勾股定理與面積計算

陳德前

我們知道，勾股定理是通過計算面積來證明的，因此將勾股定理的運用與面積計算相結合成為中考命題的一種新趨勢.現舉例來說明這類問題的特點與解法.

例1 如圖1，已知Rt[△ABC]中，[CD]是斜邊[AB]上的高，[AC=4]，[BC=3]，則[AD=] .

分析：根據勾股定理求出[AB]，再利用面積法求出CD，然后用勾股定理列式計算求出AD.

解：在[Rt△ABC]中，∵AB2 = AC2 + CB2 = 42 + 32 = 25，∴AB = 5.

∵S△ABC = [12]AC·BC = [12]AB·CD，∴3 × 4 = 5CD，∴CD = [125].

在Rt△ACD中，AD2 = AC2 - CD2 = 42 - [1252]= [1652].

∵AD>0，∴AD = [165]. 故應填[165].

點評：這里運用同一個三角形面積的兩種表示方法，得到關于CD的方程，求得CD，進而為運用勾股定理求AD創造了條件.

例2 如圖2，正方形紙片ABCD的邊長為12，E是邊CD上一點，連接AE，折疊該紙片，使點A落在AE上的點G處，并使折痕經過點B，得到折痕BF，點F在AD上，若DE=5，則GE的長為 .

分析：設BF與AE交于點H. 由折疊及軸對稱的性質可知△ABF ≌ △GBF，BF垂直平分AG.先證△ABF ≌△DAE，得到AF的長，再利用勾股定理求出BF，最后在Rt△ABF中利用面積可求出AH，進而求出AG和GE.

解：∵四邊形ABCD為正方形，∴AB=AD=12，∠BAD=∠D=90°.

由折疊及軸對稱的性質可知△ABF ≌ △GBF，BF垂直平分AG，

∴BF⊥AE，AH=GH，∴∠FAH + ∠AFH=90°.

又∵∠AFH + ∠ABH=90°，∴∠FAH=∠ABH，

∴△ABF ≌ △DAE（ASA），∴AF=DE=5.

在Rt△ABF中，∵AB = 12，AF = 5，∴BF2=AB2 + AF2 = 122 + 52 = 169，∴BF = 13.

∵S△ABF=[12]AB·AF=[12]BF·AH，∴12 × 5=13AH，∴AH=[6013]，∴AG=2AH=[12013].

∵AE=BF=13，∴GE=AE - AG=13 - [12013]=[4913]. 故應填[4913].

點評：本題考查正方形的性質、軸對稱的性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理、三角形的面積等知識，解題關鍵是能靈活運用同一個三角形面積的兩種表示方法，得到關于AH的方程，求出AH，進而為求GE值創造條件.