別，勾股定理是由直角三角形得到三邊之間的關系;而勾股定理的逆定理是由三角形三邊之間的關系得到直角三角形. 如第4、5、8題等.

3. 運用勾股定理必須尋找或構造出直角三角形，構造時有利用直角和作垂直兩種方法;運用勾股定理的逆定理時，應先確定最大邊，再驗證兩較小邊的平方和是否等于最大邊的平方. 如第2、3、4、5、8、9題等.

4. 要注意以直角三角形三邊為邊長的正方形面積與直角三角形三邊的內在聯系與區別，謹防混淆，如第2題謹防誤選C.

5. 要善于通過幾何或代數推理得出結論，靈活運用代數知識（如代數式的變形、方程及其解法等）解決幾何問題，如第5、6、7、9題等.

6. 要重視數學思想方法解決與勾股定理及其逆定理相關問題的應用，如第7題的整體思想，第3、6、8、9題的轉化思想，第6、8題的模型思想，第5、6題的方程思想，等等.

【參考答案】

1. C 2. B 3. B

4. 勾股定理的逆定理

5. 17 6. 12

7. 1（提示：設AE = ED = x，CD = y）

8. PA2 + PB2 = PQ2（提示：連接BQ）

9. 5