關于高考中立體幾何解答題的思考

何文

摘 要：立體幾何是高考的必考知識點。其中立體幾何解答題占12分的分值，難度中等。如何使學生在高考中靈活運用所學盡快找到解答題的解題思路，爭取得全分，是教學的重要內容。本文回顧近三年高考中立體幾何解答題，結合自身教學經驗，談談自己的一些想法，以供參考。

關鍵詞：高考;立體幾何;解答題;思考

數學高考試卷中解答題占據半壁江山，解題中不僅要求學生盡快找到解題思路，而且還需詳細的書寫出解題過程。其中立體幾何解答題解題較為靈活，既可以運用立體幾何角度進行求解，也可運用空間向量知識求解。但根據學生做題反饋得知一些學生在解題中仍不能得全分，鑒于此有必要對高考中立體幾何解答題進行匯總，總結出相關的規律，給學生的復習備考活動帶來針對性指引。

一、高考立體幾何解答題回顧

（一）2018年全國一卷數學立體幾何解答題

如圖1，四邊形ABCD為正方形，E、F分別為AD、CB的中點，以DF為折痕把DFC折起，使C點達點P的位置，且PF⊥BF。

（1）證明：平面PEF⊥平面ABFD;

（2）求DP與平面ABFD所成角的正弦值。

（二）2019年全國一卷數學立體幾何解答題

如圖2，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E、M、N分是BC、BB1、A1D的中點。

（1）證明：MN∥平面C1DE;

（2）求二面角A-MA1-N的正弦值。

（三）2020年全國一卷數學立體幾何解答題

如圖3，D為圓錐的頂點，O為圓錐底面的圓心，AE為底面直徑，AE=AD，△ABC是底面的內接正三角形，P為DO上一點，PO=DO。

（1）證明：PA⊥平面PBC;

（2）求二面角B-PC-E的余弦值。

二、高考立體幾何解答題分析

（一）考點分析

2018年-2020年三年的全國一卷數學高考試題中立體幾何解答題均出現在第18題，均包括兩個小問，屬于中檔題目。其中2018年的全國一卷立體幾何考查的知識點為面面垂直、線面角;2019年的全國一卷立體幾何考查的知識點為線面平行、二面角;2020年的全國一卷立體幾何考查的知識點為線面垂直、二面角;三年的立體幾何解答題幾乎涵蓋了所有的立體幾何部分的考點。從出題情境來看，2018年全國一卷以圖形的翻折為背景考查學生對平面、空間圖形的認識以及理解深度，學生只有搞清楚平面與立體圖形點、線、面的關系，才能更好找到解題思路。2019年全國一卷以直棱柱為背景，較為常規，學生只要牢固掌握所學的基礎知識不難作答。2020年全國一卷以棱錐為背景進行設問，涉及圓以及圓的內接正三角形。

總的來看，近三年的高考試卷中立體幾何解答題創設的情境均是學生較為熟悉的情境，考查的均是立體幾何部分的基礎以及重點知識，難度適中。

（二）解題思路分析

從立體幾何解答題的解題思路來看，官方公布的答案中兩個小問，第一個小問運用立體幾何知識求解，第二問則運用空間向量方法求解。從這一點來看，無疑給學生解答相關習題指明了方向，即，遇到難度不大的證明題時可采用常規思路求解。遇到難度稍大的問題時可考慮使用空間向量知識將幾何問題轉化為代數問題通過向量的坐標運算進行解答。如2020年全國一卷立體幾何解答題的解題過程如下：

三、高考中立體幾何解答題的思考

通過分析近三年高考中立體幾何解答題習題考查的知識點、命題背景、解題思路認為，為更好的提高學生的解題能力，使其在高考中都能得全分，考取理想的分值，在以后的教學以及備考工作中應注重以下內容的落實：

（一）腳踏實地，夯實基礎

通過上文分析可知，高考中立體幾何解答題不僅考查的知識點較為基礎，而且創設的情境并不復雜，因此，在以后的教學中應靈活應用多種教學方法深化學生理解，引導學生打牢基礎，苦練基本功。一方面，講解點、線、面、體知識時既要引導學生認真學習教材內容，在頭腦中多問為什么，搞清楚知識的來龍去脈，又要注重引導學生積極聯系生活情境，降低學生陌生感，激發學生學習興趣的同時，在其頭腦中建立清晰的立體幾何圖形模型。另一方面，在講解相關的判定定理時，注重運用多媒體技術展示直觀的立體結合圖形，幫助學生記憶的同時，使其更好的理解，掌握各判定定理之間的區別與聯系。另外，完成立體幾何基礎知識學習后，要求其注重運用思維導圖將學習的知識點串聯、整合起來，構建系統的知識網絡。

（二）精講例題，總結思路

立體幾何解答題教學中，為使學生更好的掌握解題思路，一方面，做好例題的篩選與精講，即，結合自身教學經驗選擇代表性較強的例題。在課堂上講解例題時既要注重與學生互動，又要給學生留下一定的思考時間，尤其組織學生開展一題多解活動。如針對某一例題可先為學生講解運用立體幾何知識解題的思路，而后要求學生運用向量方法進行解答，拓展學生的解題思維。另一方面，引導學生養成善于總結的良好習慣，即，對常見的立體幾何解答題題型進行匯總，認真分析不同題型特點，總結相關的解題思路，把握不同解題思路的注意事項，在以后的解題中能夠迅速破題。如運用向量法求解異面直線所成的角時應注意角的取值范圍為（0，）、直線和平面所成角的范圍為[0，]、二面角的取值范圍為[0，π]。另外，在學習中引導學生相互交流立體幾何解答題解題心得，相互分享解題技巧，不斷學習他人長處。

（三）注重訓練，提升能力

立體幾何解答教學中，為提高學生的解題能力應注重組織學生開展訓練活動。一方面，立體幾何解答題類型較多，應結合學生學習實際做好訓練習題的篩選，圍繞不同題型組織學生開展專題訓練活動。如認真收集近年來各省份立體幾何解答題，圍繞高考真題開展訓練活動。同時，為提高學生訓練的積極性，訓練中可要求學生相互比賽，看哪位學生在規定的時間內最先找到解題思路，得出正確結果，及時提出表揚，提高學生的訓練體驗。另一方面，為獲得預期的訓練效果，應引導學生做好訓練后的反思。反思解答立體幾何解答題存在的問題，尤其反思做錯的題目，找到錯誤原因，是粗心大意還是基礎知識掌握不牢固，在課下及時查漏補缺，及時堵住知識漏洞。另外，要求學生做好優秀訓練習題的摘抄，并在課下嘗試著進行一題多變，從不同角度進行設問、作答，將習題其徹底搞清楚、弄明白，會一題而會一類題。

結語

為提高學生立體幾何解答的解題能力，使其在高考中能夠順利、正確作答相關習題，教學中應通過總結高考中的相關習題，把握解答題考查的知識點，在教學中啟發學生切實打牢基礎。同時，認真總結解答題的解題思路，教學中既要通過精講例題，要求學生做好解題總結，又要組織學生積極開展相關的訓練活動，不斷提高學生解答立體幾何解答題的靈活性以及能力。

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