從認知心理學的角度談數學思維分類問題

羅敏娜

【摘要】數學教學主要是思維教學，在數學中思考問題和解決問題都離不開數學思維.數學思維的分類并不是孤立的，每種思維都是互相聯系、相互作用的，不同特點的思維在數學中起著不同的作用.

【關鍵詞】認知心理學;數學思維;基本類型

思維作為一種人類大腦的基本活動方式，是一種對客觀現實的概括和反映.由于各種數學活動的目的不同，因此有關數學的思維方式也不同.本文將從思維的方式、廣度、靈活性、復雜性、結果等五個角度對數學思維進行分析.

一、邏輯思維和直覺思維

從思維的方式來分，思維可分為邏輯思維和直覺思維.

（一）邏輯思維

邏輯思維是以思維方式為依據劃分的一類思維.邏輯思維在數學教學中是非常重要的一種思維活動，主要特點是以數學的基本概念、基本理論、基本公式為依據，利用分析法、綜合法、概括法、歸納法等多種方法進行抽象和演繹，用數學符號得出結論.

例1 一個棱長為8厘米的正方體木塊，表面全部涂上顏料，然后把它分成棱長是2厘米的小正方體若干塊，其中三面涂有顏料、兩面涂有顏料、一面涂有顏料、沒涂顏料的各有多少塊？

分析 首先啟發學生說出正方體的特點，最好動手畫出圖形，然后探討把大正方體分成棱長為2厘米的小正方體怎樣分割，最后觀察圖形得出結論.

解 有8塊三面涂有顏料，有24塊兩面涂有顏料，有24塊一面涂有顏料，有8塊沒有涂顏料[1].

（二）直覺思維

直覺思維是指通過觀察能夠快速領悟到對象的性質和特點的一種思維活動，主要是以思維的直觀性為特征.直覺思維不要求有一定的依據，這樣就可以使學生跳過邏輯論證的環節，立即做出猜想，即是突然認知的，在一剎那時間內完成的.

（三）邏輯思維與直覺思維的關系

邏輯思維是對在大量的直覺思維的基礎上提出的大膽猜想的嚴格論證.直覺思維必須以邏輯思維的方法為基礎，邏輯思維方法作為組成因素滲透在直覺思維的過程中，是更高級的思維形式和方法.

二、孤立思維和網絡思維

從思維的廣度來分，思維分為孤立思維和網絡思維.

（一）孤立思維

孤立思維是指在某種單一情境中進行的思維活動，主要特點是思維的目標方向確定，相互關聯的知識點比較單一，思考問題的過程比較簡單.例如，立體幾何中垂線定理這一節課的例題和習題，都只能聯想到垂線定理及其逆定理，學生只能從這兩個方面思考.

（二）網絡思維

網絡思維是在實際環境中進行的思維，它的特點主要表現為能夠根據題目迅速聯想，并擇優試用.學生在數學學習中獲得的知識越來越多，縱向與橫向形成知識網絡，擴充了知識結構，并在大腦記憶系統中構建了數學認知結構，形成了一個條理化、有序化、網絡化的有機體系，從而優化解題過程[2].

（三）孤立思維和網絡思維的關系

網絡思維是根據題目的條件能夠迅速產生很多想法，通過思考擇優選出最適合的一種方法的思維過程.而孤立思維只是根據當節講的內容和例題，在做題過程中產生同樣的解題思路，方法單一，縱向與橫向之間沒有形成知識網絡.

三、慣性思維和求異思維

從思維的靈活性來分，思維分為慣性思維和求異思維.

（一）慣性思維

慣性思維是根據思考的常規模式或者人的思考習慣進行的思維活動，它的主要特點是與人的常規下思維方式相一致，思考過程中可以促使我們去聯想，但思考過程缺乏一定的創新性和多樣性.例如，求最值問題時，我們常常建立一個二次函數去解答.再如，在題目中出現 “至多”“至少”“不大于”等詞語時，我們經常想到要用反證法去證明，這些都是一種慣性思維方式的體現.

例3 求證：四邊形至少有一個內角的度數小于或等于90°.

分析 對于這樣的問題，我們采用反證法去思考，通過推理得出與已知矛盾，即可證明假設是錯誤的，所以四邊形至少有一個內角的度數小于或等于90°.

（二）求異思維

求異思維是違反常規的思維，如反向思維、對立思維、悖向思維等，它的特點是與平時的思維習慣相反.

在數學解題過程中，我們經常會想到的是幾何題用幾何方法來做，代數題用代數方法解決，這是一種單一思維方式，也是思維的常規性體現.而這里說的求異思維是指幾何題用代數方法解決，代數題用幾何方法解決.

（三）慣性思維與求異思維的關系

求異思維向慣性思維的轉換就是建立新的思維定式，慣性思維的打破就是求異思維，對求異思維概括和總結的結果可以進一步豐富慣性思維.學生在學習數學的過程中，對求異思維的訓練是思維定式的一個重大突破，學生在學習新知識時，要建立新的更高層次的思維模式，求異思維便是很好的體現.

四、單一思維和綜合思維

從思維的復雜性來分，思維分為單一思維和綜合思維.

（一）單一思維

單一思維是在思考問題時運用一種思維方式進行思考的思維活動，它的主要特點是思維的難度很低，思維格式單一，思維比較清楚.例如，利用數學歸納法證明題時，它的思維格式比較清楚，只要記住并直接套用即可，不容易造成錯誤.

（二）綜合思維

綜合思維是指同時運用多種思維方式進行思考的過程，它的主要特點是多種思維方法有機結合，多種思維之間的關系是相互補充.

例6 求證：同弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.

證明 如圖所示，畫一圓，圓心為O，在圓上取兩點A，B，連接AO并延長交圓O于C點，連接CB，OB，∠ACB為劣弧AB所對的圓周角，∠AOB為劣弧AB所對的圓心角.

顯然∠AOB=∠ACB+∠CBO.

因為OC與OB為圓O的半徑，所以OC=OB，